2024年1月10日发(作者：高考数学试卷的音乐题有哪些)

第一篇 函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续

高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.

第1节 集合与函数

1.1 集合

1.1.1 集合

讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.

通常用大写字母A、B、C、表示集合，用小写字母a、b、c、表示集合的元素.

如果a是集合A的元素，则表示为aA，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，则表示为aA，读作“a不属于A”.

一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作.

集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A，可表示成

A={1,2,3,4,5}；

第二种是描述法，即设集合M所有元素x的共同特征为P，则集合M可表示为

Mx|x具有性质P.

例如，集合A是不等式x2x20的解集，就可以表示为

Ax|x2x20.

由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：

（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N，即

N0,1,2,3,,n,；

（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N，即

N1,2,3,,n,；

（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z，即

Z,n,,3,2,1,0,1,2,3,,n,；

（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q，即

pQpZ,qN,且p与q互质；

q（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R.

1.1.2 区间与邻域

在初等数学中，常见的在数集是区间.设a,bR，且ab，则

（1）开区间

(a,b)x|axb；

（2）半开半闭区间

[a,b)x|axb，(a,b]x|axb；

（3）闭区间

[a,b]x|axb；

（4）无穷区间

[a,)x|xa，

(a,)x|xa，(,b]x|xb，

(,b)x|xb，(,)x|xR.

以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：

（1） （2）

（3） （4）

（5） （6）

（7） （8）

图 1-1

在微积分的概念中，有时需要考虑由某点x0附近的所有点组成的集合，为此引入邻域

的概念.

定义1 设为某个正数，称开区间(x0,x0)为点x0的邻域，简称为点x0的邻域，记作U(x0,)，即

U(x0,)x0|x0xx0x||xx0|.

在此，点x0称为邻域的中心，称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：

图1-2

另外，点x0的邻域去掉中心x0后，称为点x0的去心邻域，记作U(x0,)，即

oU(x0,)x|0|xx0|,

图形表示为（图1-3）：

o

图1-3

其中(x0,x0)称为点x0的左邻域，(x0,x0)称为点x0的右邻域.

1.2函数的概念

1.2.1函数的定义

定义2 设x、y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个xD，通过对应法则f，有唯一确定的y与之对应，则称y为是x的函数，记作yf(x).其中x为自变量，y为因变量，D为定义域,函数值f(x)的全体成为函数f的值域，记作Rf，即

Rfy|yf(x),xD.

函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g”、“F”、“”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.

函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.

例1 求函数y解

11x2的定义域.

x122的定义区间满足：x0；1x的定义区间满足：1x0，解得x

1x1.

这两个函数定义区间的公共部分是

1x0或0x1.

所以，所求函数定义域为[1,0)(0,1].

例2 判断下列各组函数是否相同.

（1）f(x)2lgx，g(x)lgx；

（2）f(x)3x4x3，g(x)x3x1；

（3）f(x)x，g(x)2x2.

2解 （1）f(x)2lgx的定义域为x0，g(x)lgx的定义域为x0.两个函数定义域不同，所以f(x)和g(x)不相同.

（2）f(x)和g(x)的定义域为一切实数.f(x)3x4x3x3x1g(x),所以f(x)和g(x)是相同函数.

（3）f(x)x，g(x)同.

函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.

函数举例:

x2x,故两者对应关系不一致，所以f(x)和g(x)不相1,x0例3 函数ysgnx0,x0，函数为符号函数，定义域为R，值域1,0,1. 如1,x0图1-4：

图1-4

例4 函数yx，此函数为取整函数，定义域为R， 设x为任意实数,

y不超过x的最大整数，值域Z. 如图1-5：

图1-5

特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量x通过对于法则f有确定的y值与之对应，但这个y值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.

1.2.2 函数的性质

设函数yf(x)，定义域为D，ID.

（1）函数的有界性

定义3 若存在常数M0，使得对每一个xI，有f(x)M，则称函数f(x)在I上有界.

若对任意M0，总存在x0I，使f(x0)M，则称函数f(x)在I上无界.如图1-6：

图1-6

例如 函数

f(x)sinx在(,)上是有界的:sinx1.函数

f(x)内无上界，在(1,2)内有界.

（2）函数的单调性

1在(0,1)x设函数yf(x)在区间I上有定义,

x1及x2为区间I上任意两点, 且x1x2.如果恒有f(x1)f(x2), 则称f(x)在I上是单调增加的；如果恒有f(x1)f(x2), 则称f(x)在I上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.

图1-7

（3）函数的奇偶性

设函数yf(x)的定义域D关于原点对称.如果在D上有f(x)f(x), 则称f(x)为偶函数；如果在D上有f(x)f(x), 则称f(x)为奇函数.

2222例如，函数f(x)x，由于f(x)(x)xf(x)，所以f(x)x是偶函3333数；又如函数f(x)x，由于f(x)(x)xf(x)，所以f(x)x是奇函数.如图1-8：

图1-8

从函数图形上看，偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称.

(4)函数的周期性

设函数yf(x)的定义域为D. 如果存在一个不为零的数l,使得对于任一xD有xlD, 且fxlf(x), 则称f(x)为周期函数,

l称为f(x)的周期.如果在函数f(x)的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为f(x)的最小正周期.我们通常说的周期是指最小正周期.

例如，函数ysinx和ycosx是周期为2的周期函数，函数ytanx和ycotx是周期为的周期函数.

在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.

例如，常量函数f(x)C，对任意实数l，都有f(xl)f(x)，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.

又如，狄里克雷函数

1,xQ，

D(x)c0,xQ当xQc时，对任意有理数l，xlQ，必有D(xl)D(x)，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期.

1.3 反函数

在初等数学中的函数定义中，若函数f:Df(D)为单射,若存在cf1:f(D)D，称此对应法则f1为f的反函数.

习惯上,yf(x),xD的反函数记作

yf1(x),xf(D).

x例如，指数函数ye,x(,)的反函数为ylnx,x(0,)，图像为（图1-9）

图1-9

反函数的性质：

（1）函数yf(x) 单调递增(减)，其反函数yf（2）函数yf(x)与其反函数yf11(x)存在，且也单调递增（减）.

(x)的图形关于直线yx对称.

下面介绍几个常见的三角函数的反函数：

正弦函数ysinx的反函数yarcsinx，正切函数ytanx的反函数yarctanx.

