2024年3月26日发(作者：保定莲池初三数学试卷)

蒙氏教学分享之三（数学区域）

很久没有在城市的天空中看到过彩虹了，所以看见这些彩色珠子感觉像回到了小时候。

1颗红珠子代表1，2颗绿珠子代表2， 以此类推，3是粉色，4是黄色，5是天蓝色，6是

紫色，7是白色，8是棕色，9是深蓝色。看见左边的小木盒里金色的珠串了么？那是一些

10。可能不会有孩子会去背诵“红1，绿2，粉3，黄4„„”，因为数字是孩子用小手指头

一颗一颗数出来的，所以，进入“彩珠家族工作”之前的孩子，只需要熟悉1-10的名称就

足够了。这样的话，颜色本身就并不重要了，只是个工作材料本身的错误订正标志。

这种10以内的彩色珠子与金色珠串10的排列比对，似乎是在复习感官区的“红棒”，又似

乎是在触摸10以内的加减法。

从视觉和触觉效果上看，珠子与木头棒子的大小、质地不同，长度的绝对值也不同，唯一相

同的是它们所代表的数学关系。正因为数学是从事物中抽象出来的规律，所以具有守恒性。

比如1+9=10，这个道理对于木头棍子如是，对于彩色珠子也如是。就好比一堆7颗的珠子，

堆成一堆放也是7，散落在地上也是7。物质的数量是不会随着物质的物理性状发生改变而

改变的。

但是如果孩子根据珠串的排列真的在数字卡片中找出了与之相对应的“1”“+”“9”“=”“10”

