最新人教版数学八年级上学期《期中考试卷》附答案

2024年1月6日发(作者：怎样检测数学试卷)

人教版数学八年级上学期

期中测试卷

学校 班级 姓名 成绩

考试时间120分钟满分120分

一.选择题

1 .下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）

A.

a6 B.

nr + nr = m4

3

.已知V = 2, f = 4,则寸\"\"的值是()

A. 2 B. 6

4

.若(x+2)(x-a)中不含x项，那么。的值为(

A. 0 B. 2

5

.已知在和4DEF中,NA=ND=90。,则卜列条件中不能判定△回（：和4DEF全等的是（）

A. AB=DE，AC=DF B. AC=EEBC=DF C. AB=DE,BC=EF D. ZC=ZEBC=EF

6

.下图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁=8m,/A=3O。,则立柱BC的长度为（）A. 4m

B. 8m C. 10m D. 16m

7

.如图，在^ABC中,AB=10, AC = 6, BC的垂宜平分线交AB于D,交BC于E,则aADC的周长等于（

A. 4

B.6

C. 10 D. 16

8

.如图，将一个长方形A6c。纸片沿着所折总，使C,。两点分别落在点。，。\'处.若此=70。，则

A. 70°

B. 40° C. 30° D. 20°

9

.如图,在已知的△回（?中,按以卜步骤作图：

①分别以B、C为圆心，以大于LBC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N：②作直线MN交AB于点D,

2

连接

CD,若

CD=AC, NA=50\"

,则

NB=（ ）

B. C. 30。

D. 25°

10

.从边长为〃的大正方形纸板中挖去一个边长为〃的小正方形纸板后,将其裁成四个相同的等腰梯形（如图

甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）.那么通过计算两个图形阴影部分的面枳，可以验证成立的公式为

图甲

图乙B.

(a + bf =a2 + 2ab + b2

D.

= a - 2ab+b22A.

cT -b2 = (a+ 〃)(〃-〃)

C.

a-lr =(a-h)

211

.如图，在AABC中，A3 = AC,8C = 4,面积是16, AC的垂直平分线\"分别交AC,A3边于上，尸点,

若点。为8c边的中点，点”为线段石尸上一动点，则ACZW周长的最小值为（）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

12

.已知,如图,等腰△ABC, AB=AC, ZBAC=120° , AD J_BC于点D,点P是BA延长线上一点,点O是线

段AD上一点,OP = OC,下列结论：①AC平分NPAD： ®ZAPO=ZDCO：③△€»?（：是等边三角形：④AC

=AO4-AP；其中正确序号是（A.①③④

B. 2/3

C.①®® D.①③

二.填空题

13

.若点A (a, - 2)与点B( - 3, b)关于x轴对称,则a=

14

.等腰三角形的两边长分别为3和4,则周长为.

15

.若V+mt+9是关于x的完全平方式,则〃7的值是 ____________________

16

.如图，ZiABC

中，NACB = 90。，BE

平分NABC,ED_LAB

于

D.如果NA=30° , AE = 6,那么

CE =

b

17

.如图,某居民小区有一块长为（3a+b）米,宽为（2a+b）米 长方形地块,计划将阴影部分进行绿化,中间将

修建一个雅塑,底座是边长为（a+b）米的正方形.绿化的面积是多少平方米—

18

.已知

x#l,计算：(1 -x) (l+x) = l - x2, (1 - x) (1+x+x2) =1 - x3.

（D观察以上各式并猜想：（1 -x）（l+x+xK……+x「）=（n为正整数）.

（2）根据你猜想计算：

①（1 - 2） （1+2+2¥23+2珏25） =； ②2十2斗23十…+2。=(n为正整数).

三.解答题

19

.计算：⑴2冷尸(一3冷，4).

2

22 2

(2)

(-y\'-3y + -y)^-y

20

.利用乘法公式计算：

(1) (2x - 3y) - (y+3x) (3x - y)

(2) (a - 2b+3) (a+2b - 3).

21

.已知x+y=7, xy=2,求卜列各式的值:

(Dx-4-y：

(2)2(x-y).