反正弦函数yarcsinx的定义域是[1,1]，值域是,；反正切函数yarctanx22的定义域是(,)，值域是,，如图1-10：

22

图1-10

1.4复合函数

9

定义4 设函数yf(u),uDf，函数ug(x),xDg,值域RgDf，则

yfg(x)或yfg(x),xDg

称为由yf(u),ug(x)复合而成的复合函数，其中u为中间变量.

注：函数g与函数f构成复合函数fg的条件是RgDf，否则不能构成复合函数.

2例如，函数yarcsinu，u[1,1]，ux2,xR.在形式上可以构成复合函数

yarcsinx22.

22但是ux2的值域为[2,)[1,1]，故yarcsinx2没有意义.

在后面的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则：

从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.

例5 对函数yasinx分解.

解

yasinx由yau，usinx复合而成.

2例6 对函数ysin(2x1)分解.

2解

ysin(2x1)由yu2，usinv，v2x1复合而成.

1.5初等函数

在初等数学中我们已经接触过下面各类函数：

常数函数：yC（C为常数）；

幂函数：yx(0)；

x指数函数：ya(a0且a1)；

对数函数：ylogax(a0且a1)；

三角函数：ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx；

反三角函数：yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx.

这六种函数统称为基本初等函数.

定义5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.

例如，yesinx，ysin(2x1)，yxcot等都是初等函数.

2需要指出的是，在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数，但是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化，可以用一个式子表示，就是初等函数.例如，函数

x,x0，

yx,x0可表示为y

x2.

习题 1-1

1.求下列函数的定义域.

（1）y1x； （2）y214x2；

1xx3xx2（3）yln； （4）yarcsin；

42（5）yln(3x)5y； （6）.

x24x22.下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同，为什么？

2（1）f(x)lgx，g(x)2lgx； （2）f(x)x，g(x)lnxx2；

（3）f(x)x，g(x)e； （4）f(x)x，g(x)sin(arcsinx).

3.已知f(x)的定义域为[0,1]，求下列函数的定义域.

（1）f(x)； （2）f(tanx)； （3）f(xa)f(xa)(a0).

2

4.设fx1x3x5，求f(x)，f(x1).

25.判断下列函数的奇偶性.

（1）ysinxtanx； （2）ylgxx21；

exex3（3）y； （4）yx(x1)；

2（5）y1x,x0.

1x,x06.设下列考虑的函数都是定义在区间(l,l)(l0)上的，证明：

（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；

（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数.

7.下列函数中哪些是周期函数？如果是，确定其周期.

（1）ysin(x1)； （2）ycos2x；

2（3）y1sinx； （4）ycosx.

8.求下列函数的反函数.

（1）y3x1； （2）y1lg(x2)；

exxy2sin（3）y； （4）1ex2x(,)；

x1x,2（5）yx,1x4.

2x,x49.下列函数是有哪些函数复合而成的.

3（1）ysin(3x1)； （2）ycos(12x)；

（3）yln(arcsin(x1))； （4）yesinx.

210.设f(x)x，(x)lnx，求f(x)，ff(x)，f(x).

2

第2节 极限

极限在高等数学中占有重要地位，微积分思想的构架就是用极限定义的. 本节主要研究数列极限、函数极限的概念以及极限的有关性质等内容.

2.1 数列的极限

2.1.1 数列的概念

定义1 若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an，那么，我们称这列有次序的数a1，a2，…，an，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.

例如

1111,,,,n,；

2482111(1)n1,；

1,,,,,234n

123n,,,,,；

234n1n1

1,1,1,,(1)都是数列，它们的一般项依次为

,

(1)n11nn1，，，.

(1)nn2n1

我们可以看到，数列值an随着n变化而变化，因此可以把数列an看作自变量为正整数n的函数，即

anf(n),nN.

另外，从几何的角度看，数列an对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取a1，a2，，an，，在数轴上表示为（图1-11）：

图1-11

2.1.2 数列极限的定义

数列极限的思想早在古代就已萌生，我国《庄子》一书中著名的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，用圆内接多边形的

面积去逼近圆的面积，都是极限思想的萌芽.

设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A1；再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3；依次进行下去，一般把内接正62n1边形的面积记为An，可得一系列内接正多边形的面积：

A1，A2，A3，…，An，…，

它们就构成一列有序数列.可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列An当n时的极限.

在上面的例子中，数列1如图1-12：

n2

图1-12

当n时，11无限接近于常数0，则0就是数列n当n时的极限.

n22再如数列nnn：当时，无限接近于常数1，则1就是数列n当n1n1n1n时的极限；而数列(1)n1：当n时，(1)n1在1和-1之间来回震荡，无法趋近一个确定的常数，故数列(1)n1当n时无极限.由此推得数列的直观定义：

定义2 设an是一数列，a是一常数.当n无限增大时（即n），an无限接近于a，则称a为数列an当n时的极限，记作

limanan或

an→a （n→∞）．

在上例中，

n1(1)n1limn0，lim1，lim0.

nn1n2nn对于数列an，其极限为a，即当n无限增大时，an无限接近于a.如何度量an与a无限接近呢？

一般情况下，两个数之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值ba来度量，并且

ba越小，表示a与b越接近.

(1)n1(1)n1例如数列当n无限增大时，an无限接近，通过观察我们发现annn0，即0是数列an当n时的极限.下面通过距离来描述数列an的极限为0.

由于

(1)n11an0,

nn当n越来越大时，近于0.

例如，给定1越来越小，从而an越来越接近于0. 当n无限增大时，an无限接n111，要使，只要n100即可.也就是说从101项开始都能使

n1001001an0

100

成立.

给定111，要使，只要n10000即可.也就是说从10001项开始都能使

n1an0

10000成立.

一般地，不论给定的正数多么的小，总存在一个正整数N，使得当nN时，不等式

ana

(1)n1都成立.这就是数列an当n时极限的实质.

n根据这一特点得到数列极限的精确定义.

定义3 设an是一数列，a是一常数.如果对任意给定的正数，总存在正整数N，使得当nN时，不等式

ana

都成立，则称a是数列an的极限，或称数列an收敛于a.记作limana.

n反之，如果数列an的极限不存在，则称数列an发散.

在上面的定义中，可以任意给定，不等式ana表达了an与a无限接近程度.此外N与有关，随着的给定而选定.nN表示了从N1项开始满足不等式ana.

