2024年3月24日发(作者：2020海淀期末数学试卷答案)

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

文数(四)

本试题卷共4页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上

的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答

题卡，上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，答案写在答题卡上对

应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合A＝{x|－2

A.4B.6C.8D.9

(－260°)cos35°－sin10°sin145°＝

A.

223

1

B.－ C.D.－

222

2

3.已知复数z＝

2ai

(a∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则a的取值范围是

1i

A.(2，＋∞) B.(－∞，2) C.(－2，1) D.(－2，2)

4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x

2

＋x，则不等式f(lnx)

A.(0，e) B.(－∞，

111

) C.(0，) D.(，＋∞)

eee

x

2

y

2

5.已知椭圆

2

2

1(ab0)

的两个焦点分别为F

1

，F

2

，|F

1

F

2

|＝4，椭圆上一点M到F

1

的距离

ab

为2，P为线段MF

1

的中点，若点P到坐标原点O的距离为2，则该椭圆的离心率为

A.

2211

B.C.D.

3532

6.2020年是国家启动“三支一扶”计划的第＋五年，某地接收“三支一扶”大学生5人，其中男生3

人，现从中挑选3人派往该地某村开展驻村帮扶工作，其中既有女生又有男生的概率为

A.

3393

B.C.D.

510108

7.如图所示，四边形A

1

B

1

C

1

D

1

，BCC

1

B

1

，DCC

1

D

1

均为正方形，且它们所在的平面两两相互垂直，

则A

1

C

1

与B

1

C所成的角的大小是

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.已知正项等差数列{a

n

}的公差为d，则“d>0”是“对任意的正整数n，lg

a

n1

>0”的

a

n

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



)(ω>0)的图象相邻两支截直线y＝1所得线段长为，则下列结论错误的是

62

A.函数f(x)在区间(－，)上单调递增 B.函数f(x)的最小正周期为

662



C.函数f(x)的图象关于点(，0)对称 D.函数f(x)的图象与直线x＝不相交

46

9.若函数f(x)＝tan(ωx＋

10.中国古建筑以木材、砖瓦为主要建筑材料，以木构架为主要的结构方式，由立柱、横梁、顺檩等

主要构件建造而成，各个构件之间的结点以榫卯相吻合，构成富有弹性的框架。榫卯是在两个木构

件。上所采用的一种凹凸结合的连接方式。凸出部分叫榫(或榫头)；凹进部分叫卯(或榫眼、榫槽)，

榫和卯咬合，起到连接作用。已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是

A.12B.18C.24D.36

x

2

4x，2x3

2

11.已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[2，4]时，f(x)＝

x2

，g(x)＝ax＋1，若对∀x

1

，3x4

x

∈[2，4]，∃x

2

∈[－2，1]，使得g(x

2

)≥f(x

1

)，则正实数a的取值范围为

A.(0，2]B.(0，

77

] C.[2，＋∞) D.[，＋∞)

22

x

2

y

2

12.已知双曲线C：

2

2

1(a0,b0)

的左、右焦点分别为F

1

，F

2

，过点F

1

的直线l与双曲线

ab

C的左、右两支分别交于点A，B，与圆x

2

＋y

2

＝a

2

＋b

2

在第一象限交于点P，且满足|F

1

A|：|AB|：|BP|

＝3：2：1，则双曲线C的离心率为

A.4 B.

19

C.

20

D.

21

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23

题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.2020年初，一场突如其来的新冠疫情给人民的生命安全和身体健康造成严重侵害。全国各地疾控

部门迅速行动，某研究所受命对新冠病人的血型进行病理分析，从2500名病人中抽取600人的血液

作为样本，已知这2500名病人A，B，O，AB四大血型的比例为7：6：10：2，则抽取的样本中，

AB血型的样本有人。

14.已知向量a＝(－2，3)，a·b＝－13，则b在a方向上的投影为。

15.已知等差数列{a

n

}的公差d>0，且a

1

，a

3

－1，a

6

成等比数列，若a

1

＝5，S

n

为数列{a

n

}的前n项和，

则

na

n

n

的最小值为。

2S

n

16.已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，顶点P在底面的投影为底面中心，若该四棱锥外

接球的半径为3，则该四棱锥体积的最大值是。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

设函数f(x)＝cos

2

x＋

3

sinxcosx＋

1

，x∈R。

2

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若f(A)＝2，a＝

2

，△ABC的面积为

△ABC的周长。

18.(本小题满分12分)

在五面体EF－ABCD中，正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直，四边形ABCD为等腰梯

形，AB//CD，AD＝DC＝BC＝

1

，求

2

1

AB。

2

(1)求证：平面BCF⊥平面ACE；

(2)若三棱锥A－BCE的体积为

19.(本小题满分12分)

山东寿光的草莓西红柿在国内乃至国际上逐渐打开了销路，成为寿光部分农民脱贫致富的好产

品。为了更好地销售，现从某村的蔬菜大棚里随机摘下了100个草莓西红柿进行测重，其质量分布

在区间[200，500]内(单位：克)，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：

43

，求线段AB的长。

3

(1)求这批草莓西红柿质量的中位数和平均数(结果保留1位小数)；

(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的草莓西红柿大棚

大约还有100000个草莓西红柿待出售，某电商提出两种收购方案：

A.所有草莓西红柿均以20元/千克收购；

B.低于350克的草莓西红柿以4元/个收购，高于或等于350克的以8元/个收购。

请你通过计算为该村选择收益最好的方案。

20.(本小题满分12分)

已知抛物线C：y

2

＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过点E(2，0)的直线交抛物线于A，B两点。

(1)已知直线l

1

：4x－3y＋6＝0和直线l

2

：x＝－1，求抛物线C上一动点P到直线l

1

、和直线l

2

的距

离之和的最小值；

(2)求△ABF面积的最小值。

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝lnx－1＋

a

。

x

(1)若f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)求证：ln n>

111



(n∈N

*

且n≥2)。

23n

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的直角坐标方程为y＝－

3

x＋2

3

，曲线C的参数方程为

3

x33cos

，(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。

y3sin

(1)求直线l和C的极坐标方程；

(2)设直线l与曲线C交于M、N两点，求|MN|。

23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－m|＋|x＋2m|。

(1)当m＝－1时，求不等式f(x)≤7的解集；

(2)若不等式f(x)≤9有解，求实数m的取值范围。


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