2024年3月10日发(作者：2022成考数学试卷真题理科)
2023年春九年级数学中考复习《压轴题常考题型》专题提升训练（附答案）
1．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D，E分别在AB，BC上，BE
＝DE＝1，连接CD，点P是CD的中点，连接AP，PE．
（1）观察猜想
在图1中，线段AP与EP之间的数量关系是
（2）探究证明
把△BDE绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE，请判断△APE的形状，并
说明理由．（辅助线作法：取BD的中点F，连接EF、PF，取BC的中点G，连接AG、
PG）
（3）拓展延伸
把△BDE绕点B在平面内自由旋转，若A、B、E三点在一条直线上，请直接写出△APE
的面积：．
，位置关系是．
2．已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝
AE，连接BD，CD，CE．
（1）如图1所示，线段BD与CE的数量关系是，位置关系是．
（2）在图1中，若点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接PM，PN，MN，请
判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）如图2所示，若M、N、P分别为DE、BC、DC上的点，且满足
BD＝6，连接PM，PN，MN，求S
△
MPN
面积．
，
3．如图1中，在正方形ABCD中，点M是对角线AC的中点，点E，G分别为边BC，AB
的中点．以BE，BG为邻边，在正方形ABCD内作正方形BEFG，点F和点M恰好重合，
连接CG，EG，点P，N分别为CG，EG的中点，连接PN．
（1）观察猜想
在图1中，线段PM与PN的数量关系是
（2）探究证明
把正方形BEFG绕点B顺时针旋转到图2的位置，连接PM，PN，其他条件不变，上述
结论还成立吗？请说明理由；
（3）拓展延伸
把正方形BEFG绕点B在平面内自由旋转，若AB＝6，请你直接写出PM+PN的最大值．
，位置关系是．
4．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，
连接DC，点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PF与PG的数量关系是
含α的代数式表示）
（2）探究证明：当△ADE绕点A旋转到如图2所示的位置时，小新猜想（1）中的结论
仍然成立，请你证明小新的猜想．
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝2，AB＝6，请直接写出
PF的最大值．
，∠FPG＝（用
5．已知：AD＝2，BD＝4，以AB为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线AB的
两侧．
（1）如图，当∠ADB＝60°时，求AB及CD的长；
（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD的最大值，及相应∠ADB的大小．
6．如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，
点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
在图1中，线段PM与PN的数量关系是
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，
①
判断△PMN的形状，并说明理由；
②
求∠MPN的度数；
（3）拓展延伸
若△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点DE分别在边AB，AC上，AD
＝AE＝4，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平
面内自由旋转，如图3．
①
△PMN的是三角形．
，∠MPN的度数是；
②
直接利用
①
中的结论，求△PMN面积的最大值．
7．如图1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），试探索AD，
BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．
小明同学的思路是这样的：将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，
DE．继续推理就可以使问题得到解决．
（1）请根据小明的思路，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的
结论；
（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，且∠ADC＝45°，线段
AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°．
①
若AD＝6，BD＝8，求弦CD的长为
②若AD+BD＝14，求
；
的最大值，并求出此时⊙O的半径．
8．已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D，E分别是AB，AC上的点，点M是DE上
的一点，．
（1）如图1，已知α＝60°，n＝1，作出点E关于点A成中心对称的点F，求证：DF＝
DC；
（2）如图2，已知α＝60°，
①
求
；
（直接写出结果）；
（直接写出结果）．
的值；
②
若AB＝4，则AM的最小值是
（3）如图3，已知α＝90°，n＝1，，则CD的最大值为
9．在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的
数量关系为
；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、
DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若∠ACE＝135°，则线段AE长度的最大值
是（直接写出答案）．
10．（1）问题提出：
如图
①
，在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，点D，E分别是CB，AB的中点，点F是BD