对数列an的极限为a也可以略写为：

limana0,N0.当nN时,有xna.

n数列an的极限为a的几何解释：

将常数a与数列a1,a2,,an,在数轴上用对应的点表示出来，从N1项开始，数列an的点都落在开区间(a,a)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外（图1-13）.

图1-13

(1)n1例1 证明数列极限lim0.

nn证明 由于

(1)n11ana0,

nn对0，要使

(1)n10,

n(1)n11110.由极限的定义知 即,n.取N,当nN时，有nn(1)n1

lim0.

nn例2 证明数列极限lim

证明 由于

3n13.

n2n12ana对0，要使

3n13111,

2n124n24n24n3n13,

2n12即3n13111.由极限的定义知

,n.取N,当nN时，有2n124n443n13.

n2n12

lim 注：在利用数列极限的定义来证明数列的极限时，重要的是要指出对于任意给定的正数，正整数N确实存在，没有必要非去寻找最小的N.

例3 证明数列极限lim证明 由于

10.

n2nana对0(设1)，要使

110,

2n2n

10,

n2即ln11lnn取对数得.取，当时，有nNN0.由极限的定,nnln222ln2义知

lim10.

n2n

2.2 数列极限的性质

定理1(极限的唯一性) 收敛数列的极限必唯一

证明 （反证法）假设同时有limana及limanb 且ab，不妨设a

nn 按极限的定义 对于ba>0 由于limana，存在充分大的正整数N1 使当nN1n2时 有

ana有

ba 

2annba.

2 由于limanb，存在充分大的正整数N2 使当nN2时 有

anb有

ba 

2aban.

2baab取NmaxN1,N2，则当nN时，同时有an和an成立，这是不可能22的，故假设不成立.收敛数列的极限必唯一.

定理2(收敛数列的有界性) 如果数列an收敛 那它一定有界 即对于收敛数列an，必存在正数M，对一切nN，有anM.

证明 设limana， 根据数列极限的定义 取 1 存在正整数N 当nN时 不等式

nana1

都成立 于是当nN时

ananaaanaa1a.

取Mmaxa1,a2,,aN,1a，那么数列an中的一切an都满足不等式anM.这就证明了数列an是有界的

定理2说明了收敛数列一定有界，反之不成立.

例如，数列(1)n有界，但是不收敛.

定理3(收敛数列的保号性)

如果limana, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有an0(或nan0)

a 证明 就a0的情形 由数列极限的定义 对0,NN, 当nN时 有

2|ana|从而

a

20aan.

2n 推论 如果数列an从某项起有an0(或an0) 且limana 那么a0(或a0).

定理4(夹逼准则) 如果数列an、bn及cn满足下列条件

(1)bnancn(n1,2,)

(2)limbna

limcna

nn那么数列an的极限存在 且limana

n 证明 因为limbna

limcna 以根据数列极限的定义  0 N10 当nN1时

nn有

abna.

又N20 当nN2时 有

acna

现取NmaxN1,N2 则当

nN

时 有

abna

acna同时成立 又因bnancn(n1,2,)  所以当nN

时 有

abnancna

即

|ana| 

这就证明了limana

n例4 求证lim证明 由于

1110.

22nn2(n1)(nn)n111n，

(nn)2n2(n1)2(nn)2n2而limnnlim0，由夹逼准则知， ，0nn2n(nn)21110.

lim22nn2(n1)(nn) 如果数列an满足条件

a1a2anan1

就称数列an是单调增加的.

如果数列an满足条件

a1a2anan1

就称数列an是单调减少的

单调增加和单调减少数列统称为单调数列

定理5(单调有界准则)

单调有界数列必有极限

，11，，111，的极限. 例5 求数列1解 证明数列的有界性.

令an111，则an11an， 其中a11，a222.设ak2，则

ak11ak32.

由归纳法知，对所有的nN，有0an2，故an有界.

证明数列的单调性.

已知a11，a22，则a2a1.设akak1，则

ak1ak1ak1ak-1akak-10.

1ak1ak1由归纳法知，对所有的nN，有an1an，故an单调递增.

由单调有界准则知，数列an存在极限，设为a. 在an11an两边取极限，得

a1a,

解得a151515或a.由于收敛数列保号性知a舍去. 故所求数列的极限222是15.

22.3 函数的极限

由于数列an可以看做是自变量为n的函数：anf(n),nN.所以数列an的极限为a，可以认为是当自变量n取正整数且无限增大时，对应的函数值f(n)无限接近于常数a.对一般的函数yf(x)而言，在自变量的某个变化过程中，函数值f(x)无限接近于某个确定的常数，那么这个常数就叫做f(x)在自变量x在这一变化过程的极限.这说明函数的极限与自变量的变化趋势有关，自变量的变化趋势不同，函数的极限也会不同.

下面主要介绍自变量的两种变化趋势下函数的极限.

2.3.1 自变量x时函数的极限

引例 观察函数ysinx当x时的变化趋势（图1-14）.

x

图1-14

从图1-14可以看出，当x无限增大时，函数sinx无限接近于0（确定的常数）.

x由此推得函数f(x)在x时极限的直观定义：

定义4 设f(x)当 x 大于某一正数时有定义，当 x 无限增大时,函数值f(x)无限接近于一个确定的常数A ,称A为f(x)当 x→+∞时的极限. 记作

xlimf(x)A或

f(x)A(x)．

引例中，limsinx0.

xx类比于数列极限的定义推得当x时函数f(x)的极限的直观定义：

定义5 设f(x)当 x 大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对任意给定的正数，总存在正数X，使得当xX时，不等式

f(x)A

都成立，则称A是函数f(x)在x时的极限，记作

xlimf(x)A.

对定义5的简单叙述：

xlimf(x)A0,X0.当xX时,有f(x)A.

类比当x时函数f(x)的极限定义，当x时函数f(x)的极限定义：

定义6 设f(x)当

x大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对任意给定的正数，总存在正数X，使得当xX时，不等式

f(x)A

都成立，则称A是函数f(x)在x时的极限，记作

xlimf(x)A.