222

22

.先化简,再求值:(2+a) (2 - a)+a(a - 5b)+3a5b54- ( - a2b尸,其中

ab= - 2.

23

.如图，写出aABC的各顶点坐标，并画出AABC关于y轴对称的并求出&ABC的面积.

24

.如图，AAOB, ACOD是等腰宜角三角形，点D在AB上.

(D求证：△ACO9z^BDO；

⑵若NBOD = 30。，求NACD度数.

25

.如图：已知等边AABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD. DM±BC,垂足为M,

(D求证：M是BE的中点.

(2)若

CD=1, DE=\"，求AABD

的周长.

26 .H^A8C中，/4C5 = 90。，直线/过点C.

(1)当AC = 8C时，如图1,分别过点A和8作AO«L直线/于点。，BE上直线I于点EoACD与ACBE

是否全等,并说明理由:

⑵当4c = 9。几6c = 6c〃?时，如图2,点8与点尸关于直线/对称，连接8/、CF,点”在AC上，点N

是C尸上一点，分别过点M、N作直线/于点。，NE1直线/于点点M从点A出发，以每秒

1cm的速度沿A f C路径运动,终点为。，点N从点尸出发,以每秒3cm的速度沿F

TCTBTCTF

路径运动,终点为尸,点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为f秒.

①当4cMN为等腰直角三角形时，求/的值；

②当AMDC与&CEN全等时,求，的值.

27

.如图在直角坐标系中，四边形ABCO为正方形,A点的坐标为(a, 0). D点的坐标为(0. b),且a, b满足(a - 3)-+|b - 73|=O.

(D求A点和D点的坐标;

(2)若NDAE= 1 ZOAB,请猜想DE, OD和EB的数量关系，说明理由.

⑶若NOAD=30“，以AD为三角形 一边,坐标轴上是否存在点P,使得APAD为等腰三角形，若存在，直 接写出有多少个点P,并写出P点的坐标,选择一种情况证明.

答案与解析

一.选择题

1

.卜.面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形 是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

结合轴对称图形的概念进行求解即可.

【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：

A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项错误：

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项正确.

故选B.

【点睛】本题考查/轴对称图形的概念，轴对称图形的关健是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2

.卜.列运算正确的是（）

A.

a6 4-03 =a2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据同底数幕除法,合并同类项，同底数幕乘法以及哥的运算法则即可依次判断.

【详解】A.

故错误：

B.

nr + m2 = m4 C.，•（-〃）-=，

D.（2，） =8。”

B,+ m2 = 2m2，故错误:

C.，•（一〃）-=，•\" =/,正确

D.（2才）;44,故错误；

故选C.

【点睛】此题主要考查同底数耗除法,合并同类项，同底数界乘法以及解的乘方,解题的关健是熟知运算公 式.

3

.己知片=2, f =4,则/w的值是()

A. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据界的乘方法则以及同底数第的乘法法则计算即可.

【详解】解：・・・£B. 6 C. 8 D. 16

=2,f =4,

・・.=(x<,px/, = 22x4 = 4x4=16.

故选D.

【点睛】本题主要考查了事的运算,熟记事的运算法则是解答本题的关键.

4.若(x+2)(x-〃)中不含x项，那么。的值为()

A. 0

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据多项式与多项式相乘的法则把原式变形,再根据题意列式计算即可.

【详解】(x+2)(x-n)

B. 2 C. -2 D. 4

=x + 2x-ax-2a

=x+ (2-a)x-2a,

由题意得,2—:2a=0,

解得a=2,

故选：B.

【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项 式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

5

.己知在△ABC和ADEF中,NA=ND=90。,则卜列条件中不能判定△■(：和4DEF全等的是()

A. AB=DE,AC=DF B. AC=EF,BC=DF C. AB=DE,BC=EF D. ZC==EF

【答案】B

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定,逐个分析即可.

【详解】A. AB=DE, AC=DF,且NA二ND二90°

,根据

SAS, Z^ABC

和4DEF

全等；

B. AC=EF,BC=DF ,且NA二ND二900

,不能判定△出（：和4DEF

全等；

C. AB=DE, BC=EF，且

NA=ND二90\"

,根据

HL, △ABC

和4DEF

全等；

D. ZC=ZF,BC=EF,且/A=ND二90°

,根据

AAS,/XABC

和4DEF

全等.