的中点，若AB＝8，AC＝6，则EF＝；
（2）问题探究：
如图
②
，已知：M是弓形AB上的中点，AB＝24，弓形AB的高是8，则对应⊙O的面
积为多少？（结果保留根号或π）
（3）问题解决：
如图
③
，在半径为5的⊙O中，弦BC＝8，点A为优弧BC上的动点，过点A作AD⊥
BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E．AD和BE交于点P，连接PC，试求△PBC面积
的最大值．
11．在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、
AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究：
问题初探：
（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为
问题再探：
（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：
①
DE始终等于DF；
②
BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明．
成果运用
（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝
DE+EA+AF+FD，则周长L取最大值和最小值时E点的位置？
；
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，BC＝8，D在边BC上，E在线段DC上，
DE＝4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．
（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD＝x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自
变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．
13．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转α角（0°
＜α＜180°）至△AB′C′的位置．
问题探究：
（1）如图1，当旋转角为60°时，连接C′C与AB交于点M，则C′C＝
＝．
，CM
（2）如图2，在（1）条件下，连接BB′，延长CC′交BB′于点D，求CD的长．
问题解决：
（3）如图3，在旋转的过程中，连线CC′、BB′，CC′所在直线交BB′于点D，那
么CD的长有没有最大值？如果有，求出CD的最大值：如果没有，请说明理由．
14．【问题】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF
＝90°，点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，
研究DP和DB的数量关系．
【探究发现】
（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使
点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；
【数学思考】
（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组
过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程；
【拓展引申】
（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线
BD上一点，且AM＝BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点
反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若AC＝BC＝4，请你直接写出
BQ的最大值．
15．问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，则线段AP的长的取值范围是；
探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的
两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小
值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；
问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP
＝4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值
时，求四边形AMPN面积的最大值．
16．问题：
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝90°时，我们
都知道，可以得到：AD•BC＝AP•BP；
变式：
（1）如图2，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y＝（x＞0）上，
BC与x轴交于点D．过点A作EF⊥y轴，垂足为E，再过点B作BF⊥AF，垂足为F，
若点A的坐标为（2，4），则点B的坐标为
探究：
．
（2）如图3，在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝4，点P以每秒1个单位的速度从点A出
发，沿着AB边向点B运动，且满足∠A＝∠CPD，设运动时间为t（秒），BD的长度为
s，求s与t的函数解析式，并求出CD的最小值．
应用：
（3）如图4，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），N点坐标为（7，0），点P
为线段ON上的动点，始终保持∠APM＝∠AOP，射线PM交直线x＝7于点M，求MN
的最大值．
17．如图1，在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的
四边形称为等角线四边形．
（1）
①
在“平行四边形、矩形、菱形”中，
称）；
②