对定义6的简单叙述：

xlimf(x)A0,X0.当xX时,有f(x)A.

sinx0.

xx在引例中，lim结合定义5和定义6，推得函数f(x)在x时的极限定义：

定义7 设f(x)当

|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对任意给定的正数，总存在正数X，使得当xX时，不等式

f(x)A

都成立，则称A是函数f(x)在x时的极限，记作

limf(x)A.

x对定义7的简单叙述：

limf(x)A0,X0.当xX时,有f(x)A.

x结合定义7，函数f(x)在x时的极限存在的充要条件是：

limf(x)Alimf(x)limf(x)A.

xxx例6 证明lim证明 由于

sinx0.

xxf(x)A对0，要使

sinxsinx10,

xxxf(x)A,

即111,x.取X,当xX时，有f(x)A,由极限的定义知

x

limsinx0.

xx从几何上看，limf(x)A表示当xX时，曲线yf(x)位于直线yA和xyA之间（图1-15）.

图1-15

这时称直线yA为曲线yf(x)的水平渐近线.

例如

limsinxsinx0，则y0是曲线y的水平渐近线.

xxx2.3.2 自变量xx0时函数的极限

x21引例1 观察函数f(x)x1和g(x)在x1时函数值的变化趋势（图1-x116）：

图1-16

x21从图1-16中得出，函数f(x)x1和g(x)在x1时函数值都无限接近于x1x212，则称2是函数f(x)x1和g(x)在x1时的极限.

x1从上例中看出，虽然f(x)和g(x)在x1处都有极限，但g(x)在x1处不定义. 这说明函数在一点处是否存在极限与它在该点处是否有定义无关. 因此，在后面的定义中假定函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义，函数f(x)在xx0时函数极限的直观定义：

定义7 函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义.当xx0时，函数f(x)的函数值无限接近于确定的常数A，称A为函数f(x)在xx0时的极限.

在定义7中，函数f(x)的函数值无限接近于某个确定的常数A，表示f(x)A能任意小，在此同样可以通过对于任意给定的正数，f(x)A表示. 而xx0可以表示为0xx0（>0），体现了x接近x0的程度. 由此得到函数f(x)在xx0时函数极限的精确定义：

定义8 函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义.对于任意给定的正数，总存在正数，当x满足不等式0xx0时，函数f(x)满足不等式

f(x)A，

称A为函数f(x)在xx0时的极限.记作

xx0limf(x)A或f(x)A(xx0).

定义8简单表述为：

xx0limf(x)A0,0,当0xx0时,有f(x)A.

函数f(x)在xx0时极限为A的几何解释：

对0，当xU(x0,)时，曲线yf(x)位于直线yA和yA之间，如图1-17：

o

图1-17

例7 证明limCC,C为常数.

xx0证明 由于

f(x)ACC0,

对0，对0，当0xx0时，都有f(x)A,故

xx0limCC.

x212. 例8 证明limx1x1证明 由于

x21f(x)A2x1,

x1对0，要使f(x)A，即x1.取，当0xx0时，都有f(x)A,故

x21lim2.

x1x1在函数的极限中，xx0既包含x从左侧向x0靠近，又包含从右侧向x0靠近. 因此，在求分段函数在分界点x0处的极限时，由于在x0处两侧函数式子不同，只能分别讨论.

x左侧向x0靠近的情形，记作xx0.

x从右侧向x0靠近的情形，记作xx0.



在定义8中，若把空心邻域0xx0改为x0xx0，则称A为函数f(x)在xx0时的左极限.记作

xx0limf(x)A 或

f(x0)A.

类似地，若把空心邻域0xx0改为x0xx0，则称A为函数f(x)在xx0时的右极限.记作

xx0limf(x)A 或

f(x0)A.

我们把左极限和右极限统称为单侧极限.

根据f(x)在xx0时极限的定义推出f(x)在xx0时的极限存在的充要条件是左、右极限都存在并且相等，即：

xx0limf(x)Alimf(x)limf(x)A.

xx0xx0

例9 讨论函数

x,x0

f(x)1x,x0

当x0时f(x)极限不存在.

解 函数图形（图1-18）如下：

图1-18

f(x)载x0处的左极限为

x0limf(x)lim(x)0；

x0右极限为

x0limf(x)lim(1x)1.

x0x0由于limf(x)limf(x)，故limf(x)不存在.

x0x0

2.3.3 函数的极限的性质

类比数列极限的性质，可以推得函数极限的性质.由于函数极限自变量的变化趋势有不同的形式，下面仅以limf(x)为代表讨论.

xx0性质1（唯一性） 若limf(x)A，则极限值是唯一的.

xx0性质2（局部有界性） 若limf(x)A，若存在常数M0及0，当xx00xx0时，有f(x)M.

性质3（保号性） 若limf(x)A，且A0（或A0），若存在0，当xx00xx0时，有f(x)0（或f(x)0）.

性质4（夹逼准则） 设f(x)、g(x)、h(x)是三个函数，若存在0，当0xx0时，有

g(x)f(x)h(x)，limg(x)limh(x)A，

xx0xx0则

xx0limf(x)A.

2.4无穷大与无穷小

在研究函数的变化趋势时，经常会遇到两种特殊情形：一是函数的极限为零，二是函数的绝对值无限增大，即是本节讨论的无穷小和无穷大，以limf(x)为代表讨论.

xx02.4.1 无穷小

若limf(x)0，则称函数f(x)为xx0时的无穷小.

xx0例如

lim(x1)0，则x1是x1时的无穷小.limx122110，则是x时的xxx无穷小.

在此需要指出的是：（1）无穷小不是很小的数，它表示当xx0时，f(x)的绝对值可以任意小的函数. （2）在说一个函数是无穷小时，一定要指明自变量的变化趋势. 同一函数，在自变量的不同变化趋势下，极限不一定为零；在常数里面. （3）0是唯一的无穷小.

2.4.2 无穷大

函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义.对于任意给定的正数M，总存在正数，

当x满足不等式0xx0时，函数值f(x)满足不等式

f(x)M，

则称函数f(x)为xx0时的无穷大.

按照函数极限的定义，当xx0时无穷大的函数f(x)极限是不存在的.为了便于叙述函数的这一性态，习惯上称作函数的极限是无穷大，记作

xx0limf(x).

若把定义中f(x)M改为f(x)M(或f(x)M)，称函数极限为正无穷大（或负无穷大），记作

xx0limf(x)(或limf(x)).

xx0在此，同样注意无穷大不是很大的数，不能和很大的数混为一谈.

例如 由于lim11，为x0时的无穷大，如图1-19.

x0xx

图1-19

从图形上看，当x0时，曲线y

1无限接近于直线x0.

x一般地，若limf(x)，则直线xx0为曲线yf(x)的铅直渐近线.

xx0在上例中，x0是曲线y

2.4.3 无穷小的性质

1的铅直渐近线.

x性质1

limf(x)A充要条件是f(x)A，其中为xx0时的无穷小.

xx0证明

limf(x)A0，0，当0xx0时，都有

xx0f(x)A.