故选B

【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定.解题关键点：熟记全等三角形的判定.

6 .卜图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC, AB=8m, ZA=30°

,则立柱BC的长度为（）

A. 4m B. 8m C. 10m D. 16m

【答案】A

【解析】

【详解】根据含30度角的直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半，即可得出答

案.VBC±AC, NA=30。，

・ ~ , 1 1

• •在

RtA ACB

中,BC= — AB= —

x 8=4m.

2 2

故选A.

点评：此题主要考查学生对含30度角的直角三角形这一知识点的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体思想,同时此题难度不大，也便『激发学生的学习兴趣.

7

.如图，在△ABC中,AB=10, AC=6, BC的垂直平分线交AB于D,交BC于E,则4ADC的周长等于（ 现了学以致用的）

A. 4

B. 6 C. 10 D. 16

【答案】D

【解析】

【分析】

根据垂直平分线的性质,DC=DB,从而等量代换求解.

【详解】解：・・・DE是BC的垂直平分线，

.DC=DB,

:.AADC

的周长=AC+AD+DC = AC+AD+DB=AC+AB = 16,

故选D.

【点睛】利用垂直平分线的性质是本题的解即关健.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.

8

.如图，将一个长方形ASC。纸片沿着石尸折叠，使C。两点分别落在点。，。\'处.若NS尸石=70。，则

NAEZT的度数为（）

A.

70°

【答案】B

【解析】

【分析】

B.

40°

C. 30°

D. 200

依据平行线的性质，即可得到NDEF= NBFE= 70。，进而得出NDED』2NDEF=140。，依据邻补角即可得 到NAED的改数.

【详解】VAD/7BC,

/.ZDEF=ZBFE = 70o,

由折总可得,ZDED=2ZDEF=140°.

,:.ZAED\' = 180-140=40°,

故选：B.

【点睛】本题主要考充了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等.

oo

9

.如图,在已知的△\"（：中，按以卜步骤作图:

①分别以B、C为圆心，以大于」BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N：②作直线MN交AB于点D, 2

连接

CD.若

CD=AC, NA=50°

,则

NB=（ ）

C. 30

【答案】D

【解析】 【分析】

D. 25°

由作图痕迹可知MN是线段BC的垂直平分线，然后利用中垂线的性质和等腰三角形的性质求得NB = ZBCD,

NCDA=NA=50°

,最后利用三角形外角的性质求解.

【详解】解：:根据题意得出MN是线段BC的垂直平分线，

・ ・・CD=BD,即

ZB=ZBCD.

VCD=AC,

・ ・・NCDA=NA=50° ,

・ : ZB+ZBCD = ZCAD,

AZB=- ZCDA=25° . 2

故选D.

【点睛】本题考查垂直平分线的判定和性质、等腰三角形等边对等角，及三角形外角等于不相邻的两个内角 和，熟练掌握以上内容是本，题的解题关键.

10

.从边长为〃的大正方形纸板中挖去一个边长为〃的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图 甲）,然后拼成一个平行四边形（如图乙）.那么通过计算两个图形阴膨部分的面枳，可以验证成立的公式为

A.

a-b =(« + /?)(«-/?)

22B. (^ + /?)：

=a2 + 2ab+b2

D.

(a-h)~ =a2 - 2ab + b2

C.

a2-b2 =(a-h)

【答案】A

【解析】

【分析】

分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面枳，从而得到可以验证成立的公式.

【详解】由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a-b,即平行四边形的高为

a-b,

•・•两个图中的阴影部分的面枳相等,即甲的面积=a=b乙的面积=(a+b) (a-b).

BP： a「b?=(a+b) (a-b).

所以验证成立的公式为：a二b?= (a+b) (a-b).

故选：A.

【，点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键.本题主要利用面积公 式求证明

a-b-=

(a + b) (a-b).

