2024年3月23日发(作者：广水中学初中数学试卷一)
测试题
第一章 实数集与函数
（A）
1．证明：
n
≥1时，有不等式
2(n1n)
1
n
2(nn1)
.
然后利用它证明：当
m
≥2时，有
2(m
2)
n
1
m
1
n
2m)
.
2．设S是非空数集，试给出数
是S的下界
，但不是S的下确界的正面陈述.
3．验证函数
f(x)xsinx,xR
，即无上界又无下界.
4．设
f(x)
是定义在R上的奇函数，
g(x)
是定义在R上的偶函数，试问
f(g(x)),g(f(x))
是奇
函数还是偶函数？
5．证明：
arctanxarccotx
2
sgnx(x0)
.
6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称：
（1）
yax
2
bxc
；（2）
yaxbx
.
7．设A，B为R中的非空数集，且满足下述条件：
（1）对任何
aA,bB
有
ab
；
（2）对任何
0
，存在
xA,yB
，使得
Yx
.
证明：
supAinfB.
（B）
1．设
n
为正整数.
（1）利用二项式展开定理证明：
k
1
n
1k
1
r
1
1
1
1
，其中
是连乘记号.
n
r
0
n
k
1
k!
r
0
n
（2）若
n1
，证明：
n
1
1
2
1
1
3
n
k
1
k!
n
2．设
E
rr
2
7,r为有理数
，求
supE
，
infE
3．设A，B为位于原点右方的非空数集，
AB
xyxA,yB
1
证明：
infABinfAinfB
4．设函数
f
x
定义于
0,
内，试把
f
x
延拓成R上的奇函数，
f
x
分别如下：
（1）
f
x
e
x
； （2）
f
x
lnx
5．试给出函数
yf
x
，
xD
不是单调函数的正面陈述。
6．证明：当
xy1
时，有不等式
arctanx
arctany
arctan
7．设A，B是非空数集，记
SAB
，证明：
（1）
supSmax
supA,supB
；
（2）
infSmin
infA,infB
x
y
1
xy
第二章 数列极限
（A）
1．按定义验证下列极限：
5n
2
n
45
lim
n
2n
2
32
2．设
b
n
1
n
2
1
2
n
，求
limb
n
n
3．若
lim
a
1
a
2
a
n
S
，证明
n
lim
4．设
a
n
由下式定义
1
a
1
2
a
2
na
n
0
n
n
a
n
1
证明
lim
a
n
1
n
3a
n
1
n
1,
a
1
1
a
n
3
5．试问下述论断是否正确，并说明理由：
（1）
lim
1
111
11
lim
lim
lim
n
n
n
nnn
n
n
n
n
n
0000
（2）若
lim
a
n
a
，则
inf
a
n
asup
a
n
n
2
6．设
lim
a
n
A
，求证：
n
lim
1
1kn
aCa
Ca
Ca
n
A
0n1nkn
n
2
n
7．设数列
x
n
满足
0x
m
x
n
，则
lim
n
x
n
x
inf
n
n
n
（B）
1．求
limx
n
，其中
n
1
1
1
（1）
x
n
1
2
1
4
1
2
；
2
2
2
n
（2）
x
n
i
1
n
1
1
2
i
333
2
x
y
n
x
2．设
0x1
，
y
1
，„，
y
n
1
n
2,3,
，求极限
limy
n
n
22
2
3．设
lim
a
n
a
，
limb
n
b
，
ab
，试证存在发散数列
c
n
，满足
a
n
c
n
b
n
n
n
4．设正数数列
x
n
，满足
lim
n
1
0
，则
x
n
必能取到下确界。
x
n
5．设
lim
a
n
a
，
limb
n
b
，试证
n
n
lim
a
1
b
n
a
2
b
n
1
a
n
b
1
ab
n
n
1
n
6．若
lim
a
n
a
，
n
1
2
n
，
i
0
，
i1,2,,n
，
lim
n
n
0
证明
lim
1
a
1
2
a
2
n
a
n
a
n
1
2
n
7．证明：若有界数列满足
2x
n
x
n
1
x
n
1
，则
lim
x
n
x
n
1
0
n
第三章 函数极限
（A）
3
1．试按定义验证：
x
2
1
lim
2
1
x
0
2x
x
1
2．写出函数极限
limf
x
的定义，并按此验证：当
a1
时，
x
x
lima
x
3、求极限
11111
1
lim
.
x
0
xxxxx
x
4、求极限：
lim
3
x
0
1
cosx
2
1
cosx
3
.
5、举例说明下面关于
limf(x)
A
的定义是不正确的：对于任意
0
，存在
0
，使得当
x
a
0xa
时，便有
f(x)A
.
6、证明：
f(x)
11
sin
在
U
(0)
内无界，但
x0
时不是无穷大量。
xx
7、设对任意正整数
n,A
n
是
[0,1]
中某些数的有限集，且当
mn
时
A
n
A
m
○，定义函数
1
n
,x
A
n
(n
1,2,
),
f(x)
0,x
A
k
.
k
1
证明对所有
[0,1]
中的
a
,lim
f
(
x
)0.
x
a
（B）
1、按定义验证：
x
2
11
lim
2
.
x
2x
x
12
2、写出函数极限
limf(x)
的定义，并验证
x
x
0
limlnx
.
x
0
3、求极限：
x
lim
n
(
x
1
)(
x
n
)
x
.
4、求极限：
lim
x
0
x
2
1
xsinx
cosx
4
.
