2024年4月8日发(作者：清华金秋营数学试卷)
完整版三角函数常用公式表
1、角 ：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角；
（ 2）、与
终边相同的角，连同角
在内，都可以表示为会集
{
|
k 360 , k Z
}
（ 3）、象限的角：在直角坐标系内，极点与原点重合，始边与
2、弧度制 ：（ 1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做
（ 2）、度数与弧度数的换算：
x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，
就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。
1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。
180
弧度， 1 弧度
( 180 )
57 18
\'
y
P（ x，y）
r
（ 3）、弧长公式：
l |
| r
（ 是角的弧度数）
扇形面积：
S
1
lr
2
1
|
2
y
x
x
y
2
| r
r
x
2
y
2
y
0
0
x
y
3、三角函数 （ 1）、定义：（如图）
sin
y
r
x
r
tan
cot
sec
csc
r
x
r
y
（ 2）、各象限的符号：
y
+
O
+
x
_
O
+
x
_
O
+
x
cos
_
sin
90
_
_
cos
+
+
tan
180
_
（ 3）、
特别角的三角函数值
的角度
的弧度
0
0
0
30
45
60
120
2
3
2
135
3
4
2
2
150
5
6
270 360
3
2
2
6
1
2
3
2
3
3
4
2
2
2
2
3
3
2
2
1
0
sin
3
1
2
3
2
3
3
0
1
0
1
cos
1
1
2
3
1
2
3
2
2
1
0
tan
0
1
—
1
0
—
0
4、同角三角函数基本关系式
（１）平方关系： （２）商数关系：
（３）倒数关系：
sin
cos
sin
2
cos
2
1
tan
sin
cos
tan cot
1
tan
1
1
cot
1
tan
2
2
sec
2
2
cot
cos
sin
sin csc
sec
csc
1 cot csc
cos
sec
1
（ 4）同角三角函数的常有变形： （活用“ 1”）
①、
sin
2
②
1
cos
2
，
sin
cos
2
sin
2
1
cos
2
2
sin 2
，
cot
；
cos
2
1 sin
2
cos
2
sin
2
cos
| sin
，
cos
1 sin
2
；
tan
2 cos2
sin 2
cos |
2 cot 2
cot
sin cos
tan
sin
1 sin 2
③
(sin
cos
)
2
1
2sin cos1 sin 2
，
1 / 6
完整版三角函数常用公式表
5、引诱公式：（奇变偶不变，符号看象限）
公式一：
sin(
公式二：
k 360 ) sin
cos(k
360 ) cos
tan(
k 360 ) tan
公式三：
公式四：
公式五：
sin(180
cos(180
tan(180
) sin
)
)
sin(180
cos(180
tan(180
sin(
)
)
sin
cos
sin(
tan(
sin(
)
)
)
sin
sin(360
cos(360
tan(360
sin(
3
)
)
)
cos
sin
sin
tan
cos
tan
)
cos( )
cos ) cos
) tan
)
cos
tan
补充：
sin(
2
cos(
cos
3
2
)
sin
2
tan(
2
cos(
2
tan(
2
)
sin
cos(
tan(
3
2
2
cos
)
sin
cos(
tan(
3
2
2
)
)
cot
)
cot
3
)
cot
3
)
cot
2
2
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
两角和与差的三角函数公式
全能公式
sin(
sin(
cos(
cos(
) sin cos
) sin cos
) cos
) cos
cos sin
cos sin
sin sin
sin sin
sin
2 tan(
1 tan 2(
1 tan 2(
1 tan 2(
/ 2)
/ 2)
cos
cos
cos
/ 2)
/ 2)
tan(
)
tan
1 tan
tan
tan
tan
2 tan( / 2)
1 tan 2( / 2)
tan(
)
tan
1 tan
tan
tan
7 . 辅角公式
a sin x bcosx
a
2
b
2
a
2
2
sin x
b
2
2
cosx
a
b
a
b
a
2
b
2
(sin x cos
称为辅助角，
cos x sin )
a
2
b
2
sin(x )
（其中
的终边过点
(a,b)
，
tan
b
） （多用于研究性质）
a
8、二倍角公式 ：（ 1）、
S
2
：
sin 2
2
2 sin cos
sin
2
（ 2）、降次公式： （多用于研究性质）
C
2
：
cos 2
cos
sin
cos
1
sin 2
2
1
2 sin
2
2cos
2
1
sin
2
1 cos2
2
1
cos2
2
1
2
1