11

.如图，在AA6C中，A8 = AC,8C = 4,面枳是16, AC的垂直平分线石/分别交AC.A8边于£尸点，

若点。为6c边的中点，点”为线段石尸上一动点，则ACZW周长的最小值为()

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

【解析】

【分析】

连接AD. AM,由于公ABC是等腰三角形，点D是BC的中点，枚A3_L8C,在根据三角形的面积公式求出AD

的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C, M4 = MC,推出

MC+DM =MA + DM > A。，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论.

【详解】连接

V △ ABC是等腰三角形,点D是BC边.卜.的中点

・ •・AD±BC

：.SAABC = - = -x4xA£) = 16 2 2

解得人。=8

〈EF是线段AC的垂宜平分线

・

•・点A关于直线EF的对称点为点C

:・MA = MC

・ ： AD

AAD的长为BM+MD的最小值

ACDM的周长最短

= (CM + MD)+CD

=AD+-BC 2

=8+-x4

2

=10

故选：c.

【点睛】本题考查了三角形线段长度的问题，掌握等腰三角形的性质、三角形的面枳公式、垂直平分线的性 质是解题的关键.

12.已知,如图，等腰△ABC, AB=AC, ZBAC= 120° , AD±BC于点D,点P是BA延长线上一点，点O是线

段AD上一点,OP = OC,下列结论：①AC平分/PAD： ®ZAPO=ZDCO：③△OPC是等边三角形：④AC

=ACKAP；其中正确的序号是( )

【答案】A

【解析】

【分析】

①利用等腰三角形等边对等角和三角形外角的性质得到NPAC=NDAC=60\"，从而判断;

②因为点O是线段AD上一点,所以BO不一定是NABD的角平分线，可作判断；

③证明NPOC=60。且OP=OC,即可证得AOPC是等边三角形；

④首先证明AOPAgZkCPE,则

AO-CE, AC-AE+CE-AO+AP.

【详解】解：①：AB=AC, NBAC=120° , AD_LBC：

/. ZCAD= - ZBAC = 60° , ZPAC=1800 - ZCAB = 60u , 2

:.ZPAC=ZDAC,

・・.AC平分NPAD,故①正确：

②由①知：ZAPO=ZABO, ZDCO=ZDBO.

,・,点O是线段AD上一点，

ZABO与NDBO不一定相等,则NAPO与ZDCO不一定相等，

故②不正确：

@V ZAPC+ZDCP+ZPBC=180° ,

••・NAPC+NDCP=150° ,

VZAPO+ZDCO = 30° ,

.*.ZOPC+ZOCP=120,> ,

・・・NPOC=180° - (ZOPC+ZOCP)=60<> ,

VOP = OC,

•••△OPC是等边三角形：

故③正确；

D.

④如图,在AC上截取AE=PA,

B D C

・ ZPAE=1800 - ZBAC = 60° ,

・ ••△APE是等边三角形，

・ ・・NPEA=NAPE = 60> ,PE=PA.

AZAPO+ZOPE = 60,

・ / ZOPE+ZCPE= ZCPO = 60° , AZAPO=ZCPE.

VOP = CPt

,PA = PE

在△OPA

和

ACPE

中，<

ZAPO = /CPE , OP = CP

.

AOPA^ACPE(SAS),

.,.AO=CE,

:.AC—AE+CE=AO+AP ：

故④正确.

故选A.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定卬性质以及全等三角形的判定与性 质，正确作出辅助线是解决问题的关键.

二.填空题

13

.若点A (a,-2)与点B(・3, b)关于x轴对称，则ab=.

【答案】9

【解析】

【分析】

根据关于x轴时称的点的坐标变化,横坐标不变,纵坐标互为相反数求a.b的值,从而求解.

【详解】解：•・,点A(a,-2)与点3(・33)关于乂轴对称，

.*.a= - 3, b=2, /.ab=(-3):=9.

故答案为9.

【点睛】熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律是本题的解题关键.点P@b)关于x轴对称的点的坐标 为(a「b),关于y轴时称的点的坐标为(-a.b),关于原点对称的点的坐标为(-a,-b).

14

.等腰三角形的两边长分别为3和4,则周长为.