令f(x)A，则，即lim0，说明为xx0时的无穷小.

xx0

此时f(x)A.

性质2 在自变量的同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则1为无穷小；若f(x)f(x)为无穷小，且f(x)0，则1为无穷大.

f(x)x1例如 由于lim(x1)0，则limx11.

x1性质3 有限个无穷小的和是无穷小.

性质4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

例10 求极限limxsinx01.

x解 由于sin111，是有界函数，而limx0.由性质4得limxsin0.

x0x0xx推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小.

习题1-2

1.根据数列的变化趋势，求下列数列的极限：

2n(1)n1 （1）an(1)2； （2）an；

2nnn （3）annsinnn1； （4）an.

n122.根据数列极限的定义，证明：

（1）limn111lim.

0； （2）n3n1nn23sinnn210. （3）lim1； （4）limnnnn3.设limana，求证limana.

nn4.设数列an有界，limbn0，求证limanbn0.

nn5.根据函数极限的定义，证明：

x244； （2）lim2x13； （1）limx2x2x21x21sinxlim0. （3）lim； （4）x2x2x2x

6.求下列函数在指定点处的左、右极限，并判断在改点处极限是否存在.

（1）f(x)xx，在x0处； （2）f(x)cosx,x0，在x0处；

1x,x01xsin,x0 （3）f(x)，在x0处.

x21x,x07.指出下列函数在什么情况下是无穷小，什么情况下是无穷大.

（1）f(x)x1； （2）f(x)lnx；

x11x （3）f(x)cotx； （4）f(x)e.

8.求下列函数的极限.

2x11lim； （2）；

xx2x2x2x1arctanx2 （3）limxcos； （4）lim.

x0xxx19.求函数f(x)的图形的渐近线.

1x2 （1）lim10.利用极限存在准则证明：

（1）lim1nnn1n221； （2）lim21；

nn1n2nnn21an （3）数列an1的极限存在；

2 （4）数列a12，an1

11a的极限存在.

n2an

第3节 极限的运算

本节讨论极限的求法，主要内容是极限的四则运算、复合函数的极限运算法则，以及利用这些法则，求某些特定函数的极限.由于函数极限自变量的变化趋势有不同的形式，下面仅以limf(x)为代表讨论.

xx03.1 极限的四则运算法则

定理1 如果limf(x)A,limg(x)B，则

xx0xx0 （1）limf(x)g(x)AB；

xx0 （2）limf(x)g(x)AB；

xx0 （3）若B0，则limxx0f(x)A.

g(x)B

证明 只证limf(x)g(x)AB.

xx0 由于limf(x)A,limg(x)B，则

xx0xx0f(x)A，g(x)B,

其中和是xx0时的无穷小.于是

f(x)g(x)AB(AB)().

由于仍然是xx0时的无穷小，则

xx0limf(x)g(x)AB.

其它情况类似可证.

注：本定理可推广到有限个函数的情形.

例1 求lim3xx5.

x22 解

lim3xx5lim3xlimxlim53limxlimxlim5

x2x2x2x2x2x2x2222

34-2515.

x22x3. 例2 求limx1x2x22x3limx22limx3x22x3limx1 解

limx1x16.

x1x2limx2limx2x1x1 注：在运用极限的四则运算的商运算时，分母的极限B0.但有时分母的极限B0，这时就不能直接应用商运算了.

例3 求limx1.

x1x1x1 解 由于lim(x1)0，分母中极限为0，故不能用四则运算计算.

lim(x1)x1x010，根据无穷小的性质，知 由于limx1x1lim(x1)2x1x1.

x1x1limx22x1 例4 求lim.

x1x21 解 由于x1时，分子、分母的极限都为0，记作去公因子x1，所以

0型.分子分母有公因子x1，可约0x22x1(x1)2x10limlimlim0.

2x1x1x1x1(x1)(x1)x12 总结：在求有理函数除法limP(x)的极限时，

xx0Q(x)P(x)P(x0)；

xx0Q(x)Q(x0) （1）当Q(x0)0时，应用极限四则运算法则，lim

（2）当Q(x0)0，且P(x0)0时，由无穷小的性质，limP(x)；

xx0Q(x) （3）当Q(x0)0，且P(x0)0时，约去使分子、分母同为零的公因子xx0，再使用四则运算求极限.

3x22x3. 例5 求limx2x25x7 解 由于x时，分子、分母的极限都为，记作型.用x2去除分子及分母，即

233223x2x3xx3.

lim2limx2x5x7x57222xxx315x3；lim. 例6 求（1）lim （2）x5x22x7x3x2x1 解 （1）用x去除分子及分母，得

3x31lim2lim.

x5x2x7x52723xxx （2）用x2去除分子及分母，求极限得

11x35325x3lim2limxx0.

x3xx1x1132xx 总结：型的函数极限的一般规律是：当a00，b00，m和n为正整数，则

a0,nmba0xna1xn1an0lim0,nm.

xbxmbxm1b01m,nm 例7 求lim31.

3x11x1x 解 这是型，可以先通分，再计算.

3x2x2(x2)(x1)1limlimlim

322x11xx1x11x(1x)(1xx)(1x)(1xx)

lim 例8 求

limxx1x.

x21.

x11xx2 解 这是型无理式，可以先进行有理化，再计算.

xlimx1xlimx10.

x1x3.2 两个重要极限

3.2.1

limsinx1

x0x作单位圆（图1-20）,

图1-20

取圆心角AOBx，设0x2，由图1-20可知，

AOB的面积扇形AOB的面积AOD的面积，

即

111sinxxtanx，

222整理，得

sinxxtanx.

不等式两边同时除以sinx，取倒数，得

cosx当x取值范围换成区间sinx1.

x,0，不等式符号不改变.

2当x0时，limcosx1，有夹逼准则知

x0lim注意：在利用limsinx1.

x0xsinx1求函数的极限时，要注意使用条件：

x0xsin01中的变量一致，（1）极限是型；（2）式中带有三角函数；（3）lim00都趋向于0.

