2024年4月11日发(作者：龙坪中考数学试卷分析题)
2015年吉林省高考理科数学试题与答案
(word版)
2015年吉林省高考理科数学试题与答案
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡
上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无
效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-2,-1,2}，B={x|(x-1)(x+2)<0}，则A∩B={-
1,1}。
2.若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i，则a=1.
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放
量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是：逐年比较，
2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著。
4.等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则
a3+a5+a7=63.
5.设函数{an}=(1/3)^n，则(-2)^n+1=6.
6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视
图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为5/6.
7.过三点(1,3)，(4,2)，(1,-7)的圆交于y轴于M、N两点，
则MN=10.
8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章
算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b分别
为14,18，则输出的a=2.
开始
输入a,b
如果a不等于b，则执行以下操作：
输出a
否则，如果a大于b，则执行以下操作：
a=a-b
否则，执行以下操作：
b=b-a
结束
9）已知球O上两点A,B，且∠AOB为θ，C为球面上的
动点。若三棱锥O-ABC的体积最大值为36，则球O的表面积
为多少？
解：设OC=h，则由勾股定理得 AC²=AO²+OC²=OB²+OC²，
即AC=OB。又设AB=r，则OC=r cosθ/2，AB=2r sinθ/2.
由三棱锥的体积公式 V=1/3×底面积×高，得
V=1/3×(1/2×AB×AC)×h=1/6r²sinθ×r cosθ/2×h=1/6r³sinθ cosθ/2×h。
由于V的最大值为36，因此r³sinθ cosθ/2×h=216.
又由球的表面积公式 S=4πr²，得
S=4πr²=4π(AC²+OC²)=4π(4r² sin²θ/2+r² cos²θ/2)=16πr²
sin²θ/2+4πr² cos²θ/2.
将r³sinθ cosθ/2×h=216代入S中，得S=16π×(216/h)²/3
sin²θ/2+4π×(216/h)²/3 cos²θ/2=144π(1+sin²θ/2)。
因此，球O的表面积为144π。
10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB
的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，∠BOP=x。将动
点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则f(x)的图
像大致为（图略）。
解：设PC=x，则PD=2-x，BP=√(x²+1)，AP=√[(2-x)²+1]。
根据余弦定理，有cos∠BOP=BP²+OP²-OB²/[2(BP)(OP)]，即
cosx=(x²+1)/2x。
因此，AP+BP=√[(2-x)²+1]+√(x²+1)=√(x²+1)+2-2x/√[(2-
x)²+1]+2-2x，即f(x)=(√(x²+1)+2-2x)/√[(2-x)²+1]+2-2x。
将f(x)化简，得f(x)=√(x²+1)/(2x-3)+1，x∈(0,1]。由于f(x)
是单调递减的，因此f(x)的图像大致为（图略）。
11）已知双曲线的左、右顶点为A、B，点C在上方，且
∆ABC为等腰三角形，顶角为120°。求该双曲线的离心率。
解：设双曲线的中心为O，焦点为F1、F2，半轴长为a、
b，则OF1=OF2=c，其中c为焦距。又设∠AOC=θ，则
∠BOC=2π/3-θ，由于AO、BO分别为双曲线的渐近线，因此
AO=BO=c。
根据余弦定理，有AC²=AO²+OC²-2AO×OC cosθ，即
b²=a²+c²-2ac cosθ。又由于AB=AC，因此a²-b²=c²，代入上式
得a²-2ac cosθ=0，即cosθ=a/c。再根据双曲线的离心率公式
e=c/a，得e=cosθ=AC/2c=1/2.
13）设向量a、b不平行，向量c与a+2b平行，则实数
λ=（a×b)·c。
解：由向量积的性质，有
(a×b)·c=[a×(a+2b)]·c=a·(a×c)+2(a×b)·c=a·(a×c)+2λ。又因为c
与a+2b平行，所以存在实数k，使得c=k(a+2b)。因此，
a·(a×c)=a·(a×k(a+2b))=0，代入上式得λ=2λ，即λ=0.
14）若x、y满足约束条件x+y=1/2，求z=x+y²的最大值。
解：将x+y=1/2代入z=x+y²，得z=x+(1/2-x)²=3/4-x+(x-
1/4)²。由于(x-1/4)²≥0，因此z≤3/4-x+1/4=1/2，即z的最大值为
1/2，当且仅当x=1/4、y=1/4时取到。
15）已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且a_1=-1，
a_{n+1}=S_n/S_{n+1}，求lim(n→∞)a_n。
解：根据a_{n+1}=S_n/S_{n+1}，得S_n=a_1+a_2+。
+a_n=-1+a_{n+1}S_{n+1}，即a_{n+1}=S_n/S_{n+1}=(-1-
S_n)/S_{n+1}。因此，a_{n+2}=(-1-S_n)/S_{n+2}，a_{n+3}=(-
1-S_n-S_{n+2})/S_{n+3}，a_{n+4}=(-1-S_n-S_{n+2}-
S_{n+3})/S_{n+4}，以此类推。
将a_{n+4}代入a_{n+3}的式子中，得a_{n+3}=(-1-S_n-
S_{n+2}-S_{n+3})/S_{n+4}=(-1-2S_{n+3})/S_{n+4}，即
S_{n+4}=-2S_{n+3}-1.