【答案】10或H

【解析】

【分析】

因为等腰三角形的两边分别为3和4,但没有明确哪是底边，哪是腰,所以有两种情况,需要分类讨论.

【详解】解：当3为底时，其它两边都为4, 3、4、4可以构成三角形，此时周长为11;

当3为腰时，其它两边为3和4, 3、3、4可以构成三角形，此时周长为10.

故答案为10或11.

【点睛】本题主要考查了三角形三边关系：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没行明确哪边是底哪边 是腰时，应在符合三角形三边关系的前提卜分类讨论.

15

.若V+机丫+

9是关于X

完全平方式，则6的值是.

【答案】±6

【解析】

【分析】

当二次项系数为1时,完全平方式满足：一次项系数一半的平方等于常数项，即(3尸=9,由此可求m的值. 【详解】根据完全平方公式，得

解得m=±6,

故答案为：±6.

【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式, 注意枳的2倍的符号,避免漏解,难度适中.

16

.如图，在△ABC

中，NACB = 90\" ,BE

平分NABC,ED_LAB

于

D.如果NA=30° , AE = 6,那么

CE =

[f ] 3

【解析】

【分析】

根据直角三角形中,30°角所对的直角边是斜边的一半求得DE= g AE = 3,然后利用角平分线的性质求解.

2

【详解】解：・・・NADE=90\" , NA=30° ,

/.DE=-AE = 3, 2

VBE

平分

NABC, EDI AB. EC±BC,

・・.CE=DE = 3,

故答案为3.

【点睛】掌握直角三角形中,30。角所对的直角边是斜边的一半,及角平分线上的点到角两边的距离相等是

本题的解职关键.

17.如图,某居民小区有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块，计划将阴影部分进行绿化，中间将 修建一个雕塑，底座是边长为(a+b)米的正方形.绿化的面积是多少平方米.

—

► a-b <

【答案】5屋+3ab

【解析】

【分析】

长方形的面积等于：(3a+b) (2a+b),中间部分面积等于：(a+b) (a+b),阴影部分面积等于长方形面积-中间部 分面积，化简计算.

【详解】解：绿化的面积是(3a+b)(2a+b) - (a+b)2

=6a24-3ab+2ab+b2 - a2 - 2ab - b2

= 5a2+3ab,

故答案为5a:+3ab.

【点睛】本题考查了阴影部分面积的表示和多项式的乘法，完全平方公式，准确列出阴影部分面积的表达式

是解题的关键.

18.已知

xWl,计算：(1 ・ x) (1+x) =1 ・ X、(1 - x) (1+x+x2) =1 - x3.

⑴观察以上各式并猜想：(1・x) (1+x+xK……+x。) =(11为正整数).

(2)根据你的猜想计算：

①(1 - 2) (1+2+22+23+24+25) =；

②2+2-23+…+2。=(n为正整数).

【答案】

(1). l・x*】

【解析】

【分析】

(2). -63 ⑶.2*-2

(D

观察可得(1 ・ X)(l+x+x+—+X)=l - X-l：

⑵①利用猜想的结论得到(1-2) (1+2+2?+23+24+25)=1・26=1-64=-63；②先变形

：n2+22+23+24+.一+20=2(1+2+2423+24+.一+2叫=-2(1-2)(1+2+2423+24+...+2叫，然后利用上述结论写出结果.

【详解】解：(1) (1 -x) (l+x+x2+-+xn)=l • x叫

所以答案为：1-xE；

⑵①(1 ・ 2) (1+2+2斗23+24+25) =1 ・ 26=1 ・ 64= - 63；

所以答案为：・63：

@24-22+23+24+―+2n=2 (l+2+22+23+24+―+2n* 9 = - 2(1 - 2) (l+2+22+23+24+―+2n 9= -2(1 - 22；

所以答案为：2*2.

【点睛】此题考查了整式的混合运算及数字变化类问题,根据题意熟练得到数字变化规律是解本题的关键.

三.解答题

19.计算：(1)2孙2 (-3孙4).

2 2 2

(2)

(-y\'-3y2 + -y)^-y

3 . 9

【答案】(1)

一6厂)，：(2)1)厂—jy + l

【解析】

分析】

(D根据整式的运算法则即可求出答案：

(2)根据整式的运算法则即可求出芥案.