5、证明：
1
（1）
limf
lim
f
(
x
);
x0
x
x
1
（2）
limf
lim
f
(
x
).
x0
x
x
6、设
f(t)
为
tt
0
时的无穷大量，
P(x)
与
Q(x)
是多项式：
P(x)
a
n
x
n
a
n
1
x
n
1
a
1
x
a
0
,
Q(x)
b
m
x
b
m
1
x
则当
tt
0
时，
mm
1
a
n
0,
b
m
0,
b
1
x
b
0
,
a
n
(f(t)
n
,n
m,
P(f(t))
Q(f(t))~
(a
n
b
n
)(f(t))
n
,n
m,
b
m
(f(t))
m
,n
m.
7、设
f(x)~x(x0),a0.
n
2i
1
（1）证明等式
a
2
a;
n
i
1
（2）若
x
n
i
1
n
2i
1
f
2
a
，试证
limx
n
a.
n
n
第四章 函九的连续性
1．讨论函数
y
x
的间断点及其类型.
sinx
2．设（1）函数
f(x)
在点
x
0
连续，但函数
g(x)
在点
x
0
不连续；（2）函数
f(x)
，
g(x)
都在点
x
0
不连续，分别讨论
f(x)
+
g(x)
或
f(x)
·
g(x)
在点
x
0
是否必定不连续？
3．求极限：
a
1
n
b
(a0,b0)
.
lim
n
a
4．求极限：
n
log
a
(x
h)
log
a
(x
h)
2log
a
x
(x
0)
.
h
0
h
2
5．设ΔABC为平面上一个三角形，作平行于
y
轴的直线与三解形相交，证明其中必有一条直
lim
5
线把三角形分成面积相等的两部分.
6．证明：（1）
f(x)cos
（2）
g(x)xcos
1
在区间（0，1）内不一致连续；
x
1
在区间（0，1）内一致连续.
x
x
7．设
f(x)
在
[a,)
上一致连续，
(x)
在
[a,)
上连续，且
lim[f(x)
(x)]0
，证明
(x)
在
[a,)
上一致连续.
（B）
1．讨论函数
y[]
的间断点及其类型.
2．求极限：
1
x
a
lim
x
0
x
1
b
c
a
b
c
x
1x
1
1
x
3．求极限：
1
limtan
n
.
n
4n
4．设
f(x)
在I上连续，证明下述条件互相等价：
f(x
1
)f(x
2
)
x
x
2
（1）对任何
x
1
,x
2
I,f
1
；
≤
2
2
（2）对任何
x
1
,
x
2
I
,
及任何0≤
a
≤1；
f(ax
1
(1a)x
2
)
≤
af(x
1
)(1a)f(x
2
)
.
5．设
f
为
(,)
上的连续函数，对所有
x,f(x)0
，且
lim
f
(
x
)lim
f
(
x
)0
，证明
f(x)
x
x
必能取到最大值.
6. 设
f
在
[a,b]
上连续，
x
0
为任意数.
（1）证明在
f
的图形上有一点离（
x
0
，0）最近，即在
[a,b]
内存在某一
使得点（
x
0
，0）到
曲线上任一点（
z,f(z)
）的距离.
（2）试证用R代替
[a,b]
时上述结论也成立.
7.设函数
f
为
[a,b)
上的连续函数，且无上界.试证：若对任何区间
(
,
)[a,b)
，
f(x)
在
(
,
)
内不能取得最小值，则
f
的值域为区间
[f(a),]
.
6
第五章 导数和微分
（A）
1、求下列函数
f(x)
的导数；
（1）
f
(
x
)
sin(cos
2
x
)
cos(sin
2
x
);
x
2
（2）
f(x)
sin
2
x
sin()
sinx
2、求函数
x
1
,
1
e
x
f(x)
0,
x
0
x
0
在
x0
处的左、右导数，
f在x0
处可导吗？
3 设
sinx,
x0
f(x)
x
c
ax
b,
试求a,b之值，使得
f(x)在xc
处可导
4、判断下列命题的真伪，并说明理由
（1）若
f在点x
0
处可导，且在邻域
U(x
0
)
内
f(x)0
，则
f
(
x
0
)
0
；
（2）若
f为[a,a]
上的偶函数，且
f
(0)
存在，则
f
(0)0
5、求下列函数的
n
阶导数；
(1)f(x)
1
1
（2）
f(x)
x
2
3x
2
1
3x
6、设函数
f(x)在x0
处可微，
且f(0)0
，证明存在x=0处连续的函数
g(x),使得f(x)xg(x)
。
7、设
f(x)sin(marcsinx)
证明
（1）
f(x)
适合方程
(1
x
2
)
f
(
x
)
xf
(
x
)
m
2
f
(
x
)
0
7
（2）求
f
（B）
(n)
(0)
1、求函数
f(x)
的导数
（1）
f(x)
1
1
x(1
x)
22
;
x
（2）
f(x)
sin
x
x
sin()
x
sinx
2、求函数
f(x)lnx
在
x1
处的左、右导数，
f在x0
处可导吗？
3、设
f(x)在x0处连续
，且
x
0
4、设
lim
f(x)
1
，求证
f(x)在x
处可导，又问这时
f
(0)?
x
x
2n
1
som
1
x
f(x)
0
证明：
f
(k)
x
0
x
0
(0)(
k
1,2,
,
n
)
存在，
f
(n)
(
x
)
在x=0处连续，但
f
(n)
(
x
)
在x=0处不可导。
5、试求由参变量方程
x
2t
t
2
y
5t
4tt
所确定的函数
yf(x)在t0
处的切线斜率
6、设
f(x)在(a,)
内可导，试讨论
limlim
（1）
由
x
f
(
x
)
存在是否可有
x
f
(
x
)
存在？
（2）
由
x
f
(
x
)
存在是否有
x
f
(
x
)
存在？
7、设
f
是定义在
(a,b)
内的函数，在其中某一点
x
0
处可导，
x
n
，
y
n
为任意两个数列，满足条
件：
limlim
ax
n
x
0
y
n
b
,
n
1,2
且
n
n
y
n
x
0
，试证
limlim
8
lim
n
f(y
n
)
f(x
n
)
f
(x
0
)
y
n
x
n
第六章 微分中值定理及其应用
（A）
1.设
a1,x0
.证明:
(1x)
a
1ax(x0)
.