2
|
；
T
2
：
tan 2
2 tan
1 tan
2
1
cos
2
1 cos2
2
1 cos 2
2
2 | cos
（ 3）、二倍角公式的常用变形：①、
cos2
1
2
2 | sin
|
，
1 cos2
②、
1
1
cos2
| sin
|
，
1
cos2
| cos |
2 2
2
2 / 6
完整版三角函数常用公式表
③
sin
4
cos
4
1
2sin
2
cos
2
1
sin
2
2
2
；
cos
4
sin
4
cos2
；
④半角：
sin
1 cos
，
cos
2
2 2
1 cos
，
tan
2 2
1 cos
1 cos
sin
sin
1 cos
1 cos
三角函数的和差化积公式
三角函数的积化和差公式
sin
sin
sin
2sin
2
2cos
2
2cos
2
2sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
cos
sin
1 sin(
2
1 sin(
2
1 cos(
2
) sin(
)
)
sin
cos
cos
) sin(
cos
cos
cos
cos
sin
) cos(
)
)
cos
sin
1
cos(
2
) cos(
9、三角函数的图象性质
（ 1）、函数的周期性：①、定义：关于函数
f（ x），若存在一个非零常数
T，当 x 取定义域内的每一个值时，
T 叫这个函数的周期；
f（ x）的最小正周期。
都有： f（ x+T ） = f （x），那么函数 f（ x）叫周期函数，非零常数
（ 2）、函数的奇偶性：①、定义：关于函数
②、若是函数
f（ x）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫
f（ x）的定义域内的任意一个
y 轴对称；
x，
都有： f（ -x） = - f （x），则称 f（ x）是奇函数， f（ -x）=
f（ x），则称 f（ x）是偶函数
②、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
③、奇函数，偶函数的定义域关于原点对称；
（ 3）、正弦、余弦、正切函数的性质（
函数
定义域
值域
，
[-1 1]
[-1， 1]
k
Z
）
周期性
奇偶性
递加区间
2k ,
2
递减区间
y sin x
x R
x R
{ x | x
T
T
T
2
2
奇函数
2k
2
3
2k , 2 k
2
2
y cosx
y tanx
偶函数
奇函数
(2k 1)
,2k
k ,
2
2k ,( 2k 1)
k }
2
（ -∞ ,+∞）
k
2
y
sin x
图象的五个要点点： （
0，
0），（
，1），（
， 0），（
， -1），（
2
， 0）；
2
2
3
3
y
cosx
图象的五个要点点： （0，
1），（
，0），（
， -1），（
， 0），（
2
， 1）；
y
1
2
2
y
y sin x
3
2
2
0
2
-1
2
x
3
2
o
2
3
2
x
2
y tan x
3 / 6
完整版三角函数常用公式表
y
1
y cosx
3
2
2
2
0
x
2
-1
y
sin x
的对称中心为（
k ,0
）；对称轴是直线
x
k
2
；
y
A sin( x
)
的周期
T
)
的周期
T
2
；
,0
）；对称轴是直线
x
k
；
2
,0
）；
y
tan x
的对称中心为点（
k
,0
）和点（
k
2
(4)、函数
y Asin( x
y
cosx
的对称中心为（
k
y
Acos( x
2
；
；
y
A tan( x
)
的周期
T
)( A
定义域
0,0)
的相关看法：
值域
函数
振幅
A
周期
T
频率
f
相位 初相
图象
五点法
y
Asin( x
)
x
R
[-A ，A]
2 1
x
2
T
y Asin( x
)
的图象与
y
sin x
的关系：
①、振幅变换：
y sin x
1
时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的
当
0
A
1
时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的
当 A
当
A 倍
A 倍
y Asin x
1
时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的
1
倍
②、周期变换：
y
sin x
当
0
当
1
时，图象上各点的纵坐标伸长到原来的
0
时，图象上的各点向左平移
1
y sin
x
倍
个单位倍
③、相位变换：
y
sin x
当
0
时，图象上的各点向右平移
| |
个单位倍
当
y sin( x
)
0
时，图象上的各点向左平移
个单位倍
④、平移变换：
y
Asin x
y A sin( x
)
当
0
时，图象上的各点向右平移
| |
个单位倍
常表完成： ①、把
上的所有点向左 （
时
）或向右（
时
）平移 | |个单位获取
；
y sin x
0
1
0
0
1
y sin( x
)
②、再把
y
获取
y sin(
sin( x
x
)
的所有点的横坐标缩短
（
）或伸长（
)
；③、再把
y
sin( x
)
的所有点的纵坐标伸长（
A sin( x
)
)
的图象。
）到原来的 倍（纵坐标不变）
1
A
1
）或缩短（
0 A
1
）到
原来的
A
