2024年3月21日发(作者：2021太仓期中数学试卷)
2011考研数学之导数应用
1
的正根
.
2
2
．设函数
f
(
x
)
在
[0
，
1]
上连续，
0
≤f
(
x
)
≤
1
，求证存在
ξ∈
[0
，
1]
，使得
f
(
ξ
)
=ξ
。
已知
f(x)
在
[0
，
1]
上非负连续，
f(0)=f(1)=0
，则对于任意一个实数L（
0 ）， 3 ． ∃ x 0 ∈ [0 ， 1] ，使得f ( x 0 ) =f ( x 0 +L ). 介值定理除了表现为零点定理以外，以下这种形式要格外重视： 若函数在一个闭区间上连续，则它可以取得介于函数在该区间上的最大值和最小值之间 的任何一个数。 例 1 ． 010210 设 f(x) 在 [ −a, a ] 上二阶连续可导（ a>0 ）， f(0)=0 。（ 1 ）写出 f(x) 的 带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（ 2 ）证明在 [ −a, a ] 内至少存在一点 η ，使得 a 3 f ′′ (η)=3 ∫ f(x)dx 。 −a a 比较： 若二阶导数 f ′′ ( x ) 在 [2 ， 4] 连续，且 f (3)=0 ，求证在 [2 ， 4] 必有一点ξ，使得 4 f ′′ (ξ)=3 ∫ f(x)dx ． 2 【真题】 020308 设 f(x) ， g(x) 在 [ a, b ] 连续，且 g(x) > 0 。利用闭区间上连续函数的性质， 证明在 [ a, b ] 存在一点 ξ ，使得 ∫ f(x)g(x)dx=f(ξ) ∫ g(x)dx 。 aa bb - 1 - 2011考研数学之导数应用 ∀x∈ [ a, b ] ，存在相应的 y∈ [ a, b ] ，使得 f ( y ) ≤ 1 f ( x ) ，试证 ∃ x 0 ∈ [ a, b ] ，使得 f ( x 0 ) = 0. 2 2．利用Rolle定理 Rolle 定理主要的作用：确定函数的导数的零点的存在性。 在使用 Rolle 定理时要注意解决两个问题：①辅助函数的构造；②区间的选取。 ①辅助函数的构造 例 2 ．如果 a 0 ， a 1 ，…， a n 为满足 a 0 + 1 2 a 1 + \" + 1 n a n− 1 + 1 n+ 1 a n = 0 的实数，证明 方程 a 0 +a 1 x+\"+a n−1 x n−1 +a n x n =0 在（ 0 ， 1 ）至少有一个实根。 熟记一些常见形式对使用 Rolle 定理很有帮助。比如 若有 f(ξ)+f ′ (ξ)=0 的形式，可构造辅助函数 F(x)= e x f(x) ； 若有 f ( ξ ) −f ′ ( ξ ) = 0 的形式，可构造辅助函数 F ( x ) =e −x f ( x ) 等等。 【真题】 ◇ 090118 （ 090221 ， 090318 ） 【参考题】 若 f ( x ) 可导，求证在 f ( x ) 的两个零点之间一定有 f ′ ( x ) + f ( x ) 的零点。 例 3 ．设 f ( x ) 在 [0 ， 1] 上连续，在（ 0 ， 1 ）可导， f (0) = 0 ，求证： ∃ x 0 ∈ （ 0 ， 1 ），使 得 x 0 f ′ (x 0 )+2f(x 0 )=f ′ (x 0 ). - 2 -
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函数,定理,导数,构造,辅助
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