2023年12月18日发(作者：数学试卷皖优联盟2022)

初中数学123

第23章一元二次方程 .............................................................................. 2

§23.1 一元二次方程 ........................................................................ 3

§23.2 一元二次方程的解法 ............................................................ 4

阅读材料 ...................................................................................... 13

§23.3 实践与探索 .......................................................................... 14

小结 ..................................................................................................... 16

复习题 ................................................................................................. 17

- 1 -

初中数学123

第23章一元二次方程

绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

设宽为x米，可列出方程

x(x10)900，

整理得

方程x10x9000中未知数x的最高次数是2，它是一个一元二次方程．

- 2 -

2x210x9000．

初中数学123

§23.1 一元二次方程

问题1

绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

分析

我们已经知道可以运用方程解决实际问题．

设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程

x（x＋10）＝900，

整理可得

x210x9000． （1）

问题2

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7．2万册．求这两年的年平均增长率．

分析

设这两年的年平均增长率为x．

已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5(1x)(1x)5(1x)2万册．可列得方程

5(1x)27.2，

整理可得

5x210x2.20． （2）

思考

这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）．显然，这两个方程都不是一元一次方程．那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

概括

上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程（quadric equation with one unknown）．通常可化成如下的一般形式：

ax2bxc0（a、b、c是已知数，a≠0），

其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．

练习

将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）3xx2；

（2）7x32x；

（3）x(2x1)3x(x2)0；

- 3 -

22

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（4）2x(x1)3(x5)4．

习题23．1

1．关于x的方程mx3xxmx2是一元二次方程，m应满足什么条件？

2．已知关于x的一元二次方程(m2)x23xm240有一个解是0，求m的值．

3．根据题意，列出方程（不必求解）：

（1）学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半．已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径．

（2）根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好．已知学校礼堂舞台前沿宽20米，问举行文娱会演时主持人应站在何处？

22§23.2 一元二次方程的解法

试一试

解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流．

（1）x4；（2）x10．

22概括

对于方程（1），有这样的解法：

方程

x24，

意味着x是4的平方根，所以

x4，

即 x＝±2．

这种方法叫做直接开平方法．

对于方程（2），有这样的解法：

将方程左边用平方差公式分解因式，得

（x－1）（x＋1）＝0，

必有 x－1＝0或x＋1＝0，

分别解这两个一元一次方程，得

x11,x21．

这种方法叫做因式分解法．

思考

（1）方程x4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？

（2）方程x10能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？

- 4 -

22

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做一做

试用两种方法解方程

x29000．

例1

解下列方程：

（1）x220；（2）16x2250．

解

（1）移项，得

x22．

直接开平方，得

x2．

即

x12,x22．

（2）移项，得

16x225．

方程两边都除以16，得

x22516

直接开平方，得

x54．

即

x5514,x24．

例2

解下列方程：

（1）3x22x0；（2）x23x．

解

（1）方程左边分解因式，得

x（3x＋2）＝0．

所以 x＝0或3x＋2＝0．

得

x0,x2123．

（2）移项，得

x23x0．

方程左边分解因式，得

x（x－3）＝0．

所以 x＝0或x－3＝0，

得

x10,x23．

练习

1．解下列方程：

- 5 -

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（1）x169；（2）45x0；（3）12y2250；

（4）x2x0；（5）(t2)(t1)0；（6）x(x1)5x0．

2．小明在解方程x3x时，将方程两边同除以x，得到原方程的解x＝3，这种做法对吗？为什么？

2222例3

解下列方程：

（1）(x1)240；

（2）12(2x)290．

分析

两个方程都可以转化为

2a

的形式，用直接开平方法求解．

解（1）原方程可以变形为

(x1)24，

直接开平方，得

x＋1＝±2．

所以

x11,x23．

（2）原方程可以变形为

____________________，

有 ____________________，

得

x1______,x2______．

读一读

小张和小林一起解方程

x（3x＋2）－6（3x＋2）＝0．

小张将方程左边分解因式，得

（3x＋2）（x－6）＝0，

所以 3x＋2＝0或x－6＝0．

得

2x1,x26．

3小林的解法是这样的：

移项，得 x（3x＋2）＝6（3x＋2），

方程两边都除以（3x＋2），得

x＝6．

小林说：“我的方法多简便！”可另一个根x2哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这3- 6 -