【详解】(1)原式=2 x (-3)(X X)•(/•/)= -6.V/ ：

,2 3 2 …2 2 2 3，9

f

(2)原式=不丫

+

= _y __y+l

【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型.

20 .利用乘法公式计算：

(1) (2x - 3y)2 - (y+3x) (3x - y)

n) =2o+1 -

(2) (a - 2b+3) (a+2b - 3).

【答案】(1) - 5x【解析】

【分析】

2- ^xy+lOy： (2)a - 4b+12b - 9.

22:(D利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，然后合并同类项；

(2)将原式变形为[a - (2b -3)][a+(2b-3)]然后利用平方差公式进行计算.

(详解】解：(1)原式=4x? - 12XV+9V2 - (9x - y)

22=4x2 - 12xy+9y2 - 9x24-y2

=-5x - ^y+lOy：

(2)原式=

[a- (2b-3)][a+(2b-3)]

=a - (2b-3)

=a2 - 4b2+12b - 9.

【点睛】掌握乘法公式是本题的解题关键.(a + ^f

=标+

2而+ 〃,(。+ 〃)(4-6)=/一〃.

222221

.已知x+y=7, xy=2,求卜.列各式的值：

⑴炉+卡；

(2)2(x・y>.

【答案】(1)45； (2)82.

【解析】

【分析】

(D将原式变形 完全平方式,然后代入求值；(2)将原式变形为2[(x+y尸-4xy],然后代入求值.

【详解】解：(l)：x+y=7,xy=2,

.*.x2+y2= (x+y)2 - 2xy=72 - 2 X 2 = 45：

(2) Vx+y=7,xy=2,

/. 2(x - y):=2[ (x+y)2 - 4xy]

=2X[72-4X2]

= 82.

【点睛】本题主要号查了完全平方公式，熟记公式井灭活运用是解题的关键.完全平方公式:

(a±b)

:=xi2ab+b.

2222.先化筒，再求值：(2+a) (2 - a)+a(a - 5b)+3a5b5-r ( - a2b)2,其中

ab= - 2.

【答案】-2ab+4, 8.

【解析】

【分析】

将原式按照平法差公式,单项式乘多项式,单项式除以单项式的法则进行计算并化简,然后代入求值.

(详解］解：原式=4 - a2+a - 5ab+3ab4- (ab)

25342=4 - a2+a2 - 5ab+3ab

=-2ab+4,

当ab= - 2时，原式=8.

【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值,解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法.

23

.如图，写出MBC的各顶点坐标，并画出*ABC关于y轴对称的丛£(“并求出SBC的面枳.

【

解析】

试题分析：首先根据坐标系写出A、B、C三点坐标,再确定A、B、C三点关于y轴而称 点的坐标,然后连 接可得MIBICL最后计算出面积即可.

解：A(-3,2),B(-4,-3),C(-L-l),

△ABC大卜y轴对称的乙AiBiCi如图所不：

△ABC

的面积:3x5

•印xlx5-,x2x3-、X2x3=6.5.

dLo

24

.如图，AAOB, ACOD是等腰直角三角形，点D在AB匕

(1)求证：△ACOgZiBDO；

⑵若NBOD=30°

,求NACD度数.

【答案】(1)证明见解析：⑵NACD = 60° .

【解析】

【分析】

⑴根据等腰直角三角形得出OC=OD. OA=OB, NAOB=NCOD=90。,求出/AO JNBOD,根据全等三角形 的判定定理推出即可；

(2)根据全等三角形的性质求出NBOD=NACO=3(T ,NCAO=NOBD=45°

,然后利用三角形内角和求 出NACO,进而求解.

【详解】解：(l);ZAOB,ZkCOD是等腰直角三角形，

，OC = OD、AO=BO. ZCOA+ZAOD= ZDOB+ZAOD=90° ,

/.ZCOA=ZDOB,

.•.△ACO^ABDO (SAS),

⑵解：VAACO^ABDO,

A ZBOD= ZACO=30° , ZCAO= ZOBD=45° ,

・•・ NACO =180° - 30° -45° =105° ,

A ZACDZACO - ZOCD=105° -45° =60° .