2.设函数
f(x)
在
(a,b)
内可导,导函数
f\'(x)
在
(a,b)
内有界,证明:
f
是
(a,b)
内的有界函数.反
之,试问从函数
f(x)
有界是否能得到导函数
f\'(x)
是有界的?
3.证明:函数
f(x)
为
n
次多项式的充要条件为:
f
(n
1)
(x)
0,x
R
4.设
a
2
3
b
0
,证明方程
xaxbxc0
仅有一实根.
5.设
f(x)
在
(a,)
上可导,且
lim
x
a
32
f(x)
lim
x
f(x),
试证:存在
0
,使得
(a,)
,使得
f\'(
)0
.
6.设函数
f(x)
在区间
[0,]
上可导,且
0
f(x)
x
.
2
1
x
7.若函数
f(x)
在
0,1
上二阶可导,且
f(0)0,f(1)1,f\'(0)f\'(1)0
,则存在
x(0,1)
,使
得
f\'\'(x)2.
(B)
1.设函数
f,g
在
R
上可导,且
f\'(x)g\'(x),f(a)g(a)
.证明:当
xa
时,有
f(x)g(x)
;当
xa
时,
有
f(x)g(x)
.
9
2.证明不等式
1
x
2x
e,0
x
1.
1
x
3.设函数
f(x)
在
a,
上连续,当
xa
时,
f\'(x)k0
,其中
k
为常数,又
f(a)0
.证明
f(x)
在
f(a)
a,a
k
内有唯一的实根.
4.设函数
f(x)
在点
x
0
的某一领域内存在四阶导数,且
4.设函数
f(x)
在点
x
0
的某一领域内存在四阶导数,且
f
的任何
x
都有
(4)
(x)M
.证明:对于此领域内异于
x
0
f\'\'(x
0
)
其中
x\'
与
x
关于
x
0
对称.
f(x)
2f(x
0
)
f(x\')
M
2
(xx)
,
0
2
12
(x
x
0
)
5.设函数
f(x)
在
[a,b]
上连续,在
(a,b)
内可导,
f(a)f(b)0
.试证:对任何
aR
,存在
(a,b)
使得
af(
)f\'(
)
.
6.设定义在
(0,a)
内的函数
f(x)
满足条件:
(1)
lim
x
0
f(x)
0;
(2)
kxf(x)kx(k0).
证明:
x
0
limx
f(x)
0
.
min
7.设
f(x)
在
[0,1]
上二阶可导,且
f(0)f(1)0
,
x
[0,1]
f(x)
1,
试证存在
(0,1)
使得
f\'\'(
)8
.
第七章 实数的完备性
（A）
1、试证明：数列
x
n
1n
(
1)
n
只有0和1两个聚点。
22n
1
2、试证：
x
0
为数列
x
n
的聚点的充要条件存在于列
x
n
k
，使得
10
lim
k
x
n
k
x
0
3、试验：若
lim
存在，
y
n
有界，则
n
x
n
lim
k
lim
(x
n
y
n
)
lim
n
n
y
n
4、设
f(x)为[a,b]
上的连续函数，
f(a)0,f(b)0
，证明存在
(a,b),使得f(
)0,且当
xb时f(x)0
5、设函数
f:[a,b][a,b]
，存在
k(0k1)
，对任何
x,y[a,b]
，都有
f(x)f(y)kxy
；
证明：存在的唯一的
x
0
[
a
,
b
],
使得x
0
f
(
x
0
)
6、试用数列的柯西准则证明区间套定理。
（B）
1、 求下列数列的上、下级限：
（1）
arctann
(
1)
n
； （2）
nisn
n
1
2
2、设
f(x)是[a,b]
上的连续函数，有非空零点集合
E
xf(x)0,x[a,b]
试证E的上、下确界都属于E
3、证明，若
x
n
0,
且
lim
n
x
n
lim
n
y
n
，
4、证明：若
x
n
0(n1,2,),
则
lim
n
n
x
n
lim
n
x
n
1
x
n
5、试用有限覆盖定理证明栖西准则。
6、设有界数列
x
n
满足条件
lim
n
(x
n
1
x
n
)
0
若记a,b分别
x
n
的下极限与上极限，则[a,b]中任何数都是
x
n
的聚点。
11
第八章 不定积分
（A）
1．求一曲线，使在其上每一点
x,y
处的切线斜率为
2．求下列不定积分：
（1）
e
2x
2
lnx
，且通过点（1，2）
x
lnx
dx
； （2）
dx
；
x
1
2
x
2
1
dx
x
2
（3）
x
4x2
x
dx
； （4）
1
x
2
；
x
arccosx
1
（5）
e
lnx
dx
； （6）
dx
2
x
1
x
2
（B）
1．设
f
\'
sin
2
xcos
2
x
，求
f
x
2．分析如下推演过程错在何处：
用分部积分法来计算
tanxdx,
有
tanxdx
sinx
dx
sec
xd
cos
x
cosx
xdx
1tan
两边消去
tanxdx
后，得出了-1=0
3．求下列不定积分：
dx
x
2
dx
； （2）
（1）
6
；
x
x
1
x
2
x
1
x
4
（3）
x
3
1
3x
dx
； （4）
sin
lnx
dx
；
（5）
3
sinx
4
sec
； （6）
dx
xdx
3
cosx
4．建立
I
n
x
dx
n
x
1
2
的递推计算公式。
第九章 定积分
12
（A）
1．求
4
4
x
2
2x
3dx
2．通过化为定积分计算
1
2
3
2
2n
1
I
lim
2
2
2
n
2
4
2n
2