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个谜吗？

练习

解下列方程：

（1）(x2)2160；（2）(x1)2180；

（3）(13x)21；（4）(2x3)2250．

例4

2解下列方程：

2（1）x2x5；（2）x4x30．

思考

能否经过适当变形，将它们转化为

2a

的形式，用直接开平方法求解？

解（1）原方程两边都加上1，得

x22x16，

_______________________,

_______________________,

_______________________．

（2）原方程化为x4x434，

_______________________，

_______________________，

_______________________．

2归 纳

2上面，我们把方程x4x30变形为(x2)1，它的左边是一个含有未知数的完全2平方式，右边是一个非负常数，从而能直接开平方求解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．

例5用配方法解下列方程：

（1）x6x70；（2）x3x10．

22解（1）移项，得

x26x7．

方程左边配方，得

x22x332733，

即

(x3)216．

- 7 -

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所以 x－3＝±4．

得

x17,x21．

（2） 移项，得

x23x1．

方程左边配方，得

x22x3(3)21(32)222，

即(x32)254．

所以x3252．

得x3535122,x222x．

练习

1．填空：

（1）x2+6x+( )=(x+ )2；

（2）x2-8x+( )=(x- )2；

（3）x23x+( )=(x+ )22；

（4）4x2-6x+( )=4(x- )2=(2x- )2．

2．用配方法解下列方程：

（1）x2＋8x－2＝0；（2）x2－5x－6＝0．

试一试

用配方法解方程x2＋px＋q＝0（p24q≥0）．

思考

如何用配方法解下列方程？

（1）4x2－12x－1＝0；（2） 3x2＋2x－3＝0．

讨论

请你和同桌讨论一下： 当二次项系数不为1时，如何应用配方法？

探索

我们来解一般形式的一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

- 8 -

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因为a≠0，方程两边都除以a，得

bcx0．

aabc2移项，得xx．

aabbbc2()2()2， 配方，得x2x2a2a2aax2b2b24ac)即(x．

2a4a2因为a≠0，所以4a＞0，当b－4ac≥0时，直接开平方，得

22bb24ac．

x2a2abb24ac所以x，

2a2abb24acbb24ac即x1．

,x22a2a由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax＋bx＋c＝0的求根公式：

2bb24ac2x(b4ac0)．

2a利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的根．这种解方程的方法叫做公式法．

例6

解下列方程：

22（1）2x＋x－6＝0；（2）x＋4x＝2；

（3）5x－4x－12＝0；（4）4x＋4x＋10＝1－8x．

22解

（1）这里a＝2，b＝1，c＝－6，

b2－4ac＝12－4×2×（－6）＝1＋48＝49，

bb24ac14917所以x，

2a224即x12,x23．

2（2）将方程化为一般式，得

x2＋4x－2＝0．

- 9 -

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因为b－4ac＝24，

所以x242426．

2即x126,x226．

（3） 因为b－4ac＝256，

所以x得x12(4)25641628．

251056,x22．

5（4） 整理，得

4x＋12x＋9＝0．

因为b－4ac＝0，

22120，

83即x1x2．

2练习

所以x用公式法解下列方程：

（1）x－6x＋1＝0；（2）2x－x＝6；

（3）4x－3x－1＝x－2；（4）3x（x－3）＝2（x－1）（x＋1）．

222思考

根据你学习的体会小结一下： 解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下．

应用

现在我们来解决§23．1的问题1：

x（x＋10）＝900，

x2＋10x－900＝0，

x5537，

x15537,x25537．

它们都是所列方程的根，但负数根x1不符合题意，应舍去．取

x＝5537≈25．4，

- 10 -

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x＋10≈35．4，

符合题意，因此绿地的宽约为25．4米，长约为35．4米．

例7

学校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行2于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540m，小道的宽应是多少？

分析

问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图23.2.1，不难发现小道的占地面22积与位置无关．设道路宽为xm，则两条小道的面积分别为32xm和20xm，其中重叠部分小正方形的面积为xm，根据题意，得