若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角
线AC、BD还要满足时，四边形MNPQ是正方形；
一定是等角线四边形（填写图形名
（2）如图2，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D为平面内一点，若四边
形ABCD是等角线四边形，且AD＝BD，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，已知△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，点E是以C为圆心，1为
半径的圆上的动点，D为平面内一点，若四边形ABED是等角线四边形，求出四边形ABED
面积的最大值，并说明理由．
18．（1）模型建立：
如图
①
，已知，线段AB，点C为线段AB外任意一点，若AB＝m，AC＝n，则当点C
位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含m，n的式子表示）．
（2）模型应用：
如图
②
，点C为线段AB外任意一点，且AB＝3，AC＝2，分别以AC，BC为边，作等
边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，
Ⅰ．请找出图中与AE相等的线段，并说明理由；
Ⅱ．直接写出线段AE长度的最大值．
（3）拓展应用：
如图
③
，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C
为线段AB外任意一点，且AC＝2，∠BCD＝90°，CD＝CB，请直接写出线段AD长度
的最大值及此时点C的坐标．
19．已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，以AB为边作等边三角形ABD．探究下列问题：
（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a＝b＝3，且∠ACB＝60°，则CD
＝；
（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a＝b＝6，且∠ACB＝90°，则CD
＝；
（3）如图3，当∠ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及
相应的∠ACB的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x
2
+bx+c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其
对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线l上的动点，当△PBC周长取得最小值时，过P做BC的平行线，在第
一象限内交抛物线于点Q，在直线AB上有一动点K，求QK+AK的最小值；
（3）点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使
以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标，不存在，
说明理由．
21．已知二次函数y＝﹣x
2
+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴
交于点C，
（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∥x轴交
直线BC于Q，求线段PQ
的最大值；
（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，
MN，求AM+MN的最小值．
参考答案
1．解：（1）（1）观察猜想
AP＝EP，AP⊥EP，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∵BE＝ED，
∴∠ABC＝∠BDE＝45°，
∴∠BED＝90°，
∴DE⊥BC，
∵∠DAC＝90°，点P是CD的中点，
∴EP＝DC，AP＝DC，
∴EP＝AP．
∵∠DAC＝∠DEC＝90°，
∴∠ADE＝135°，
∵DP＝PC，
∴DP＝AP＝PC，
∴∠PDE＝∠PED，∠PAD＝∠PDA，
∴∠PED+∠PDE+∠PAD+∠PDA＝270°，
∴∠APE＝360°﹣270°＝90°，
∴AP⊥EP．
（2）探究证明
△APE的形状是等腰直角三角形，理由如下：
取BD的中点F，连接EF、PF，取BC的中点G，连接AG、PG，
∵F为BD的中点，∠BED＝90°，
∴BF＝EF＝DF，
同理，AG＝BG＝CG，
∵P，F分别为CD，BD的中点，
∴PF＝BC，PF∥BC，
BD，PG∥BD，同理，PG＝
∴四边形BFPG为平行四边形，
∴PG＝BF＝EF，∠CGP＝∠CBD＝∠PFD，
∵∠AGC＝∠EFD＝90°，
∠AGC+∠CGP＝∠EFD+∠PFD，
即∠AGP＝∠EFP，
∴△EFP≌△PGA（SAS），
∴EP＝AP，∠FEP＝∠GPA，
∵∠EFD＝90°，
∴∠FEP+∠DFP+∠EPF＝90°，
∵PG∥BD，
∴∠DFP＝∠FPG，
∴∠FPG+∠EPF+∠GPA＝90°，
∴∠EPA＝90°
∴EP⊥AP．
（3）拓展延伸
如图3，当点E在AB的延长线上，
∵AB＝2，BE＝1，
∴AE＝2+1＝3，
由（2）可知AP⊥EP，AP＝EP，
∴△AEP为等腰直角三角形，
∴△APE的面积为
如图4，当点E在线段AB上，
．
∵AB＝2，BE＝1，
∴AE＝1，
同理△AEP为等腰直角三角形，
∴△APE的面积为＝．
或．综合以上可得：△APE的面积为
故答案为：或．
2．解：（1）如图1，延长BD交CE于F，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠FBC+∠BCA＝90°，
∴∠ACE+∠FBC+∠BCA＝90°，
∴∠BFC＝90°，即BD⊥CE，
故答案为：BD＝CE；BD⊥CE；
（2）△PMN是等腰直角三角形，
理由如下：∵点M、P分别为DE、DC的中点，
∴MP＝CE，MP∥CE，
∴∠MPD＝∠ECD＝∠ECA+∠DCA＝∠ABD+∠DCA，
∵点P、N分别为DC、BC的中点，
∴NP＝BD，NP∥BD，