例9 求lim 解

limx0tanx.

xtanxsinx1sinx1limlimlim111.

x0x0x0x0xxcosxxcosxsin3x.

x0sin2xsin3xsin3x2x33sin3x133 解

limlimlimlim11.

x0sin2xx03xsin2x22x03xx0sin2x222x1cosx. 例11 求lim2x0x 例10 求limxxx2sin2sin2sin1cosx21lim21lim21121. 解

limlimx0x0x2x22x0x22x0x222221 3.2.2

lim1e

xx1考虑xn（正整数）的情形.记an1，下面证明an是单调有界数列.

n由于

n23nx1n(n1)1n(n1)(n2)11

an11n

n2!3!nnnn(n1)(n2)11



n!n

11类似地，

n11112112n1111111.

2!n3!nnn!nnn1an11n1n11111112111

2!n13!n1n1

112n111.

n1!n1n1n1比较an和an1的展开式，除前两项外，an的每一项都小于an1的对应项，且an1比an多了最后的正数项，所以anan1，即an是单调递增数列.

由于

an11

1111112112n1111111

2!n3!nnn!nnn111111111

2!3!n!2122122212221n1111112113.

1123n111122221122即an是有界数列.

1 由极限存在准则知，当n时，an1的极限存在，通常用字母e来表示,n即

nn1lim1e.

nn1可以证明，当x取实数而趋向（或）时，函数1的极限也存在，且等x于e. 故当x时，

xx1lim1e.

xx令1t，当x时，t0，上式可变为

x

lim1te，

t01t1故极限lim1e的另一种形式是

xxxlim1xe.

x01x1注意：在利用lim1e求函数极限时，要注意使用条件：

xx11（1）极限是1型；（2）lim1e和lim1e中的变量一致，且括0x号内1与括号右上角处互为倒数.

2 例12 求lim1.

xxx解

lim1x22lim1xxxxxx22x22lim1e2.

xx2x4 例13 求lim.

xx311x4解

limlim1lim1xx3xxx3x31xx(x3)(1)3.

(x3)3111

lim1e11e1.

x3xx3 例14 求lim12xx.

x01解

lim12xlim12xx0x01x1(2)2x1lim12x2xx0(2)e2.

3.3 无穷小的比较

引例 当x0时，x、x2、3sinx都是无穷小，而极限

x3sinxx23.

lim0，lim2，limx0xx0x0xx引例中，在x0时，三个函数都是无穷小，但比值的极限结果不同，这反映了不同的无穷小趋于0的速度“快慢”不同.

定义 在xx0时，(x)和(x)为无穷小，

（1）如果limxx0(x)0,则称(x)是(x)为高阶无穷小，记作o()；

(x)(x),则称(x)是(x)为低阶无穷小；

(x)（2）如果limxx0（3）如果limxx0(x)C(C0),则称(x)与(x)为同阶无穷小；

(x)(x)C(C0,k0),则称(x)是关于(x)的k阶无穷小；

k(x)（4）如果limxx0

（5）如果limxx0(x)1,则称(x)与(x)为等价无穷小，记作~.

(x)显然等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即C1.

在上面的例子中，

x2由于lim0，则当x0时，x2是x的高阶无穷小，记作x2o(x)；

x0xx，则当x0时，x是x2的低阶无穷小；

2x0x3sinx3，则当x0时，3sinx是x的同阶无穷小； 由于limx0xsinx1，则当x0时，sinx是x的等价无穷小. 由于limx0x在此，列举出当x0时，常见的等价无穷小有

1sinx~x；tanx~x；1cosx~x2；arcsinx~x；arctanx~x；

21x

e1~x；ln(1x)~x；n1x1~x.

n 由于lim在上述几个无穷小的概念中，最常见的是等价无穷小，下面给出等价无穷小的性质：

定理2

~的充要条件是o().

证明 以自变量xx0时的极限为例.

必要性 设~，则

xx0limlim1lim10.

xxxx00故o()(xx0)，即o().

充分性 设o()，则

xx0limo()o()limlim11，

xxxx00故~(xx0).

注：其他自变量的变化趋势下同上.

定理3

~，~，且limxx0存在，则

limlim.



证明 以自变量xx0时的极限为例.

xx0limlimlimlimlimlim.

xxxxxxxxxx00000定理3表明，在求两个无穷小之比的的极限时，分子或分母都可用等价无穷小来代替.

例15 求lim1cosx.

x0xsinx12x，sinx~x，则

212x1cosx12limlim2.

x0xsinxx0x2解 当x0时，1cosx~ 例16 求limx01x1.

xe11x，ex1~x，则

21x1x121.

limlimx0x0xex12解 当x0时，1x1~ 例17 求limtanxsinx.

3x0x解 （错误做法）当x0时，sinx~x,tanx~x.则

limtanxsinxxxlim0.

x0x0x3x3（正确做法）当x0时，sinx~x,tanx~x.则

1xx21tanxsinxtanx1cosx2lim.

limlimx0x3cosxx0x02x3x3

说明：在代数和中各等价无穷小不能分别替换，在因式中可以用等价无穷小的替换.

习题1-3

1.求下列极限：

x21 （1）lim2xx3； （2）lim；

x1x1x32x22x1x38 （3）lim； （4）lim；

x1x2x2x21

11n1222； （5）lim12； （6）limnx11xx1n331x21（7）lim； （8）limxx3x2x1x21x21；

3x11612（9）lim；

； （10）limxx3x3x32x9n(n1)(n2)x21 （11）lim； （12）lim；

3nx22nx2sinkxtan2x（k0常数）； （14）lim；

x0x0xxcosx1xn （15）lim； （16）lim3sinn（x0常数）；

x0xsinxn3sinxsina （17）limxcscx； （18）lim；

xax0xa （13）lim （19）limxcot2x； （20）lim1x；

x02xx032x1（21）lim； （22）lim1；

x22xxx（23）lim13xx02sinx； （24）xxxlim2xsinx1x2arctan1.

xax2bx21，求常数a,b. 2.已知limx2x1 3.已知lim

xc4，求常数c.

xxcx2

第4节 函数的连续性

在自然界中，有许多现象都是连续变化的，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性.

4.1 函数连续的概念

4.1.1 函数的增量

定义1 设变量u从它的一个值u1变到另一个值u2，其差u2u1称作变量u的增量，记作u，即uu2u1.

例如，一天中某段时间[t1,t2]，温度从T1到T2，则温度的增量TT2T1.当温度升高时，T0；当温度降低时，T0；当时间的改变量tt2t1很微小时，温度的变化T也会很小；当t0时，T0.