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质等知识点，能熟练地运用全等三角形 的判定定理求出两三角形全等是解此题的关健,注意：全等三角形的对应边相等,对应角相等；全等三角形 的判定定理有SAS, ASA, AAS,

SSS.

25.如图：已知等边中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD, DM_LBC,垂足为M,

（D求证:M是BE的中点.

⑵若CD= 1, DE=

,求^ABD的周长.

【答案】（1）证明见解析：（2）3+JJ.

【解析】

【分析】

（D连接BD,根据等边三角形的性质得到NDBC=；NA6c=30。,再利用三角形外角性质得到・・・NE = 30°

,然后利用等角对等边及等腰三角形三线合一的性质进行证明：（2）利用等边三角形的性质和30°所对 直角边是斜边的一半求解.

【详解】（1）连接BD,

・ ・・NABC=/ACB=60° , AB=BC=AC,

,・，D为AC的中点，

/.ZDBC=-Z4^C=30° , 2

VCD = CE,

:.ZE=ZCDE,

・ : ZE+ZCDE=ZACB=60 \',

・ ・・NE=30° ,

:.ZDBC=ZE,

/.BD=ED,

A DM ± BE,

・ ・・M是BE的中点:

(2)由题意可知,BD=DE= \",

・ ・・D为AC的中点，

.AD = CD=1,

又•・•等边4ABC中,D是AC的中点

AB=AC=2CD=2,

则

aABD

的周长

AB+AD-BD=3+.

【点睛】熟练掌握等边三角形三线合一的性质是本题的解题关键.

26.R^A5C中，NACB = 90。，直线/过点C.

(1)当AC= SC时,如图1,分别过点A和8作4。_L直线/于点。，8E1宜线/于点E^ACD与ACBE

是否全等，并说明理由；

⑵当AC =

9cm, BC =

时，如图2,点B与点F关于直线/对称,连接6尸、CE点”在4。上，点N

是。尸上一点，分别过点A/、N作用。_1_直线/于点D

直线/于点E,点/从点A出发，以每秒

1cm的速度沿A f C路径运动,终点为C,点N从点尸出发,以每秒3cm的速度沿F

TCTBTCTF

路径运动,终点为尸，点用、N同时开始运动,各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为，秒.

①当△CMN为等腰直角三角形时，求/的值;

②当AA/ZX:与KEN全等时,求，的值.

15 9

【答案】（DA48与△C5E全等，理由见解析：（2）①/=一秒或一秒：②，=一秒或一秒或一秒

4 2

【解析】

【分析】

⑴根据垂直的定义得到NDAC=NECB,利用AAS定理证明4ACD/ZkCBE：

15 9 27

4 2 4

（2）①分点F沿C-B路径运动和点F沿B-C路径运动两种情况,根据等腰三角形的定义列出算式,计算即 可；

②分点F沿F-C路径运动，点F沿C-B路径运动，点F沿B-C路径运动，点F沿C-F路径运动四种情况, 根据全等三角形的判定定理列式计算.

【详解】（1）A4C£理由如下：直线/,

>与ACBE全等.