32×20－32x－20x＋x＝540．

222

图23.2.1 图23.2.2

试一试

如果设想把道路平移到两边，如图23．2．2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，列方程是否符合题目要求？是否方便些？

在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决．求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答．

练习

1．学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的宽．（精确到0．1厘米）

2．竖直上抛物体的高度h和时间t符合关系式hv0t2时较美观，求镶上彩纸条的312gt．爆竹点燃后以初速度v0＝2220米/秒上升，经过多少时间爆竹离地15米？（重力加速度g≈10米/秒）

例8

某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31．5元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．

分析

解

若一次降价百分率为x，则一次降价后零售价为原来的（1－x）倍，即56（1－x）元；第二次降价百分率仍为x，则第二次降价后的零售价为56（1－x）的（1－x）倍．

设平均降价百分率为x，根据题意，得

56（1－x）＝31．5．

2 - 11 -

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解这个方程，得

x10.25,x21.75．

因为降价的百分率不可能大于1，所以x21.75不符合题意，符合本题要求的是x＝0．25＝25%．

答： 每次降价百分率为25%．

练习

1．某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0．1%）

2．据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率．

习题23．2

1．解下列方程：

（1）2x－6＝0；

（3）3x＝4x；

（5）(x1)2＝2；

2．解下列方程：

（1）(2x1)－1＝0；

（3）x＋2x－8＝0；

2222

（2）27＝4x；

（4）x（x－1）＋3（x－1）＝0；

（6）3(x5)2＝2（5－x）．

22

（2）1(x3)2＝2；

22（4）3x＝4x－1；

22（5）x（3x－2）－6x＝0； （6）(2x3)＝x．

3．求满足下列要求的x的所有值：

（1）3x－6的值等于21；

（2）3x－6的值与x－2的值相等．

4．用适当的方法解下列方程：

（1）3x－4x＝2x；

2222 （2）1(x3)2＝1；

3（3）x＋（3＋1）x＝0； （4）x（x－6）＝2（x－8）；

（5）（x＋1）（x－1）＝22x；（6）x（x＋8）＝16；

（7）（x＋2）（x－5）＝1；

2（8）(2x1)＝2（2x＋1）．

25．已知A＝2x＋7x－1，B＝6x＋2，当x为何值时A＝B？

- 12 -

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6．已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数．

7．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．（精确到0．1米）

（第7题）

8．某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到48．3万元．问4、5两月营业额增长的百分率各是多少？

9．学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚．一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏．请你设计，如何搭建较合适？

阅读材料

一元二次方程根的判别式

我们在一元二次方程的配方过程中得到

b2b24ac(x)．（1）

22a4ab24ac发现当且仅当b－4ac≥0时，右式有平方根.直接开平方，得

4a22bb24ac．

x2a2a也就是说，一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）当且仅当系数a、b、c满足条件b－4ac≥0时有实数根．

观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：

① 当b－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

② 当b－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根

2222x1x22b；

2a③ 当b－4ac＜0时，方程没有实数根．

- 13 -

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这里的b－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一个一元二次方程实数根的情况（是否有？如有，两实数根是相等还是不相等？），如对方程x－x＋1＝0，可由b222－4ac＝1－4＜0直接判断它没有实数根；在用公式法解一元二次方程时，往往也是先求出判别式的值，直接代入求根公式．如第27页例6；还可以应用判别式来确定方程中的待定系数，例如：

m取什么值时，关于x的方程

2x2(m2)x2m20

有两个相等的实数根？求出这时方程的根．

§23.3 实践与探索

试研究下列问题，并与你的同伴交流、讨论．

问题1

小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如图23．3．1．

图23.3.1

（1） 如果要求长方体的底面面积为81cm，那么剪去的正方形边长为多少？

（2） 如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？

折合成的长方体底面积（cm）

剪去的正方形边长（cm）

2281

64

49

36

25

16

9

4

折合成的长方体侧面积（cm）

2探索

在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点．看看与你的感觉是否一致．

问题2

阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长 - 14 -

初中数学123

率应为多少？

分析

探索

翻一番，即为原净收入的2倍．若设原值为1，那么两年后的值就是2．

若调整计划，两年后的财政净收入值为原净收入值的1．5倍、1．2倍、„„那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？