定义2 对于函数yf(x)，如果在定义区间内自变量从x0变到x，对应的函数值由f(x0)变化到f(x)，则称xx0为自变量的增量，记作x，即

xxx0或xx0x. （1-4-1）

f(x)f(x0)为函数的增量，记作y，即

yf(x)f(x0)或yf(x0x)f(x0). （1-4-2）

注：增量不一定是正的，当初值大于终值时，增量就是负的.

4.1.2 函数连续的概念

设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在这邻域内从x0变到x0x时，函数增量yf(x0x)f(x0)（图1-21）.

图1-21

假定x0不变，让x变动，y也随之变化.如果当x无限变小时，y也无限变小.根据这一特点，给出函数yf(x)在x0处连续的概念.

定义3 设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果

limylimf(x0x)f(x0)0， （1-4-3）

x0x0则称函数yf(x)在点x0处连续.

设xx0x，则当x0时，即是xx0.而

yf(x0x)f(x0)f(x)f(x0)，

由y0就是f(x)f(x0)，即

xx0limf(x)f(x0).

定义3可以改写为如下定义：

定义4 设函数yf(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果

limf(x)f(x0)， （1-4-4）

xx0那么就称函数yf(x)在点x0处连续.

由定义4知，函数yf(x)在点x0处连续，必须满足下列三个条件：

（1）函数yf(x)在点x0处有定义；

（2）limf(x)存在，即limf(x)limf(x)；

xx0xx0xx0（3）limf(x)f(x0)

xx01xsin,x0例1 讨论函数f(x)在x0处的连续性.

xx00,

解 由于

limf(x)limxsinx0x010，

x而f(0)0，故

limf(x)f(0).

x0由连续性的定义知，函数f(x)在x0处连续.

由于函数f(x)在x0处极限存在等价于f(x)在x0处左、右极限都存在并且相等，结合这一特点，下面定义左、右连续的概念.

如果limf(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处的左连续.如果xx0xx0limf(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处的右连续.

如果函数yf(x)在点x0处连续，必有limf(x)f(x0)，则有

xx0xx0limf(x)limf(x)f(x0)，

xx0这说明了函数yf(x)在点x0处连续，既包含了f(x)在点x0处左连续，又包含了f(x)在点x0处右连续.

定理1 函数yf(x)在点x0处连续的充要条件是函数yf(x)在点x0处既左连续又右连续.

注：此定理常用于判定分段函数在分段点处的连续性.

例2 讨论函数

x2,x1f(x)

x1,x1在x1处的连续性.

解 函数f(x)图形如图1-22.

图1-22

2由于limf(x)limx1f(1)，故f(x)在x1处左连续.

x1x1x1limf(x)limx11f(1)，故f(x)在x1处不右连续.

x1

因此由定理1知，函数f(x)在x1处不连续.

以上是介绍函数在一点处连续的概念，下面介绍连续函数的概念.

定义5 如果函数f(x)在区间(a,b)内每一点都连续,称f(x)为(a,b)内的连续函数.

如果函数f(x)在(a,b)内连续,且在左端点xa处右连续，在右端点xb处左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续.

例3 证明函数ysinx在(,)内是连续的.

证明 任取x0(,)，则

yf(x0x)f(x0)sin(x0x)sinx0

2cosx0由于

xxsin.

22xxlimy2limcosx0sin，

x0x022当x0时，由无穷小的性质知，limy0.

x0由定义1，ysinx在x0处连续.而x0是在(,)内任取的，故ysinx在(,)内是连续的.

类似地，可以验证ycosx在定义区间内是连续的.

4.2 函数的间断点

定义6 如果函数yf(x)在点x0处不连续，则称f(x)在x0处间断，x0称为f(x)的间断点.

根据定义3，函数yf(x)在点x0处连续必须满足的三个条件知.换句话说，只要其中一个条件不满足，函数f(x)就在x0处间断.因此f(x)在x0处出现间断的情形有下列三种：

（1）在xx0处无定义；

（2）在xx0处虽然有定义，但是limf(x)不存在；

xx0

（3）在xx0处有定义，limf(x)存在，但是limf(x)f(x0).

xx0xx0f(x)在x0处只要符合上述三种情形之一，则函数f(x)在x0处必间断.

下面举例函数间断的例子.

（1）函数f(x)11在x0处无定义，所以x0是f(x)的间断点.

xx1,x0（2）符号函数f(x)sgnx0,x0，在x0处，由于

1,x0x0limf(x)lim(1)1，limf(x)lim11.

x0x0x0x0由于在x0处函数左、右极限不相等，故limf(x)不存在，因此x0是此函数的间断点.

sin5x,x0（3）函数f(x)x，在x0处，由于

x00,limf(x)limx0sin5x5，

x0x而f(0)0,故limf(x)f(0)，x0是此函数的间断点.

x0 从上面的例子看出，函数f(x)在x0处虽然都是间断，但产生间断的原因各不相同.根据这一特点，下面对间断点进行分类:

 如果f(x0)与f(x0)都存在，则称x0为f(x)的第一类间断点，否则称为第二类间断点.

在第一类间断点中，如果f(x0)f(x0)，则称x0为f(x)的可去间断点；如果f(x0)f(x0)，则称x0为f(x)的跳跃间断点.

在上面的例子中，在（2）中x0是跳跃间断点，在（3）中x0是可去间断点.

在第二类间断点中，如果f(x0)与f(x0)至少有一个为，则称x0为f(x)的无穷间断点；如果f(x0)与f(x0)至少有一个是不断振荡的，则称x0为f(x)的振荡间断点.

在上例（1）中，x0是无穷间断点.

再如ysin1，x0为函数的间断点.当x0时，函数在-1和1之间出现无限次x的振荡，如图1-23：

图1-23

则x0为振荡间断点.

4.3 初等函数的连续性

定理2 设函数f(x)与g(x)在x0处连续，则其和、差、积、商（分母在x0处函数值不为零）在x0处也连续.

定理3 设函数yf(x)由yf(u)和u(x)复合而成.且yf(u)在u0处连续，u(x)在x0处极限lim(x)u0存在，则

xx0limf(x)limfuf(u0)flim(x).

xx0uu0xx0注：内函数的极限存在, 外函数在该极限点连续，则求复合函数的极限时极限符号可以与外函数符号互换.