倍（横坐标不变）获取
y
先平移后伸缩的表达方向：
先平移后伸缩的表达方向：
y
y
A sin( x
A sin(
x ) A sin[ ( x )]
10、三角函数求值域
4 / 6
完整版三角函数常用公式表
（ 1）一次函数型：
y
Asin x
B
，例：
y
2 sin(3x)
5
，
y sin x cos x
12
sin(x
)
，例：
y 4 sin x 3cos x
cos2x
用辅助角公式化为：
y a sin x b cos x
a
2
b
2
y sin x
（ 2）二次函数型：①、二倍角公式的应用：
②、代数代换：
y
sin x cos x sin x cos x
第五章、平面向量
1、空间向量：（ 1）、定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示。
（ 2）、零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作
0
；零向量的方向是任意的。
（ 3）、单位向量：长度等于
1 个单位长度的向量叫单位向量；与向量
a
平行的单位向量：
e
a
；
| a |
（ 4）、平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，
记作
a // b
；规定
0
与任何向量平行；
（ 5）、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等；
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点没关。
2、向量的运算： （ 1）、向量的加减法：
向量的加法
向量的减法
三角形法规
平行四边形法规
a
b
b
a
b
a
b
a
a b
b
a b
a
b
首位连结
a b
指向被减数
a
（ 2）、实数与向量的积：①、定义：实数
②：它的长度：
|
③：它的方向：当
与向量
a
的积是一个向量，记作：
a
；
a | |
| | a |
；
0
，
a
与向量
a
的方向相同； 当
若是
0
，
a
与向量
a
的方向相反； 当
0
时，
a
=
0
；
3、平面向量基本定理：
e
1
,e
2
是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任向来量
1
a
，有且只
有一对实数
1
,
2
，使
a
e
1 2
e
2
；
不共线的向量
e
1
, e
2
叫这个平面内所有向量的一组基向量，
4、平面向量的坐标运算： （１）、运算性质：
a
（２）、坐标运算：设
a
{
e
1
,e
2
} 叫基底。
b b a, a b c a b c , a 0 0 a a
x
1
, y
1
, b
x
2
, y
2
，则
a
b
x
1
x
2
, y
1
y
2
5 / 6
完整版三角函数常用公式表
设 A、 B 两点的坐标分别为（
x
1
， y
1
），（ x
2
，y
2
），则
AB
x
2
（ 3）、实数与向量的积的运算律
:
设
a
x
1
, y
2
y
1
.
x,
y
，
x, y
，则λ
a
a
x, y
（ 4）、平面向量的数量积：①、
定义：
a b
b cos a
0, b 0,0
0
180
0
，
0 a 0
.
①、平面向量的数量积的几何意义：向量
a
的长度
|
a
|与
b
在
a
的方向上的投影
|
b
|
cos
的乘积；
③、坐标运算 : 设
a
x
1
, y
1
, b
x
2
, y
2
, 则
a b
x
1
x
2
y
1
y
2
；
向量
a
的模
|
a
|：
| a |
2
a a
x
2
y
2
；模
|
a
|
x
2
y
2
④、设
是向量
a
x
1
, y
1
, b
, y
2
x
1
x
2
y
1
y
2
x
2
的夹角，则
cos
，
a
x
1
2
y
1
2
x
2
2
y
2
2
5、重要结论：（ 1）、两个向量平行的充要条件：
a// b
a b
( R)
设
a
x
1
, y
1
, b
x
2
, y
2
，则
a// b
x
1
y
2
x
2
y
1
0
（ 2）、两个非零向量垂直的充要条件：
a
b a b 0
设
a
x
1
, y
1
, b x
2
, y
2
，则
a b
x
1
x
2
y
1
y
2
0
（ 3）、两点
A x
1
, y
1
, B x
2
, y
2
的距离：
| AB |
( x
1
x
2
)
2
( y
1
y
2
)
2
（ 4）、P 分线段 P
1
P
2
的：设 P（ x， y） ，P
1
（ x
1
，y
1
） ， P
2
（ x
2
，y
2
） ，且
P
1
P
PP
2
，（即
x
x
1
x
2
x
x
1
x
2
1
则定比分点坐标公式
中点坐标公式
2
yy
，
y
1 2
1
y
2
y
1
y
2
（ 5）、平移公式：若是点 P （ x，y）按向量
a
h, k
平移至 P′（ x′， y′），则
x
\'
y
\'
6 / 6
b
x h,
y k.
a b 0
| P
1
P |
）
| PP
2
|
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向量,公式,方向
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