爱心方程式

2024年1月25日发(作者：2020兰州一诊数学试卷)

２０１１年第９期　数学教学　９－３１　爱心方程式　４３００７９湖北省武汉市华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心彭翕成　有人说：“上帝是数学家，唯一能够描述宇宙　的语言是数学！”　对于这句话，不管是学生，还是老师可能都　不大相信．怎么用数学语言去描述宇宙？恐怕很　难回答．在很多人看来，数学和自然的联系实在　是不多．　著名数学家、分形几何的创始人芒德勃罗　说：“为什么几何学常常被说成是‘冷酷无情’和‘枯　燥乏味’的？原因之一在于它无力描写云彩、山　岭、海岸线或树木的形状．云彩不是球体，山岭　不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电　更不是沿着直线传播的……数学家不能回避　这些大自然提出的问题．”　从理论上来说，若要描绘物体图像，只要先　描出足够多的点，再用ｌａｇｒａｎｇｅ插值公式就能给　出该图像的拟合公式．但实际操作起来还是会　遇到一些问题．本文以超级画板为作图工具，用　一些中学教学中常见的方程式拟合一个比较有　意义的爱心图形．　提起爱心方程式，不得不让人联想到笛卡尔　情书的故事．虽然笛卡尔的情书并不比牛顿的　苹果更可靠，但笔者认为既然文学中有那么多才　子佳人的故事，数学中为什么不能有呢？所以笔　者还是将情书的故事转载如下．　解析几何的创始人笛卡尔在欧洲大陆爆发　黑死病时，流浪到瑞典，认识了瑞典一个小公国　１８岁的公主克里斯汀，后来成为她的数学老师，　日日相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲　国王知道之后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，　后因女儿求情将其流放回法国，克里斯汀公主也　被父亲软禁起来．　笛卡尔回法国后不久便染上重病，他日日给　公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到　笛卡尔的信．笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三　封信后就气绝身亡了，这第十三封信的内容只有　短短的一个公式：ｐ＝ａ（１一ｓｉｎ０）．　国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说　情话的，大发慈悲就把这封信交给一直闷闷不乐　的克里斯汀，公主看到后，立即明了恋人的意图，　她马上着手把方程的图形画出来（图１），看到图　形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方　程的图形是一颗心的形状．这也就是著名的“心　形线”．国王死后，克里斯汀登基，立即派人在欧　洲四处寻找心上人，无奈斯人已故，先她一步走　了，徒留她孤零零在人间……据说这封另类情　书保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里．　图１　可断定上述故事是有人围绕心形线，将瑞典　女王请笛卡尔讲学的事情改头换面虚构而成．笛　卡尔的心形线太圆了，有点像苹果了，能否将其　画得更像心形一点呢？　一、圆变心形　笔者猜测可以从圆出发，把圆上点的横坐标　不变，纵坐标按照某种比例向上挤压一下．单位　圆的方程是　＋　＝１，可变换成　＝士、／／１一　，　再添加一项，则得到：Ｙ＝ｖ＇ｌ—Ｘ　＋ｂｘ（０＜　＜１）和Ｙ＝一、／／１一　＋ｂｘ（０＜Ｘ＜１）．这　两个方程得到的是图２　４中Ｙ轴右边的图像．为　什么要限制０＜Ｘ＜１，而不是默认为一１＜Ｘ＜　１７这是因为心形是对称图形，只要我们能够作　出一半，利用对称就能得到另外一半．若急于求　出，想一次攻破，恐怕没那么容易．　利用超级画板这一实验平台，我们可以马上　将想法可视化．图２—４得到的就是当参数ｂ取不　同值的情形．　