∴∠NPD＝180°﹣∠BDC＝∠DBC+∠DCB，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+∠DCA+∠DBC+∠DCB＝90°，
∵BD＝CE，
∴MP＝NP，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）∵＝，∠MDP＝∠EDC，
∴△MDP∽△EDC，MP∥CE，
∴＝＝，
∴MP＝CE＝2，
BD＝4，同理，NP∥BD，NP＝
由（2）可知，∠MPN＝90°，
∴S
△
MPN
＝×2×4＝4．
3．解：（1）观察猜想
∵点P，N分别为CG，EG的中点，
∴PN∥CE，PN＝
∴∠EPN＝∠EFG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴EF＝FG，∠EFG＝90°，FG∥BE，
∴PN∥FG，
∴∠EPN＝∠EFG＝90°，
∴PN⊥PM，
∵PC＝PG，∠FPG＝∠CPE，∠CEP＝∠GFP，
∴△CPE≌△GPF（AAS）
∴PE＝PF＝EF，CE＝FG＝EF，
CE，PC＝PG，
∴PN＝PF＝MP，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）探究证明
仍然成立，理由如下：
如图2，连接AG，CE，交点为H，
∵四边形ABCD，四边形BEFG都是正方形，
∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝∠GBE＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE，且AB＝BC，BG＝BE，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE，∠BCE＝∠BAG，
∵∠BAG+∠GAC+∠BCA＝90°，
∴∠GAC+∠BCA+∠BCE＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∵点M，点P，点N分别是AC，CG，GE的中点，
∴MP＝AG，PN＝CE，MP∥AG，PN∥CE，
∴PM＝PN，∠POH＝∠AHC＝90°，∠MPN+∠POH＝180°，
∴∠MPN＝90°，
∴MP⊥PN；
（3）拓展延伸
∵点E，G分别为边BC，AB的中点，AB＝BC＝6，
∴BE＝BG＝3，
∵PM+PN＝2PM＝AG，
∴当点G在AB的延长线上时，PM+PN的值最大，
∴PM+PN的最大值为6+3＝9．
4．解：（1）如图1，∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D、E分别在边AB、AC上，
AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
即DB＝CE，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PF＝CE，PG＝BD，
∴PF＝PG，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PG∥BD，PF∥CE，
∴∠PGC＝∠DBC，∠DPF＝∠DCE，
∴∠FPG＝∠DPF+∠DPG
＝∠DCE+∠PGC+∠DCB
＝∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠DCB
＝∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠DCB
＝∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC
∴∠FPG＝180°﹣α；
故答案为：PF＝PG，180°﹣α；
（2）如图2，连接BD，CE，由题意知AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点F、P、G分别为DE、DC、BC的中点，
∴PF，PG分别是△CDE和△CDB的中位线，
∴PG∥BD，PF∥CE，
∴∠PGC＝∠DBC，∠DPF＝∠DCE，
∴∠FPG＝∠DPF+∠DPG
＝∠DCE+∠PGC+∠DCB
＝∠ACD+∠ACE+∠DBC+∠DCB
＝∠ACD+∠ABD+∠DBC+∠DCB
＝∠ABC+∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC
∴∠FPG＝180°﹣α；
（3）当EC最大时，FP最大，EC的最大值为AE+AC＝8，
∴PF＝EC，即PF的最大值为4．，
5．解：（1）作AH⊥BD于H，如图，
在Rt△ADH中，
∵∠ADB＝60°，
∴∠DAH＝30°，
∴DH＝
∴AH＝
AD＝1，
DH＝，
∴BH＝BD﹣DH＝4﹣1＝3，
在Rt△AHB中，AB＝
∴∠ABH＝30°，
∵△ACB为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BC＝BA＝2
∴∠DBC＝90°，
在Rt△DBC中，CD＝
＝2，
，
＝2；
（2）把△ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB，
则AE＝AD，BE＝DC，∠EAD＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝DA＝2，∠ADE＝60°，
当E点在直线BD上时，BE最大，最大值为2+4＝6，
∴CD的最大值为6，此时∠ADB＝120°．
6．解：（1）结论：PM＝PN，120°．
理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵AD＝AE，
∴BD＝EC，
∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，
∴PM＝EC，PN＝BD，PM∥AC，PN∥AB，
∴PM＝PN，∠MPD＝∠ACD，∠PNC＝∠B＝60°
∵∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ACD+∠DCB+∠PNC＝120°
故答案为PM＝PN，120°．
（2）如图2中，连接BD、EC．
①
∵∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵BA＝CA，DA＝EA，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，
∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝
∴PN＝PM，
∴△PMN是等腰三角形．
BD，PM＝CE，
②
∵PN∥BD，PM∥EC
∴∠PNC＝∠DBC，∠DPM＝∠A＝ECD，
∴∠MPN＝∠MPD+∠DPN＝∠ECD+∠PNC+∠DCB＝∠ECD+∠DCB+∠DBC＝∠
ACE+∠ACD+∠DCB+∠DBC＝∠ABD+∠ACB+∠DBC＝∠ACB+∠ABC＝120°．
（3）
①
△PMN是等腰直角三角形；
②
∵PM＝PN＝BD，
∴BD最大时，PM最大，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝16，∴PM＝8，∴S
△
PMN
最大＝
7．解：（1）CD
2
+BD
2
＝2AD
2
，
理由：由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，
PM
2
＝×8
2
＝32．
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
根据勾股定理得，DE
2
＝CD
2
+CE
2
＝CD
2
+BD
2
，
在Rt△ADE中，DE
2
＝AD
2
+AE
2
＝2AD
2
，
∴CD
2
+BD
2
＝2AD
2
；
（2）BD
2
＝CD
2
+2AD
2
，
理由：如图2，
将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE，
同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，在Rt△ADE中，AD＝AE，
∴∠ADE＝45°，
∴DE
2
＝2AD
2
，
∵∠ADC＝45°，
∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，
根据勾股定理得，CE
2
＝CD
2
+DE
2
＝CD
2
+2AD
2
，
即：BD
2
＝CD
2
+2AD
2
；
（3）如图3，过点C作CE⊥CD交DA的延长线于E，
∴∠DCE＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠E＝90°﹣∠ADC＝45°＝∠ADC，
∴CD＝CE，
根据勾股定理得，DE
2
＝CD
2
+CE
2
＝2CD
2
，
连接AC，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠BDC＝45°＝∠ADC，
∴AC＝BC，
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，
①
AD＝6，BD＝8，
∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝14，
∴2CD
2
＝14
2
，
∴CD＝7
故答案为7
，
；
②
∵AD+BD＝14，
∴CD＝7
∴
，
＝AD•（BD+×7）＝AD•（BD+7）
）
2
+，
＝AD•BD+7AD＝AD（14﹣AD）+7AD＝﹣AD
2
+21AD＝﹣（AD﹣
∴当AD＝时，的最大值为，
∵AD+BD＝14，
∴BD＝14﹣＝，
＝，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝
∴⊙O的半径为OA＝AB＝．
8．解：（1）如图1、
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
过点D作DG∥AC交BC于点G，
∴∠CGD＝∠ACB＝60°，
∴∠CGD＝120°，
∵点F是点E关于点A成中心对称的点，
∴AF＝AE，∠DAF＝120°＝∠CGD，
∠B＝60°，∠BGD＝60°，
∴△BDG是等边三角形，
∴BD＝DG，
∵n＝1，
∴BD＝AE，
∴DG＝AF，
∴△CDG≌△DFA（SAS），
∴DF＝CD；
（2）
①
如图2，
∵n＝
∴
，
，
过点D作DF∥AM交EA的延长线于点F，
∴
∴BD＝AF，
，
过点D作DG∥AC交BC于点G，
同（1）的方法得，△BDG为等边三角形，
∴AD＝CG，BD＝DG＝AF，∠FAD＝∠DGC＝120°，
∴△ADF≌△GCD（SAS），
∴DF＝DC，
∵
∴AM＝
∴
，
DF＝
，
DC，
②
由
①
知AM＝CD，
由垂线段最短知：当CD⊥AB时，CD最短，即：AM最小，
在Rt△BDC中，BC＝AB＝60°，∠B＝60°，
∴CD＝BCsinB＝2
∴AM的最小值为
故答案为；
，
×2＝，
（3）如图3，作CN⊥AC（N在AC左侧），使CN＝AE，连接EN，
∵AE＝BD，
∴CE＝AD，
则△ADE≌△CEN（ASA），
∴∠ADE＝∠CEN，DE＝EN，
∴DE⊥EN，取EN的中点O，连接OC，OD，
则CD≤OD+OC，
∵AM＝
则EN＝2
，DM＝ME＝AM＝
，
，
∴OC＝OE＝，OD＝＝5，
，∴当D，O，C三点共线时，CD的最大值为OD+OC＝5+
故答案为5+．
9．解：（1）AE＝AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF＝AB．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．
∵C是BD边的中点．
∴BC＝CD，
∴CF＝CD．
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，∠ACF+∠ECF＝90°
∴∠ECF＝∠ECD．
在△CEF和△CED中，
，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF＝ED．
∵AE＝AF+EF，
∴AE＝AB+DE；
故答案为：AE＝AB+DE
（2）猜想：AE＝AB+DE+BD．
证明：在AE上取点F，使AF＝AB，连接CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连接CG．
∵C是BD边的中点，
∴CB＝CD＝BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
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