又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现两年后市财政净收入翻一番？

练习

1．某花生种植基地原有花生品种的每公顷产量为3000千克，出油率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克．已知新品种花生的公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是公顷产量增长率的一半，求两者的增长率（精确到1%）．

2．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？

（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？

（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？

（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？

3．某市人均居住面积14．6平方米，计划在两年后达到18平方米．在预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等．请你把问题补充完整，再予解答．

问题3

解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？

（1）

x－2x＝0；

（2）

x＋3x－4＝0；

（3）

x－5x＋6＝0．

方程

222x1

2x2

x1x2

2x1x2

探索

一般地，对于关于x的一元二次方程x＋px＋q＝0（p、q为已知常数，p－4q≥0），试用求根公式求出它的两个根x1、x2，算一算x1x2、x1x2的值，你能发现什么结论？与上面观察的结果是否一致？

习题23．3

- 15 -

初中数学123

1．一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0．1米）

2．水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折相同，每次打了几折？（精确到0．1折）

3．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）

4．某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？

5．如图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形．要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等．请你给出设计方案．（画图并标注尺寸）

(第5题)

6．解下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法：

（1） 已知关于x的方程x－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和q的值；

（2） 已知关于x的方程x－6x＋p－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值．

222小结

一、 知识结构

二、 概括

- 16 -

初中数学123

1． 要联系已有的方程知识，在学习中进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”，在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性．

2． 掌握一元二次方程的各种解法： 直接开平方法、因式分解法、配方法与公式法．着重体会相互之间的关系及其“转化”的思想，并能应用这一思想方法进行自主探索和合作交流．

3． 在应用一元二次方程解实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析；得到方程的解之后，必须检验是否符合题意．

复习题

A组

1．解下列方程：

（1）3x＝2x；

2

（2）6x－40＝0；

（4）y（y－2）＝4－y；

（6）t（t－2）－3t＝0．

22（3）x（3x－1）＝3－x；

（5）4x（1－x）＝1；

2

2．已知A＝2x＋7x－1，B＝4x＋1，分别求出满足下列条件的x的值：

（1）A与B的值互为相反数； （2）A的值比B的值大3．

3．已知关于x的方程（2x－m）（mx＋1）＝（3x＋1）（mx－1）有一个根是0，求另一个根和m的值．

4．已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数．

5．要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分的面积为100平方米．求原正方形广场的边长．（精确到0．1米）

6．村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为1．6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0．4米．求灌溉渠横截面上、下底边的长和灌溉渠的深度．

7．求出本章习题23．1中第3题小题（2）所列方程解的近似值（精确到0．1米），并在学校举行大型活动时实地观察、比较一下效果．

8．如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方航行，随即调整方向，以75海里/时的速度准备在B处迎头拦截．问经过多少时间能赶上？

（第8题）

B组

9．解下列方程：

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初中数学123

（1）4（x－2）－（3x－1）＝0；

（3）x＋5＝25x；

222（2）（2x－1）＋3（2x－1）＋2＝0；

（4）3xx23＝0．

22

10．解下列关于x的方程（a、b是常数，且ab≠0）：

（1）x＋ax－2a＝0；

22 （2）abx－（a－b）x－ab＝0．

2222211．已知x＝1是一元二次方程（a－2）x＋（a－3）x－a＋1＝0的一个根，求a的值．

12．已知关于x的方程2x－4x＋3q＝0的一个根是1－2，求它的另一个根和q的值．

13．已知代数式x－5x＋7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

14．学校原有一块面积为1500平方米的长方形场地，现结合整治环境，将场地的一边增加了5米，另一边减少了5米，结果使场地的面积增加了10%，求现在场地的长和宽．

22

C组

15．试求出下列方程的解：

x12x21． （1）（x－x）－5（x－x）＋6＝0；（2）2x1x22216．证明： 不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m总有两个不相等的实数根．

17．已知xy≠0，且3x－2xy－8y2＝0，求22x的值．

y18．已知关于x的方程（m－1）x－（m－2）x－2m＝0.它总是二次方程吗？试求出它的解．

19．某产品每件生产成本为50元，原定销售价65元．经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降10%，第二个季度又将回升4%．若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题补充完整并解答．

2 - 18 -


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