2024年4月12日发(作者：马鞍山中考数学试卷答案)
排列组合
1、 分类加法计数原理：
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n
种不同的方法. 那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
2、 分步乘法计数原理：
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法. 那
么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
3、 排列及排列数：
（1） 排列：排列数：从n个不同元素中取出m个（m≤n）个元素的所有排列的个数，
m
n
n1
nm1
. （2） 排列数公式
A
n
全排列：
4、 组合及组合数：
（1） 组合：组合数：
（2） 计算公式：.
5、 组合数的性质：
1、 捆绑与插空法：
例1．8位同学排成一队，问：
⑴ 甲乙必须相邻，有多少种排法？
⑵ 甲乙不相邻，有多少种排法？
⑶ 甲乙必须相邻且与丙不相邻，有多少种排法？
⑷ 甲乙必须相邻，丙丁必须相邻，有多少种排法？
⑸ 甲乙不相邻，丙丁不相邻，有多少种排法？
例2．某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况?
例3．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相
邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）
2、 定序问题缩倍法：
例1．信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把
这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）
1
例2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）
那么不同的排法有（ ）
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
例3．从1,2,3,4,5五个数字当中任选3个组成一个三位数,其中十位比个位数字大的三
位数共有多少个?
3、 标号排位问题分步法：
例1．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，
则四张贺年卡的分配方式有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
例2．将标有1, 2,… 10的10个小球投入同样标有1, 2,… 10的圆筒中,每个圆筒都不空,
且所投小球与圆筒标号均不相同的投法共有多少种?
4、 有序分配问题逐分法：
例1．有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选
派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）种
A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040
例2．12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分
配方案有（ ）种
A、
CCC
4
12
4
8
4
4
B、
3CCC
C、
CCA
4
12
4
8
4
4
4
12
4
8
3
3
44
C
12
C
8
4
C
4
D、
3
A
3
例3．有6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法？
（1） 平均分给甲、乙、丙三人；
（2） 甲得一本，乙得两本，丙得三本.
5、 隔板法：
例1．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？
例2．求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数
例3．将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子当中,每次将10个球装完,
每个盒子里的球的个数都不小于盒子的编号数,则不同的装法共有多少种?
2
6、 多元问题分类法：
例1．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位
数字的共有（ ）
A. 210个 B. 300个 C. 464个 D. 600个
例2．（1）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，
这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
（2）从1，2，3，…，100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法
（不计顺序）共有多少种？
7、 至少问题间接法：
例1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一
台，则不同的取法共有（ ）种
A. 140 B. 80 C. 70 D. 35
例2．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长。
现从中选5人主持某种活动，至少有一名队长当选的选法有多少种？
8、 匹配问题配对法：
例1、从6双不同型号的鞋中任取4只，其中恰有两只配成一双的取法有多少种？
例2、有111名选手参加乒乓球比赛，比赛采取单淘汰制，需要打多少场比赛才能产生冠
军?
9、 选排问题先选后排法：
例1、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共
有_________种（用数字作答）
例2、9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不
同的分组方法？
例3、有6名男医生，4名女医生，从中选三名男医生和两名女医生到5个不同的地区巡
回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，共有多少种不同的分派方法？
例4、从1到9的九个数字当中取出三个偶数四个奇数，试问：
3
（1） 能组成多少个没有重复数字的七位数？
（2） 上述七位数当中三个偶数排在一起的有几个？
（3） （1）中的七位数当中，偶数排在一起奇数也排在一起的有几个？
10、 多排问题单排法：
例1、6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
例2、8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1
个元素排在后排，有多少种不同排法？
11、 交叉问题集合法：
例1、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四
棒，共有多少种不同的参赛方法？
例2、从7名运动员当中选出4人参加4×100米接力，求满足下列条件的安排方法数：
（1）甲、乙二人都不跑中间两棒；
（2）甲、乙二人不都跑中间两棒。
12、 圆排列：
m!
