参数估计方法

2024年4月5日发(作者：去年山东青岛中考数学试卷)

第八章 参数估计方法

143

第八章 参数估计方法

研究工作的目的在于了解总体特征的有关信息，因而用样本统计数估计相应总体参数，并

由之进行统计推断。总体特征的各种参数，在前几章主要涉及平均数、标准差等，并只从直观

上介绍其定义和公式，未就其历，即参数估计(parameter estimation)的方法作讨论。本章将简

要介绍几种常用参数估计方法，即矩法、最小二乘法、极大似然法。第五章述及参数的点估计

(point estimation)和区间估计(interval estimation)，本章讨论点估计方法。区间估计是在点估计

的基础上结合统计数的抽样分布而进一步作出的推论，有关内容将散见在其它各章。

第一节 农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准

一、农业科学中的主要参数

农业科学研究中需要估计的参数是多种多样的，主要包括总体数量特征值参数，例如，用

平均数来估计品种的产量，用平均数差数来估计施肥等处理的效应；用百分数(或比例)来估计

遗传分离比例、群体基因或基因型频率、2个连锁主基因间的重组率；通过变异来源的剖分，

用方差来估计环境方差、遗传方差和表型方差，在此基础上以估计性状的遗传力等遗传参数；

用标准误来估计有关统计数的抽样误差，如重组率的标准误、遗传抽样误差、遗传多样性误差、

频率误差等。在揭示变数间的相互关系方面，用相关系数来描述2个变数间的线性关系；用回

归系数、偏回归系数等来描述原因变数变化所引起的结果变数的平均变化的数量，用通径系数

来描述成分性状对目标性状的贡献程度等。有关数量关系和数量变化方面的内容将在第9至

11章介绍。

二、参数估计量的评选标准

讨论参数估计方法前需要了解数学期望(expectation)的概念和评价估计方法优劣的标准。

(一) 数学期望

在抽样分布中，已经讲述了从总体中抽出所有可能样本的样本平均数的平均数等于总体平

均数，这里，样本平均数的平均数就是一种数学期望。例如，一个大豆品种的含油量为20%，

测定一次可能是大于20%，再测定可能小于20%，大量反复测定后平均结果为20%，这时20%

便可看作为该大豆品种含油量的数学期望，而每单独测定一次所获的值只是1个随机变量。抽

象地，随机变量的数字特征是指随机变量的数学期望值，本书以前各章常见的数学期望有平均

数和方差等。求数学期望往往是求总体的特征参数表达式。

对于离散型(间断性)随机变量y的分布列为：P{y=y

i

}=p

i

，其中，i=1，2，…，那么随机

变量y的数学期望E(y)为：

第八章 参数估计方法

144

E(y)



y

i

p

i

(8·1)

i1



这样可以求得总体平均值。

对于连续型随机变数y的数学期望E(y)为：



E(y)=





dy

(8·2)



yf(y)

其中f(y)为随机变量y的概率密度函数，这样可以求得总体均值。

方差在前面已有大量应用，这里用D(y)表示，有

2

D(y)=E[y-E(y)]

(8·3)

这就是随机变量函数的数学期望。同理，离散型随机变量方差的数学期望为：

D(y)





y

i

E(y)



p

i

(8·4)

2

i1



连续型随机变量方差的数学期望为：



D



(y)



f(y)dy

(8·5)

(y)





yE

2

数学期望有这样一些常用的性质：(1) 常数的数学期望为常数本身；(2) 随机变量与常数

的乘积的数学期望是常数与随机变量的数学期望的乘积；(3) 多个随机变量分别与常数的乘积

的求和函数的数学期望是常数与多个随机变量的数学期望的乘积的和；(4) 多个相互独立的随

机变量的乘积的数学期望是多个随机变量的数学期望的乘积。

(二) 参数估计量的评选标准

参数估计可用不同的方法，后文将介绍矩法、最小二乘法和极大似然法等，使用不同的方

法会得到不同的参数估计量(parameter estimator)，各种估计量均有其优点，评价估计量优劣的

标准主要有无偏性、有效性、相合性等。

(1) 无偏性 参数估计量的期望值与参数真值是相等的，这种性质称为无偏性，具有无偏

性的估计量称为无偏估计量。例如，在抽样分布中已经介绍了离均差平方和除以自由度得到的

均方的平均数等于总体方差，即该均方的数学期望等于相应总体参数方差，这就是说该均方估

计量是无偏的。估计量的数学期望值在样本容量趋近于无穷大时与参数的真值相等的性质称为

渐进无偏性，具有渐进无偏性的估计量称为渐进无偏估计量。

(2) 有效性 无偏性表示估计值是在真值周围波动的一个数值，即无偏性表示估计值与真

值间平均差异为0，近似可以用估计值作为真值的一个代表。同一个参数可以有许多无偏估计

量，但不同估计量的期望方差不同，也就是估计量在真值周围的波动大小不同。估计量的期望

方差越大说明用其估计值代表相应真值的有效性越差；否则越好，越有效。不同的估计量具有

不同的方差，方差最小说明最有效。如果一个无偏估计量相对与其它所有可能无偏估计量，其

期望方差最小，那么称这种估计量为一致最小方差无偏估计量。

(3) 相合性 用估计量估计参数涉及一个样本容量大小问题，如果样本容量越大估计值越

接近真值，那么这种估计量是相合估计量。

除以上三方面标准外，还有充分性与完备性也是常考虑的。充分性指估计量应充分利用样

本中每一变量的信息；完备性指该估计量是充分的唯一的无偏估计量。

前几章介绍了平均数与方差的计算公式，实际上估计总体平均数与方差有多种统计数或公

式，如平均数有算术平均数、中数、众数等，方差有以(n-1)或n为除数的方法等。经比较算

术平均数与由自由度n-1计算的方差最符合上述各项标准的综合要求，因而得到广泛的应用。