例4 求limx3x3.

x29解

yx3x31x3ulim，yu在由和复合而成.且yu222x3x9x96x9u1处连续，则

6limx3x3x316lim.

22x3x9x966在定理3中，如果把条件lim(x)u0改为u(x)在xx0处连续，且(x0)u0xx0结论仍然成立，即

limf(x)flim(x)f(x0).

xx0xx0例5 求lim解

yx0x22x5.

x22x5由yu和ux22x5复合而成.ux22x5在x0处连续，u(0)5；yu在u5处连续，则

limx22x5022055.

x0由于初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合构成的，结合定理2和定理3知，初等函数在定义区间是连续的.

定理4 初等函数在其定义区间内是连续的.

例6 求limx0x293.

x2解

limx0x293lim2x02xxln(1x).

x0xxx2293limx01.

x29361例7 求limln(1x)1limln(1x)limln(1x)xlnlim(1x)xlne1. 解

limx0x0xx0x0x11ex1例8 求lim.

x0x解 令e1t，则xln(1t)，当x0时，t0.则

xex1t1limlim1.

x0x0ln(1t)ln(1t)xlimx0t里7、例8也说明了当x0时，ln(1x)~x，e1~x.

例9 求lim12tanxx0x2cot2x.

解 由于

12tanx2cot2xecot2xln12tan2x，

22当x0时，ln12tanx~2tanx，故

lim12tanxx02cot2xlimex0cot2xln12tan2xelimcotx02xln12tan2xe2limcot2xtan2xx0e2.

一般地，形如1u(x)v(x)的函数称为幂指函数. 如果

limu(x)0,limv(x),

则

lim1u(x)v(x)elimv(x)ln1u(x)elimv(x)u(x).

4.4 闭区间上连续函数的性质

在4.1中已经介绍了函数yf(x)在闭区间[a,b]连续的概念，下面继续讨论闭区间[a,b]上连续函数的性质.

4.4.1最值定理

定理5（最值定理）闭区间上连续的函数在该区间上一定存在最大值和最小值.

此定理说明，如果函数f(x)C[a,b]，如图1-24：

图1-24

则至少存在一点1[a,b]，f(1)m，对x[a,b]，都有f(x)m，则m是f(x)在[a,b]上的最小值.至少存在一点2[a,b]，f(2)M，对x[a,b]，都有f(x)M，则M是f(x)在[a,b]上的最大值.

注：定理5中条件“闭区间”和“连续”很重要，如果缺少一个，定理5不一定成立.

例如，函数yx在开区间(0,2)内虽然连续，但是没有最大值和最小值（图1-25）.

x1,0x1函数y0,x1在闭区间[0,2]上不连续，不存在最大值和最小值（图1-x3,1x226）.

图1-25 图1-26

由于闭区间上连续函数存在最大值和最小值，因此闭区间上连续函数必定有界.

推论：闭区间上连续函数在该区间上有界.

4.4.2 介值定理

定理6（介值定理）函数f(x)在[a,b]上连续，M和m分别是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值，则至少存在一点[a,b]，使得mf()M（图1-27）.

图1-27

定理7（零点定理）函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)0，则在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()0（图1-28）.

图1-28

例10 证明方程x2x10在区间(1,2)内至少有一个根.

52解 设f(x)x2x1，显然f(x)在[1,2]上连续，而

52f(1)20，f(2)230，

由零点定理知，至少存在一点(1,2)，使得f()0.即x2x10在区间(1,2)内至少有一个根.

例11 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)a,f(b)b,证明至少存在一点52(a,b)，使得f().

解 设(x)f(x)x，显然(x)在[a,b]上连续，而

(a)f(a)a0，(b)f(b)b0，

由零点定理知，至少存在一点(a,b)，使得()0.即f().

注：在应用零点定理时，一定要注意检验函数是否满足定理使用的条件.

习题1-4

1.用定义证明ycosx在(,)内是连续的.

2.讨论下列函数在指定点处的连续性，如果间断，说明间断点的类型；如果是可去间断点，补充或改变函数的定义使其连续.

x21（1）y2，在x1,x1,x3处；

x2x3tan2x,x0（2）yx，在x0处；

0,x011ex,x0（3）y，在x0处； （4）yarctan，在x0处.

x0,x0x2n213.讨论函数f(x)lim2n的连续性，如果间断，说明间断点的类型.

nx1ln(13x),x0bx4.已知函数f(x)2,x0在x0处连续，求a和b的值.

sinaxx0x,5.求下列极限.

（1）lim3x0x3x6； （2）lim(sin2x)3；

x0 （3）lim （5）limx4sin3x2x13； （4）limln；

x0xx2xtanxtan； （6）limnnxn3n4；

x3 （7）limx0ln(1x)1； （8）lim1；

x1x1x2x1x1 （9）limxx2 （11）lim； （10）lim12x；

x04xln(1x)ln(1x)1tanx1sinx； （12）lim.

3x0x0x2xx6. 已知方程xexcos2x至少有一个实根.

7. 证明：若f(x)与g(x)都在[a,b]上连续，且f(a)g(a)，f(b)g(b)，则存在点c(a,b)，使得f(c)g(c).

8.证明方程xasinxb（a0,b0）至少有一个正根，且它不超过ab.

9.证明函数f(x)x2x4在(2,2)之间至少有2个零点.

4第5节 极限与连续的应用

5.1 经济应用

5.1.1需求与供给函数

设Q为商品社会需求量，P为商品的价格，则QQ(P)称为需求函数.

设商品的社会供给量为S，则社会供给量与商品价格P之间的函数SS(P)为供给函数.

某商品的价格水平位P，商品的社会需求量Q和商品的供给量S达到平衡，称P为均衡价格，即Q(P)S(P).此时，QQ(P)为均衡数量.

例1 某种商品的需求函数与供给函数分别为

Q3005P，S25P30，

求该商品的市场均衡价格和均衡数量.

解 设均衡价格为P，满足Q(P)S(P)，即

3005P25P30，

解得P11.从而均衡数量

Q3005P300511245.

5.1.2 成本、收益、利润函数

某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源的价格或费用总额.它由固定资本(生产准备费,用于维修、添制设备等)和可变资本 (每单位产品消耗原材料、劳力等费用)组成.由此可见总成本函数C是产量（或销量）Q的函数，即CC(Q).

总收益是指销售一定数量商品所得的收入，它既是销量Q的函数，又是价格P的函


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