这几张，并摆出了正确的计算式时，他所跨越的，却是从具体形象到逻辑抽象的巨大一步。

数学运算从手指间的实物被抽象成了符号。

如果孩子会握笔了，可鼓励他自己写出10以内全部加（减）算式的查阅表。不是按照现成

的加法表进行抄写，而是自己一边摆珠子，一边记录从珠子排列比对中得到的符号算式。老

师也许会用珠子向你演示“1+9=10”的来龙去脉，但是2+8=？3+7=？再者，3+4=？1+5=？

等等等等，只能留给孩子自己想办法了。

“老师！3+8等于几啊？我找出来一根金色珠串10和一颗红珠子与它是相等的，但是我不

知道算式怎么写！” 孩子提出了这样的问题，也许意味着他可以开展“赛根板”的工作了。

玩儿第一组赛根板可以了解10至19的数字名称，玩儿第二组赛根板可以了解20至99的数

字名称。今天只介绍“彩珠家族”的部分材料，赛根板在此不作详述。

孩子，你对能点数到99还不满意么？那跟我一起挑战金色的十、百、千吧！

用一颗金色珠子1我们可以逐个数出，一串珠子等于10个1，于是我们把每根珠串都叫做

10。用逐个点数的方法，我们还可以数出更长的一大串珠子，名叫100。

发现了么？100是由10个珠串组成的，原来10个10就是100。

为了方便孩子点数，数学区域的讲师于老师给他们准备了数字标签。

不过这么大一长串的100拿起来确实不方便，能不能想个方便又明确地方法去表示100呢？

我们可以把这根100珠链按每根10串一折，每根10串一折，并排放好，形成一块珠板。用

表示10的珠串点数检查一遍，嗯，确实等于10根珠串，确实是100。另外，这块珠板似乎

横着数、竖着数都等于10个10呢！于是，这块珠板的名字，也可以叫做100了。如果孩子

没有表现出特别的兴趣，老师可以不主动提出乘法、乘法交换律、平方、空间中线与面关系

的概念，虽然这些数学概念也许其实已经被孩子吃进去了。

有了用熟练地10数出100的经验基础，挑战1000就有了方法依循，需要的只是耐心和渴望

了解1000的需求了。

当于老师像展示自己的细软那样笑眯眯地把1000珠链抖落开的时候，我们都轻轻地惊讶道：

“哇塞——”而接下来的工作却更加令我乍舌，一个珠子一个珠子地数完1000，是一件多

么巨大的工作量啊！不过后来我转念一想，熟识100的孩子可以有更简便的方式去认识1000。

当然，确实有孩子执拗地要求真的一颗一颗地去数珠子，并在每颗珠子下面摆好数字标签。

这样的行为是允许的，因为这样的孩子实际上还没有建立起“数群”的概念，他没有把100

当作一个单位去理解，所以他需要不断地重复“点数”的动作去深化整体概念。

而直接用100珠链去比对1000珠链的孩子只需要使用“100”“200”„„“900”这九张数

字标签就可以走完“1000”了。原来1000就是10个100啊，。我感觉，这样的比对行为蕴

含了“长度测量”的影子。

把10块代表100的珠板摞在一起，就形成了一个珠子立方块，它的珠子个数等于那条好长

好长的珠链，所以这个珠块的名字也叫1000。仔细观察一下就可以发现，这个方块隐藏着

三维空间立体的体积与立方计算的关系。

传统方式的数学教学方法下，老师喜欢在黑板上写下“11”教小朋友们如何从个位进到十位。

但是会有孩子把“11”念成“2”，因为孩子还处于明显的直观感觉阶段，他们喜欢直接命名

事物，两个1自然就是2嘛。也许有了金色珠子、珠串、珠板、珠块和数字卡，进位对于孩

子就更容易理解了。

首先，将珠块对应1000，珠板对应100，珠串对应10，一颗珠子对应1。

现在我们需要一个数字，它能表示这四样东西加起来的总和，当然就是1111了。这样，我

们把四张数字卡重叠放置，就出现了这个数字的写法。于是，孩子们便可以直接地观察到个

位上的1代表1，十位上的1代表10，百位上的1代表100，千位上的1代表1000。因此，

他们当然不会把“1111”念成“4”啦。

当孩子学会四位数字的写法后，可以玩儿的数字游戏一下就增多了！四则运算中，仅介绍除

法运算，权作管中窥豹。

作为除法运算演示的题目是1742÷3=？

从“珠子银行”（实际上就是个珠子库）取出1742这个数字对应的珠子，为了防止散珠子滚

动丢失，个位数的珠子放在了小瓷碗儿中，照片中的小瓷碗里有2颗珠子。用三个托盘表示

除数3。下面我们要做的，是将这些金色珠子们分到三个托盘中。

①先分配代表1000的那个珠块。一个立方块无法分成三份，于是将这个立方块拿到“银行”

中兑换成10块代表100的珠板。

②把这10块珠板和十位数位置上那7块珠板合在一处，一个托盘一块开始平均分配。分到

手里还剩2块珠板时，又犯难了：2块珠板无法分成三份啊！呵呵，继续换，再去“银行”

兑换成20根代表10的珠串！

③把这20根珠串和十位数位置上的那4根珠串合在一处，一个托盘一根开始平均分配。正

好全都分完了！

④小瓷碗儿（个位数位置）里还有2颗珠子，无法分成三份。个位数的珠子无法再继续向低

位兑换了，只能作为“余数”了。

⑤至此，除法运算部分已经完成。可以记录每个托盘里的数字作为计算结果。5块珠板——

500，8根珠串——80，还有2颗散珠子。于是，我们可以确定地说，1742除以3，得580，

余2。

我们可以清晰地感受到，每一次手中的珠子的形式让我们为难无法继续进行工作的时候，去

银行兑换成更低级位数的珠子总能帮我们解决这个问题。而这个方法在数学上，与“进位”

恰恰相反，叫做“退位”。

看着于老师不断地用“退位”兑换解决了无法除尽的问题，我忽然联想到，在实际工作中每

当遇到棘手的问题解决不掉时，用“退位”的方法退到更低的层次去看这个问题，往往能找

出新的解决方法。

如果数学是可以描述生活的，数学思想中的某些方面一定可以体现出哲学思想。以前我总是

找不到，因为我是在不知所以的情况下直接学习的抽象的数学知识。而当这些知识以形象得

不能再简单的状态呈现在眼前的时候，却更容易把我们引入更深的思考。

关于“珠子家族”的部分，还有很多有趣的工作，比如平方珠阵，蛇形加（减）法等。

而且，数学区的材料还远远不止玩珠子的部分，篇幅所限，只能呈现出数学区域工作材料比

较基础的一方面。这个区域材料的充足性是令人惊讶的，这些材料所折射出的蒙氏精神也让

我敬仰。数学是研究世界空间形式和数量关系的科学，蒙特梭利本人也是深谙此道，因此她

的数学教具条理清晰地在各个层面展示着数字与空间的关系。我想，如果不是因为接触了那

些被世界遗弃的儿童而产生了从事教育的伟大理想，蒙特梭利本应该成为一个数学家。在取

得医学博士的学位之前，蒙特梭利在数学学科上的造诣非同凡响，甚至在16岁的时候就发

现了“数学心智”。也正是因为她的数学情结，蒙氏教学区的数学教具才会这么丰富。

写到这里，忽然又想起句经典的话“生活处处即教育”。对于喜欢数学的人来说，生活中

处处是数学；对于喜欢美术的人而言，生活中处处是美术。如果孩子必须要有一个课堂，这

个课堂也一定应该是充满生活内容的。

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美吉姆整理


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