.ZDAC+ZACD = 90°,

Z4CB = 90°,

ZBCE+ZACD = 900,

：.ZDAC = ZECB,

在A4C。和AC6七中，

\'/ADC = NCEB

< ^DAC=^ECB,

CA = CB /. AACD = ^CBE(AAS)；

（2）①由题意得，AM=f,

FN = 3i,

则

CM=9T,

由折叠的性质可知，CF = CB = 6,

:.CN = 6-3t,

点、N在BC上时，△CWN为等腰直角三角形，

当点尸沿C f 6路径运动时，由题意得，9T = 3- 6,

解得

4

当点F沿8 —C路径运动时，由题意得，9-/ = 18-3r,

9

解得，/= 一，2

综上所述，当/= 一秒或一秒时，15 9

ACMN为等腰直角三角形：

4 2

②由折吾的性质可知，ZBCE=ZFCEt

••• ZMCD+4CMD = 9Q。,

ZMCD+ZBCE = 9Q°

t

JZNCE=KMD,

・•・当

CM = CV

时，M4DC g ACEN

全等,

当点F沿尸7C路径运动时，9T = 6-3/,

解得〃 二-2(2

不合题意)，

当点尸沿C f 8路径运动时，9-/ = 3/-6,

解得，/=\"，4

当点F沿8一

C路径运动时，由题意得，9-/ = 18-3/,

9

解得，/= 一，2

当点尸沿C f尸路径运动时，由即意得，9 T = 3/ -18,

27

解得,八一,

4

综上所述,当，=一秒或一秒或一秒时，15 9 27

AMDC与\'CEN全等.

4 2 4

【点睛】本题是三角形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形

的性质等知识,掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灭活运用分情况讨论思想是解题的关键.

27.如图在直角坐标系中，四边形ABCO为正方形,A点的坐标为(a, 0), D点的坐标为(0, b),且a, b满足(a -

3)4|b・ V3|=0.

(D求A点和D点的坐标:

⑵若NDAE= - ZOAB,请猜想DE, OD和EB的数最关系，说明理由.

2

(3)若NOAD = 30\"，以AD为三角形的一边,坐标轴上是否存在点P,使得APAD为等腰三角形,并存在,直

接写出有多少个点P,并写出P点的坐标,选择一种情况证明.

【答案】(l)D(O, JJ),A(3,O)； (2)DE=OD+EB；理由见解析:(3)点P的坐标为：.・.P(・3, 0)或(0, 3

或(0,・JT)或(1,0)或(3+2jJ,0)或(3・2jI,0).证明见解析.

【解析】

【分析】

)

(1)根据完全平方式和绝对值的非负性确定a.b的值,从而求点的坐标；

⑵在CO的延长线上找一点F,使OF=BE,连接AF,通过^ACDF@△ABE,得到AF=AE, ZOAF= ZBAE,

等量代换得到NDAF=NEAD,进而证明△AFD且ZiAED.从而求解：

(3)分三种情形讨论求解：AD=DP或AD=AP或PD=AP,分别画图根据AD和OA的长确定点P的坐标.

【详解】(l)・・・(a-3)4|b-⑨=0,

• •a=3, b=6,

..D(0, 6), A(3,0)；

(2)DE=OEKEB：理由如卜.：

e

如图1,在CO的延长线上找一点F,使OF=BE,连接AF,

AO = AB

在和^ABE

中，《

ZAOF = AABE = 90,，

OF = EB

.

AAOF^AABE (SAS),

AAF=AE, /OAF=NBAE,

又・.・NOAB=90° ,NDAE=」NOA8 = 45°, 2

.ZBAE+ZDAO=450 ,

：.ZDAF= ZOAF+ZDAO=45° ,

:.NDAF=/EAD,

AF = AE

在4AFD

和AAED

中，<

ZDAF = ZDAE = 45 ,

AD = AD

：.AAFD^AAED (SAS),

・・・DF=DE=OD-EB：

(3)有3种情况共6个点:

①当DA=DP时，如图2,

RtAADO

中,OD =遥，OA=3,

• • AD=

yJoD2 4-

OA2 =

+ 3? = 2>/3 ••PM-3,0),PX0,3\"),P3(0, - V3): »•

②当AR»=DP4时，如图3,

图3

.*.ZADP

4 = ZDAP4=30° ,

.,.ZOP<,4D=60,

RtZkODP」中，NODP4 = 30° ,OD=C，

.*.OP4=L

.*.P4（l,0）；

③当AD=AP时,如图4,

AD=APs=APtf=2 ,

・・・P5（3+2的，0）广6（3-2出，0）,

综上，点P的坐标为：・・・P（・3,0）或（O,3jj）或（0,证明：P5（3+2&,0）,

V ZOAD = 300且AADO是直角三角形，

又,.・AO=3,DO=G

・・・DA=2GJJ）或（1,0）或（3+2jJ,0）或（3・20，0）. ・

而

PsA=|3+26 - 31=273 >

•••△P5AD是等腰三角形.

【点睛】本题是四边形的综合题，考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定等 知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形,属于中考压轴