因此，S_{n+3}=-2S_{n+2}-1，S_{n+2}=2S_{n+1}+1，
S_{n+1}=-2S_n-1.将S_{n+1}代入a_{n+1}的式子中，得
a_{n+1}=(-1-S_n)/(-2S_n-1)，即S_n=-1/a_{n+1}-1.因此，
lim(n→∞)a_n=lim(n→∞)S_n=S_{∞}=-1/a_{∞+1}-1，即
a_{∞+1}=-1/(S_{∞}+1)。
又因为S_{n+1}=a_1+a_2+。+a_n+a_{n+1}=S_n+a_{n+1}，
因此S_{∞}=-1/a_{∞+1}-a_{∞+1}=-1/(S_{∞}+1)-(-1/S_{∞+1}-
1)，解得S_{∞}=1/2，即lim(n→∞)a_n=-1/3.
17）∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，且
∆ABD是∆ADC面积的2倍。求sinB，BD和AC的长。
解：设∠BAD=∠CAD=x，则∠BAC=2x，
∠ABD=∠ACD=x，∠DBC=∠BAC-∠ABD=2x-x=x，因此
∆ABD与∆ADC相似。设AB=c，BD=x，DC=y，则
AC=c+x+y。
由题意得[c(x+y)sinx]=2[(x+y)c sin2x]/2，即
c(x+y)sinx=(x+y)c sin2x，化简得x+y=2sinx。又由正弦定理得
c/sin2x=x/sin(x+2x)，即c=2x cosx。
根据正弦定理得BD/sinx=DC/sin2x，即
x/sinx=(c+x+y)/sin2x，代入上式得x/sinx=(c+2sinx)/sin2x，即
x=2c sin²x/(1+cosx)。代入上式得y=2c sinx/(1+cosx)。
由正弦定理得sinB/sin2x=sin(x+B)/sinx，即
sinB/sin2x=sin(3x-B)/sinx，代入上式得sinB=2sinx sin(3x-
B)/(1+cosx)。
又因为∆ABD与∆ADC面积的比为1:2，因此
根据余弦定理得AC²=c²+(x+y)²+2c(x+y)cosx=c²+4sin²x+4c
sinx，代入上述结果得AC²=5c²+8c sin²x+8c sinx=20c²+16c
sin²x=16c²+16c(1-cos²x)=16c²+16c sin²(2x)。
因此，sinB=2sinx/(5+2cosx)，BD=2c sin²x/(1+cosx)，
AC=√(16c²+16c sin²(2x))。
18）已知函数f(x)=x³-3x，证明：对于任意实数a，都有
f(f(f(a)))≤f(a)。
证明：首先，f(x)=x³-3x=x(x²-3)，因此f\'(x)=3x²-3，
f\'\'(x)=6x，f\'\'\'(x)=6.因此，当x1时，f(x)单调递增。又因为f(-
2)=2，f(0)=0，f(2)=2，因此f(x)的图像如下（图略）。
设b=f(a)，c=f(b)，d=f(c)，则有b,c,d∈[-2,2]。若a∈[-
2,2]，则有f(a)≤2，因此f(f(f(a)))≤f(f(2))=f(2)=2=f(a)。
若a>2，则有b=f(a)b，d=f(c) f(f(f(a)))=f(f(d))=f(c)≤c=f(b)≤b=f(a)。同理，若a<-2，则有 f(f(f(a)))=f(f(b))=f(c)≤c=f(b)≤b=f(a)。 综上所述，对于任意实数a，都有f(f(f(a)))≤f(a)。 1，求m的取值范围。 某公司为了了解用户对其产品的满意度，分别从A、B两 地区随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如 下： A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图， 并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不 要求计算出具体值，得出结论即可）。 A地区的茎叶图： 5 | 3 3 6 | 2 4 4 6 7 | 3 4 6 8 8 | 2 5 6 9 | 2 5 平均值：79.6，分散程度：中等 B地区的茎叶图： 4 | 6 8 5 | 1 3 4 6 6 | 2 5 5 5 7 | 3 3 4 6 8 | 1 2 2 7 9 9 | 3 平均值：68.45，分散程度：较大 通过茎叶图可以看出，A地区的用户满意度评分平均值较 高，分散程度中等；B地区的用户满意度评分平均值较低，分 散程度较大。 Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为 三个等级： 满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的 满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所
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