９－３２　数学教学　２０１１年第９期　ｂ＝０　、＼　１　图２　ｂ＝０．４６　ｂ＝０．８２　／——　——、　／—、　Ｉ　“　７ｌ　　／　＼　１　／　ｔ　图３　图４　我们可以作点小修改，譬如将方程改成Ｙ＝　、／Ｔ刁＋ｂｙｅ（０＜ｘ＜１）Ｎ　ｙ＝一、／Ｔ　＋　６　（０＜ｘ＜１），可得图５　７　ｂ＝０　、＼　、　一１　图５　ｂ＝０．５８　ｂ＝０．８２　（＿　／—＼　Ｊ　／　。　／　。　１　图６　图７　笔者之前做过一个心形设计，与此函数作图　是一致的．是作两个正交的椭圆（图８），再选取　其中部分填充颜色（图９），可得到一个漂亮的心　形．　二、偶函数图形　探究至此，笔者突然想到：偶函数不就关于　Ｙ轴对称么？　于是上面的方程可简化为Ｙ＝４１一Ｘ　＋　图８　图９　６　和Ｙ＝一、／／１一　。＋ｂｌｘｌ，定义域就是默认的　１＜ｘ＜ｌ，这样上下两端函数就构成了一个　心形．　基于偶函数的考虑，又在网络资料的启发下，　笔者画出了下面的图形．　图１０的方程式是Ｙ＝、／／　＋、／／６一Ｘ　和Ｙ＝　、／　一　一　２．　图１１的方程式是Ｙ＝ｌＸＩ一、／／１一Ｘ　和Ｙ＝　＋４１一　２．　图１２的方程式是　＝詈（筹　一一）　／ｇｌ　ｙ＝　２（筹　＋一）．　图１３的方程式是Ｙ＝ａｒｃｃｏｓ（１一Ｉｘ１）一７ｒ和　Ｙ：、　二　．　图１２　图１３　…方程　一（１一　ｙ＝　．　图１５的方程式是　＝　一　日和　＝　＋　．　

２０１１年第９期　数学教学　９～　图１４　图１５　三、参数方程作图　下面得到心形的这些参数方程，都是笔者在　网上找到的．不得不佩服原作者的创意．这么不　常见的表达式，若不是妙手偶得，那必定是千锤　百炼修改而成．可以肯定的是，借助于超级画板　这种作图工具，可以省不少事．　图１６的参数方程是Ｘ＝ｓｉｎｔＣＯＳｔＩｎ『ｔＩ和Ｙ　：Ｉｔｌ￣０佩．　图１７的参数方程是Ｘ＝（ＣＯＳ　ｔ）。和Ｙ＝　（ＣＯＳｔ）４一ｓｉｎｔ．　图１６　图１７　图１８的参数方程是　＝ＣＯＳｔ和Ｙ＝ｓｉｎｔ＋　Ｉ　ＣＯＳｔ　ｒ．　图１９的参数方程是　＝　ｓｉｎ　和　＝　一　＋ｃｏｓ丁７ｒ　ｓｉｎｔ．　图１８　图１９　图２０的参数方程是　＝ｌ２　ｓｉｎｔ一４　ｓｉｎ３ｔ和　Ｙ＝１３　ＣＯＳ　ｔ——５　ＣＯＳ　２ｔ——２　ＣＯＳ　３ｔ—ＣＯＳ　４ｔ．　图２１的参数方程是　＝１２（ｓｉｎｔ）３和Ｙ＝　１３　ＣＯＳｔ——５　ＣＯＳ　２ｔ——２　ＣＯＳ　３ｔ——ＣＯＳ　４ｔ．　图２０　图２１　图２２的右半部分的参数方程是Ｘ＝０．０１×　（　＋４０ｔ＋１２ｏｏ）ｓｉｎ　和ｙ－－Ｏ．０１×（　＋　ｉ　Ｕ　０　４Ｃｌ亡＋１２ｏｏ）ｃ。ｓ　（０＜　＜６０），还需要作一　次关于Ｙ轴的对称．　图２２　四、极坐标方程作图　由于心形是封闭环状，使用极坐标方程是很　好的．但要想设计出下面这两个方程可不容易．　图２３的参数方程是　ｐ＝２—２　ｓｉｎ　＋　ｓｉｎ　０　．　图２４的参数方程是　Ｄ＝＝＝　图２３　图２４　本文大多数方程式不是笔者原创，而是收集　于国外一些数学网站．笔者相信这可作为数学教　学的素材，起到激发学生数学的作用．关于用数　学方程描绘其他事物，我们将另文介绍．