3．证明：若f在[0，1]上为一递减函数，则对任给的
a
0,1
，恒有
4．证明：若f在[a,b]上连续，
1
0
f
x
dx
1
a
0
f
x
dx
a
f
x
0
，则必有
f
x
dx0
b
a
5．设f在
,
上为一递减函数，试证
I
n
f
x
sin
2n
1
xdx
0
n
N
6．设f在
,
上可导，
f
x
0
，且满足
x
试求
f
x
的表达式。
2
1
f
x
4
tf
t
dt
3
x
0
7．设f在[0，1]上连续可微，且满足
f
0
0
，
0f
\'
x
1
试证
11
3
fxdx
fxdx
0
0
（B）
2
1．设
y1
，求
1
1
x
ye
x
dx
2．证明：对任何正数p,q，恒有
1
3
2n
1
J
lim
2
4
2n
pp
n
p
q
1
q
p
1
2
p
q
2
p
0
xdx
q
0
xdx
2
q
1
p
1
并求其值。
3．证明：
0
2
2
0
sinx
3
dx
x144
4．证明：若f在[a,b]上可积，
f
x
0
，则必有
13
2
fxdx
0
a
b
5．设f在
,
上为一可微的凸函数，试证
f
x
cos
2n
1
xdx
0
n
N
6．设f在[a,b]上有界，证明：若对任给的
0
，f在
a,b
上可积，则f在[a,b]上亦必可积。
7．设f在[0，1]上存在连续的导数，且满足
试证
（1）
f
x
（2）
1
0
f
x
dx
f
x
dx
0
1
f
x
dx,x
0,1
；
\'
0
1
0
1
1
0
f
x
dx
f
\'
x
dx
第十章测试题
（A）
1、试求由
r3cos
与
r1cos
所围图形的公共部分的面积A（见图10-39）。
2、已知抛物叶形线的方程为
y
2
1
x(3x)
2
，其图形示于图10-40。试求：
9
（1）被此叶形线围住部分A的面积（仍记为A）；
（2）A的边界的周长s；
（3）A绕x轴旋转所得旋转体的表面积S。
3、如图10-41所示的量杯，其表面是由抛物线
y2px
绕y轴旋转而成的旋转曲面，杯内盛
有高h的液体。试问再注入体积为V的液体后，液面将升高多少？
4、设有两个质点，质量为
m
1
与
m
2
，
m
1
位于坐轴
Ox
的原点，
m
2
位于坐标轴上点
A(xa)
。试
求质点
m
2
沿坐标轴自点A移至点B（
xb
）时，克服二质点间引力所做的功（设
0ab
）。
5、对于§3范例1中的水箱，当它装满水时，计算每一椭圆形端面上所受到水的静压力。
（B）
1、试求边界曲线为
xacost,yasintm(acost)
2
14
a0,m0
的平面图形的面积A（曲线形状见图10-42）。
2、极坐标曲线
ra
(1
2
)(
a
0,
)
如图10-43（a）所示。试求该曲线所围最小一叶的面积A（图
中（b）为其放大图）、周长s和它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积S。
x
2
y
2
3、将椭圆
2
1
绕x轴旋转得一旋转曲面，该曲面围成一旋转体。将此旋转体沿x轴方向
ab
穿心打一个孔（见图10-44），使剩下的环形体的体积等于原椭球体积的一半。试求钻孔的半径r。
4、已知油在输没管内流动时，在油管中心处的流速最大，越靠近管壁流速越小。由实验确定，
流速
和考察点偏离管以后距离x之间，有关系：
k(r
2
x
2
)
，
其中k为比例常数（与油的温度、粘滞度、油压等因素有关），r为油管半径。试求油流过油管的流
量（流量=流速
截面积）。
5、把质量为m的物体从地球（其半径为R）表面发射到高度为h的位置，需要花费多大的功？
需要有多大的初始速度？
6、有一以O（0,0）,A（0,1）,B（2,1）为顶点的折线段，已知其任一点处的线密度等于该点到
原点距离的平方。试分别求线段OA、AB和整条折线段OAB的质心坐标。
第十一章测试题
（A）
1、判别下列反常积分的敛散性：
dx
;
（1）
3
(lnlnx)
xlnx
2、讨论
（2）
0
x
dx.
1
x
2
cos
2
x
0
arctanx
dx
的收敛性。
x
xa
lnx
f
dx
lna
0
ax
x
3、证明：
0
xa
1
f
dx
(
a
0).
ax
x
4、设
f
在任何
0,u
上可积。证明：若
x
limf(x)
0,lim
f(x)dx
A
（
n
为正整数），
n
0
n
则
f(x)dx
A.
0
5、设
f,g
在
a,
上连续可微，且
g
在
a,
上有界，
f
(x)0,limf(x)0.
试证反常积分
x
f(x)g
(x)dx
收敛。
a
15
（B）
1、判别下列反常积分的敛散性：
（1）
0
dx
;
sinx
（2）
0
x
2
lnx
dx.
x
4
x
3
1
2、讨论
0
ln(1
x)
dx
的收敛性。
x
2dt1
,
x
y
0
(t
x)(t
y)
xy
3、证明不等式
并随之有：
xy
x
yx
y
(0
yx
)
。
lnx
lny2
4、设
f
在
1,
上连续，
f(x)0
，且
lnf(x)
.
x
lnx
lim
证明：若
1
，则
f(x)dx
收敛。
1
5、设
f
在
a,b
上连续，
b
为瑕点。证明：若
b
a
f(x)dx
收敛，则
f(x)dx
必绝对收敛。
a
2
b
第一章测试题
（A）
2、（1）
xs,x
.