一般地，有m个元素作圆排列，其计算公式为（m—1）！=
m
例1、有五个小朋友，手拉手排成一个圆做游戏，求不同的排法数？
例2、有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同战法？
13、 排除法：
例1．从集合｛0，1，2，3，5，7，11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0
中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_______条？
例2．三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形？
4
例3．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体？
例4．四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
排列组合课堂训练
1、 (2013四川, 8,5分) 从1, 3, 5, 7, 9这五个数中, 每次取出两个不同的数分别记为a, b, 共可
得到lga-lgb的不同值的个数是( )
A. 9 B. 10 C. 18 D. 20
2、 (2012北京, 6,5分) 从0, 2中选一个数字, 从1, 3, 5中选两个数字, 组成无重复数字的三位
数, 其中奇数的个数为( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
3、 (2012浙江, 6,5分) 若从1, 2, 3, …, 9这9个整数中同时取4个不同的数, 其和为偶数, 则
不同的取法共有( )
A. 60种 B. 63种 C. 65种 D. 66种
4、 (2012山东, 11,5分) 现有16张不同的卡片, 其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张. 从
中任取3张, 要求这3张卡片不能是同一种颜色, 且红色卡片至多1张, 不同取法的种数
为( )
A. 232 B. 252 C. 472 D. 484
5、 (2011全国, 7,5分) 某同学有同样的画册2本, 同样的集邮册3本, 从中取出4本赠送给4
位朋友, 每位朋友1本, 则不同的赠送方法共有( )
A. 4种 B. 10种 C. 18种 D. 20种
6、 (2010四川, 10) 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶
数的个数是( )
A. 72 B. 96 C. 108 D. 144
5
7、 (2013北京, 12,5分) 将序号分别为1, 2, 3, 4, 5的5张参观券全部分给4人, 每人至少1张.
如果分给同一人的2张参观券连号, 那么不同的分法种数是 .
8、 (2013浙江, 14,4分) 将A, B, C, D, E, F六个字母排成一排, 且A, B均在C的同侧, 则不同的
排法共有 种(用数字作答).
9、 (2013重庆, 13,5分) 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救
灾医疗小组, 则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 (用
数字作答).
10、 (2013广东模拟, 9) 从甲、乙等6名同学中挑选3人参加某公益活动, 要求甲、乙至少
有1人参加, 不同的挑选方法共有( )
A. 16种 B. 20种 C. 24种 D. 120种
11、 (2013广东韶关二模, 7) 在实验员进行的一项实验中, 先后要实施5个程序, 其中程序
A只能出现在第一步或最后一步, 程序C和D实施时必须相邻, 请问实验顺序的编排方法
共有( )
A. 15种 B. 18种 C. 24种 D. 44种
12、 (2013广东肇庆二模, 8) 已知集合A={1, 2}, B={6}, C={2, 4, 7}, 从这三个集合中各取一个
元素构成空间直角坐标系中点的坐标, 则确定的不同点的个数为( )
A. 33 B. 34 C. 35 D. 36
13、 (2012广东深圳二模, 4) 在学校的一次演讲比赛中, 高一、高二、高三分别有1名、2
名、3名同学获奖, 将这六名同学排成一排合影, 要求同年级的同学相邻, 那么不同的排法
共有( )
A. 6种 B. 36种 C. 72种 D. 120种
14、 (2012广东惠州二模, 5) 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍, 每个宿舍至少安排2名学
生, 那么互不相同的安排方法的种数为( )
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
15、 (2011广东广州一模, 7) 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要
求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为( )
A. 96 B. 114 C. 128 D. 136
16、 (2011广东茂名一模, 5) 现有12件商品摆放在货架上, 摆成上层4件下层8件, 现要
从下层8件中取2件调整到上层, 若其他商品的相对顺序不变, 则不同调整方法的种数是(
)
A. 420 B. 560 C. 840 D. 20 160
17、 (2013广东华南师大附中, 9) 从0, 1, 2, 3, 4这5个数字中, 任取3个组成三位数, 其中
奇数的个数是 .
18、 (2013广东汕头一模, 8) 给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色(红、黄、绿、蓝), 要
求相邻两个面涂不同的颜色, 则共有涂色方法(涂色后, 任意翻转正方体, 能使正方体各面
颜色一致, 我们认为是同一种涂色方法) ( )
A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种
6
19、 (2011广东深圳二模, 7) 学校准备从5位报名同学中挑选3人, 分别担任2011年世界
大学生运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者, 已知同学甲不能担任游泳比
赛的志愿者, 则不同的安排方案共有( )
A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 60种
20、 (2011广东肇庆二模, 6) 从6名学生中选4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作, 若
甲, 乙两人不能从事A工作, 则不同的选派方案总数为( )
A. 280 B. 240 C. 180 D. 96
21、 (2011广东湛江二模, 1) 有 1 000个形状相同的球, 其中红球500个, 黄球300个, 绿
球200个, 采用按颜色分层抽样的方法随机抽取100个进行分析, 则应抽取红球的个数为(
)
A. 20 B. 30 C. 50 D. 100
排列组合强化训练
1、书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插
法？
2、将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C
在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？
7
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方法,广东,共有,问题,元素
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