（2）
a
0
,
xS
,
xa
0
.
3、
M,
2k
0
,f
2k
0
2k
0
M
，于是
f(x)
无上界，同理可验证
f(x)
无下界。
2
2
2
a,0n
a
5、
x0
时，设
arcxt
a
2
,0
2
a
,cox
，于是
t
a
ta
a
n
2
2
arccoxt
2
a
，这样
arctanx
arccotx
2
(x0).
同理可证
arctanx
arccotx
6、（1）
x
2
(
x
0).
b
a
.
2
7、由（1）可得
supAinfB
。为了证
supAinfB
，用反证法。若
supAinfB
，设
（2）
x
16
b
;
2a
infBsupA
0
,xA,yB
，使得
yx
0
。
（B）
1、
k
1
n
1111
1
2.
k!1.22.3(n
1)n
2、
supE7,infE7.
3、参见本章§2范例5。
x
e,
4、（1）
F(x)
0,
e
x
,
5、
x
0,
x
0,
x
0;
lnx,x
0,
（2）
F(x)
0,x
0,
ln(
x)x
0.
x
1
,x
2
D,x
1
x
2
,f(x
1
)
f(x
2
);(
不是递减函数
)
x
3
,x
4
D,x
3
x
4
,f(x
3
)
f(x
4
).(
不是递增函数
)
6、设
arctanx,
arctany
，于是
tan(
)
（1）若
xy1,x0,y0
，有
x
y
.
1
xy
x
y
0.0
,
1
xy2
0
于是
0
2
，有
0
，因为
tan(
)0,
x
y
.
1
xy
2
同理讨论下列情况：（2）
xy1,x0,y0;
（3）
xy1,x0,y0;
（4）
xy1,x0,y0.
，这样
arctanx
arctany
arctan
7、（1）若A，B中有一集合无上界，不妨设A无上界，则S也是无上界数集，于是
supA,supS
，结论成立。若A，B都是有上界数集，且
supBsupA
，现设法证明
supSsupA:
（ⅰ）
xS
，无论
xA
或
xB
，有
xsupA;
（ⅱ）
0,x
0
A,x
0
supA
,
于是
x
0
S
,
x
0
supA.
同理可证（2）。
第二章测试题
（A）
2、0．
3、提示 设
S
i
a
1
a
2
a
i
，则有
a
i
S
i
S
i1
,
a
1
2a
2
na
n
S
1
2(S
2
S
1
)
n(S
n
S
n1
)
17
nS
n
(S
1
S
2
S
n1
),
然后可证
lim
(
a
1
2
a
2
na
n
)0.
4、提示 用数学归纳法证：
n,1a
n
1
a
n
，应用单调有界定理，可证
lim
a
n
1.
n
1
n
n
5、（1）错误使用四则运算法则。
（2）利用极限保不等式性证明。
6、由
lima
n
A,
0,
N
1
,k
N
1
时，
a
k
A
n
2
1n
，因为
1
C
n
C
n
2
c
n
2
n
，于是
1
1
a
0
C
n
a
1
C
n
n
a
n
A
n
2
1
1n
a
A
C
(
a
A
)
C
(
a
n
A
)
0n1n
2
n
1C
n
N
1
C
n
n
N
1
n
a
0
A
C
n
a
1
A
C
n
a
N
A
22
n
2
1
1
1
2
2
（当
nN
2
）。
这样
0,Nmax
N
1
,N
2
,nN
时
1
1
a
0
C
n
a
1
C
n
n
a
n
A
.
n
2
x
7、设
a
inf
n
，由确界定义，
0,n
0
,
n
x
n
a
.
n
0
2
0
n,kN
,nkn
0
m
0
,0m
0
n
0
,
x
n
x
kn
m
0
kx
n
x
m
nkn
0
m
0
kn
0
m
0
000
x
m
kn
0
x
n
n
kn
m
kn
m
0
000
0
00
x
m
,
a
2kn
m
00
0
N,nN
时，
x
m
0
kn
0
m
0
2
，于是
18
a
即
x
n
aa
,
n22
lim
n
x
n
a.
n
（B）
1
1
1
1
1
1、提示 （1）
x
n
1
2
1
2
1
2
1
4
1
2
2
2
2
2
2
n
1
1
1
4
1
2
1
2
.
2
2
3
n
1
1
i(i
1)
（2）
1
2
i
.
2
333
2
2、提示 证明
y
n
递增且
y
n
1
，于是可得
limy
n
1
1
x.
n
3、提示 构造在
c
a
b
附近摆动的数列。
2
n
4、提示 取定
x
1
,M0,Mx
1
。因为
lim
1
0
N,
n
N
时
x
n
M
，于是
x
n
in
f
x
n
mi
n
x
1
,
x
2
,
,
x
N
.
5、提示 设
a
n
aa
n
,b
n
b
n
,
n
,
n
为无穷小数列，于是
a
1
b
n
a
2
b
n
1
a
n
b
1
(a
1
)(b
n
)
(a
2
)(b
n
1
)
(a
n
)(b
1
)
nabb(
1
2
n
)a(
1
2
n
)
(
1
n
2
n
1
n
1
).
6、提示
1
a
1
2
a
2
n
a
n
a
1
2
n
1
(a
1
a)
2
(a
2
a)
n
(a
n
a)
.
1
2
n
00
7、可证
x
n
为递减数列，不然的话，
n
0
，使得
x
n
x
n
1
。由
2x
n
x
n
1
x
n
1
，有
19
x
n1
x
n
x
n
x
n1
，于是
x
n
1
x
n
x
n
x
n
1
,
0000
x
n
2
x
n
1
x
n
1
x
n
x
n
x
n
1
,
000000
„„„„
x
n
k
x
n
k
1
x
n
x
n
1
.
0000
把以上诸式相加，有
x
n
k
k(x
n
x
n
1
)x
n
.
0000
因为
x
n
x
n
1
0
，当
k
时，
x
n
k
可大于任何正数
M0
，与
x
n
为有界数列矛盾。由单调有
000
界定理，
lim
x
n
a
，于是
n
lim(x
n
x
n
1
)
0.
n
第三章测试题
（A）
1、提示
1
x
x
2
1
1
x,
2x
2
x
1
2x
2
x
1
若取
0x
1
x
1
2.
，可以估计
2
2x
x
1
4
2、提示
G0,M0
，当
xM
时，
f(x)G.
3、1．
1
4、
6
.
2
5、提示 以
limsin
x0
11
为例说明符合题中的说法，但
limsin
不存在。
x0
xx
1
6、
M0,
x
n
o
2
，使得
11
sin
M.
x
x
1
0,
0,
x
111
U
(0;
),sin
0
1.
2n
0
x
x
x
a
7、
a(0,1)
，可以仿照对黎曼函数
R(x),limR(x)0
的证明，
0
，说明使得
f(x)
的
x
的值至多只有有限个，记为
x
1
,
x
2
,
,
x
n
(
a
),0
a
1
，取
min
x
1
a
,
x
2
a
,,
x
n
a
,
a
,1
a
,
20
于是当
0xa
时，
f(x)
。
（B）
x
2
11x
1
1、提示
,
2x
2
x
122x
2
x
1
取
x4
时，可得
x
12x
2x
1
.
2x
2
x
1
2x
2
x
1x
2
x
2、提示
G0,
0
，当
0x
时，
lnxG.
3、
1
2
n
n
4
3
.
4、
.
1
1
1
limf
A,
0,
0y
x0
5、提示 （1）若
，当时，
f
A
，设于
x
0
x
x
x
是当
y
1
时，
f(y)A
.
6、提示 若
nm
时，证明：
lim
t
t
0
P(f(t))
Q(f(t))
1.
n
a
n
(f(t))
2i
1
7、（1）
2
n
i
1
n
n
2
i
n
i
1
n
n
2
n(n
1)
n
1.
2
n
2i
1
n
2i
1
（2）
x
n
a
f
2
a
2
a
n
i
1
n
i
1
f
i
1
n
2i
1
2i
1
a
2
a
2
nn
2i
1
f
2
a
n
2i
1
n
1.
2
a
2i
1
n
i
1
a
n
2
因为
f(x)~x(x0),
0,N,nN,1iN,
2i
1
f
2
a
n
1
,
2i
1
a
n
2
21
于是
x
n
a
2i
1
a
a.
2
n
i
1
第四章测试题
1、
x0
为可去间断点；
xk
(k1,2,)
为第二类间断点。
n
2、（1）可用反证法证明
f(x)g(x)
在点
x
0
不连续。但
f(x)g(x)
可能在点
x
0
处连续，例
1
sin
x
,x
0,
f(x)
x,g(x)
x
0
0.
0,x
0,
（2）都无法断定
f(x)g(x)
和
f(x)g(x)
的不连续性，例如
1,x
0,
f(x)
1,x
0,
1,
g(x)
1,
a
b
1
x
0,
x
0,
x
0
0.
n
n
b
1
n
b
1
3、提示
lim1
lim
1
n
n
a
a
n
n
n
b
1
a
4、提示
limlog
a
h
0
x
h
2
x
22
h
limlog
a
1
x
2
h
0
1
h
2
2
x
2
2
h
1
2
x
1
log
a
e.
x
2
5、提示 若
x
a,b
时，过（
x,0
）作平行于y轴的直线与
ABC
相交，
ABC
中位于此直线
左面那部分面积记为
F(x)
，于是有
F(a)0,F(b)S
，S为
ABC
的面积。设法证明
F(x)
是
x
的连
续函数，利用介值定理可以证明本题。
6、提示 （1）利用不一致连续的正面陈述来证明；（2）
limxcos
x
0
1
0.
x
7、提示 由
lim
f(x)
(x)
0
，可得
f(x)
(x)
在
a,
上一致连续。
x
（B）
1、
x0
为第二类间断点；
x
(
n
1,2,
)
为跳跃间断点。
1
n
a
b
c
2、提示
lim
x
0
a
b
c
x
x
1x
1x
1
xx
1
x
1
x
a(a
1)
b(b
1)
c(c
1)
1
lim
x
0
a
b
c
e
lna
a
b
b
c
c
a
b
c
.
22
1
2tan
1
n
n
e
2
.
1
3、提示
limtan
lim
n
1
4n
n
1
tan
n
4、提示
(1)(2)
。先设
a
n
k
,1
k
2
m
，用数学归纳法证明
m
2
kx
1
(2
m
k)x
2
kf(x
1
)
(2
m
k)f(x
2
)
f
.
mm
2
m
22
对任意
0a1
，可设取
a
i
k
i
,lim
a
i
a
，然后用连续性得证。
2
m
i
i
5、提示 由题设
f(0)0
，取
f(0)
，由
limf(x)
0,
X0
，当
xX
时，
f(x)
。然
x
后在
X,X
上应用连续函数最大、最小值定理。
6、提示 （1）讨论
F(x)
（2）
limF(x)limF(x)
。
f
2
(x)(xx
0
)
2
在
a,b
上的最小值。
x
x
7、提示 设法证
f(x)
在
a,b
上递增，不然的话，
ax
1
x
2
x
3
,f(x
1
)f(x
2
),f(x
2
)f(x
3
)
.
在
(
x
1
,
x
3
)
上函数
f
可以取到最小值，与所设矛盾。
第五章测试题
（A）
2、
f
(0)0,f
(0)1.
3、
acosc,bsincccosc.
4、（1）否； （2）是。
6、提示 当
x0
，设
g(x)
f(x)
，有
x
x
0,
x
0.
f(x)
x
,
g(x)
f
(0),
7、解 （1）
f(x)sin(marcsinx),
f
(x)
cos(marcsinx)
m
1
x
2
,
m
2
x
f
(x)
sin(marcsinx)
mcs(marcsinx)
.
23
1
x
2
(1
x)
23
x
22
(1
x)f(x)
msin(marcsinx)
mcos(marcsinx),
2
1
x
cos(marcsinx)mx
xf(x)
,
2
1
x
m
2
f(x)
m
2
sin(marcsinx).
上面三式相加，有
(1
x
2
)
f
(
x
)
xf
(
x
)
m
2
f
(
x
)
0.
（2）把上面方程两边求
n
阶导数，应用莱布尼茨公式后有
f
(n
2)
(x)(1
x
2
)
nf
(n
1)
(x)(
2x)
n(n
1)
(n)
f(x)(
2)
2
f
(n
1)
(x)
x
nf
(n)
(x)
m
2
f
(n)
(x)
0,
化简后得
(1
x
2
)f
(n
2)
(x)
(1
2n)xf
(n
1)
(x)
(m
2
n
2
)f
(n)
(x)
0.
用
x0
代入上面方程有
f
(n
2)
(0)(n
2
m
2
)f
(n)
(0).
因
f
(0)0
，由上式有
f
(2k)
(0)0
。因
f
(0)m
，由上式有
f
(3)
(0)
(1
2
m
2
)
m
,
f
(5)
(0)
(3
2
m
2
)(1
2
m
2
)
m
,
,
f
(2k
1)
(0)
(
1)
k
m(m
2
1
2
)(m
2
3
2
)
(m
2
(2k
1)
2
).
（B）
2、
f
(1)1,
f
(1)1.
3、提示 先证
f(0)0.
5、提示 由定义出发可求得
t0
处切线斜率为零。
sinx
2
.
6、（1）否，考虑函数
f(x)
x
（2）否，考虑函数
f(x)cos(lnx).
7、提示 利用不等式估计：
f(y
n
)
f(x
n
)
f
(x
0
)
y
n
x
n
x
0
x
n
f(x
0
)
f(x
n
)
y
n
x
0
f(y
n
)
f(x
0
)
f(x)
f
(
x
)
0
0
y
n
x
n
y
n
x
o
x
0
x
n
y
n
x
n
y
n
x
0
f(y
n
)
f(x
0
)x
xf(x
0
)
f(x
n
)
f
(x
0
)
0n
f
(x
0
).
y
n
x
n
y
n
x
0
y
n
x
n
x
0
x
n
24
第六章测试题
（A）
2、提示 固定
x
0
a
b
,x(a,b),xx
0
，对
f
(
x
)
f
(
x
0
)
应用拉格朗日中值定理。反之不然，
2
考虑
f(x)xsin
,
x
(0,1).
3、提示 应用泰勒公式。
4、提示 利用条件
a
2
3
b
0
，讨论
f
(x)
的符号。
1
x
5、提示 [证法一]作代换
x
a
tant,t
0,
，然后应用罗尔中值定理。[证法二]用反证法，
2
利用导数极限定理，有
f
(x)0
或
f
(x)0,x(a,).
6、提示 作辅助函数
F(x)
x
f(x)
然后应用第5题的结论。
2
1
x
7、解
x(0,1)
，把
f(x)
在0,1两点处分别泰勒展开到二阶余项，有
f
(
1
)
2
x,
2!
0
1
x
2
1,
f(
2
)
2
f(x)
f(1)
f
(1)(x
1)
x,
2!
上面两式相减后有
f
(
1
)
2
f
(
2
)
1
x
(
x
1)
2
.
2!2!
f(x)
f(0)
f
(0)(x
0)
用反证法，若
x(0,1),f
(x)2
，则
1
f
(
1
)
2
f
(
2
)
x
(x
1)
2
x
2
(1
x)
2
22!
2
1
1
2
x
2
4
11
2
44
1,
产生矛盾。于是
(0,1),f
(
)2.
（B）
1、提示 设
F(x)f(x)g(x)
，在
[a,x]
或
[x,a]
上对
F(x)
应用拉格朗日中值定理。
2、提示 设法证明
ln
3、提示 在
a,a
1
x
2x
，不妨把
ln(1x),ln(1x)
泰勒展开到二阶余项。
1
x
f(a)
上应用拉格朗日中值定理。
k
25
4、提示 把
f(x)
和
f(x
)
展开成带有四阶余项的泰勒公式。
5、提示 作辅助函数
F
(
x
)
f
(
x
)
e
ax
，然后在
[a,b]
上应用罗尔中值定理。
6、提示
x
f(x)
e
f(x)lnx
,f(x)lnx
kxlnx.
7、解 设
f(x)
在
处取到
f(x)
的最小值-1，即
0
1,f(
)1
，由费马定理，
f
(
)0
。
把
f(0),f(1)
在点
处泰勒展开到二阶余项，有
0
f(0)
f(
)
f
(
)(
)
f
(
1
)
2
2!
,
0
1
,
0
f(1)
f(
)
f
(
)(1
)
f
(
))
2
1,
2
(1
(1
)
2
2!
,
于是有
1
f
(
1
)
2
f
(
2
(1
2!
,
1
))
2!
(1
)
2
.
若
1
2
，取
2
1
,
f
(
)
2
8;
若
1
2
,1
1
2
，取
2
2
(1
),
f
(
)
(1
)
2
8.
第七章测试题
（A）
3、证 由命题
4
公式（3.4），有
lim
n
(x
n
y
n
)
lim
n
x
n
lim
n
y
n
.
由上极限性质，
子列
y
n
k
y
n
,lim
k
y
n
k
lim
n
y
n
，因为
lim
k
(
x
n
k
y
n
k
)lim
k
x
n
k
lim
k
y
n
k
l
n
i
mx
n
l
n
i
my
n
,
所以
lim
n
x
n
lim
n
y
n
是
x
n
y
n
的聚点。
因为
lim
n
(
x
n
y
n
)
是
x
n
y
n
的最大聚点，所以
lim
n
x
n
lim
n
y
n
lim
n
(x
n
y
n
),
于是有
lim
n
(x
n
y
n
)
lim
n
x
n
lim
n
y
n
.
4、提示 设
E
xx
a,b
,y
a,b
,f(y)0
，验证
infE.
5、提示 若
[a
n
,b
n
]
为区间套，试证
a
n
为柯西列，即有
lim
n
a
n
.
6、提示 任取
x
1
[a,b]
，定义
x
2
f(x
1
),
,x
n
1
f(x
n
)(n
2,3,
)
，
26
于是
x
n
1
x
n
f(x
n
)
f(x
n
1
)
kx
n
x
n
1
k
2
x
n
1
x
n
2
k
n
1
x
2
x
1
，设法证
x
n
是柯西列。
（B）
2、提示 用反证法，若
supEE
，则
f(
)0
，再利用连续函数的局部保号性推出矛盾。
3、提示 先证当
y
n
0
时
lim(
x
n
y
n
)lim
x
n
lim
y
n
，对一般的
y
n
,a
，使得
y
n
a0.
n
n
n
4、提示 设
lim
n
x
n
1
a
，由上极限性质，
0,N,kN
x
n
时，
x
k
1
a
,(k
N,N
1,
,n
1)
，把这
nN
个不等式相乘后可得
x
k
x
N
1
x
N
2
x
n
N
n
a
,
x
N
x
N
1
x
n
1
再设法证
lim
n
a
n
a
.
n
5、提示 若
x
n
满足柯西准则，于是
x
n
为有界数列，设
x
n
[a,b]
。用反证法，倘若
x[a,b],x
都不是
x
n
的极限，则
0
0,N,nN
，使得
x
n
x
0
。由柯西准则条件可推得
在
U
x;
0
内仅含有
x
n
的有限项，再利用有限覆盖定理推出矛盾。
2
6、提示 不妨设
ab
,
(
a
,
b
),
0
0
，使得
U
(
a
;
0
),
U
(
,
0
),
U
(
b
;
0
)
互不相交。因为
lim(x
n
1
x
n
)
0,
对
0
0,
N,nN
时
n
x
n
1
x
n
2
0
.
由上、下极限性质
n
1
,n
2
,Nn
1
n
2
,x
n
U(a;
0
),x
n
U(b;
0
)
，于是可在满足
n
1
nn
2
的
n
中选
12
择
n
1
，使得
x
n
U
(
;
0
).
1
第八章测试题
（A）
1
(ln
x
)
2
2.
2
1
2、（1）
e
2x
C;
4
1、
y
2
1(x
1)
2
1
C
;
（2）
ln
2
4x
12(x
1)
27
1
(x1)4x2;
6
1
（4）
1
x
2
C
;
x
（3）
（5）
e
x
lnxC;
（6）
21
x
2
2
x
arccos
x
1
x
2
(arccos
x
)
2
C
.
提示 （2）
11
11x
22
.
(x
1)
2
(x
2
1)2
x
1(x
1)
x
1
（3）化为
1(4x
2)
2
dx.
4
4x
2
（5）分拆成两个不定积分，对其中一个作分部积分，便可消去另一个。
（6）化为
(arccos
x
)
2
d
(1
x
2
).
（B）
x
2
C.
1、
f(x)x
2
2、推演至
tanxdx1
tanxdx
并无错误；但因
tanxdx
不是一个确定的函九，而是带
有任意常数C的一族函数，故等式前后这两个
tanxdx
若分别记为
tanxdx(
前者
)
F(x)
C,
tanxdx(
后者
)
F(x)
C,
1
2
则所得结果只是表示
C
1
1C
2
，不会产生矛盾。
1x
3
C;
3、（1）
arctan
62
（2）
ln
x22x
1
arctan
C
;
x
1
33
52
11
3
（3）
(13x)
(1
3
x
)
3
C
;
156
x
（4）
(sin(ln
x
)cos(ln
x
))
C
;
2
（5）
3x
1
arctan
tan
ln(3cos
x
)
C
;
2
2
2
（6）
tan
3
x
tan
xC
.
提示 （2）
1
3
1111
.
x
(
x
1)(
x
2
x
1)
xx
1
x
2
x
1
28
（5）化为
4、解：
3sinx
dx
3
cosx
3
cosx
dx
，分别计算两个不定积分较为方便。
dx
x
n
x
2
1
1
d(x
2
1)
n
1
x
I
n
x
2
11x
2
1
(n
1)
n
2
dx
n
1
2
xx
x
1
x
2
1
(n
1)(I
n
I
n
2
),
x
n
1
由此解出递推公式：
I
n
2
初值为
2
1
x
1
nI
n
,n
N.
n
1
n
2
x
I
0
dx
x
2
1
dx
ln
x
x
2
1
C
,
1
x
2
1
I
1
ln
C
.
2
x
xx
1
第九章测试题
（A）
1、解
4
4
x
2x
3dx
(x
3)(x
1)dx
2
4
34
11
4
1
4
(x
2
2x
3)dx
(x
2
2x
3)dx
(x
2
2x
3)dx
1
64
19
40.
27
11
3
3
2
1
2
3
2
2n
1
2
nnnn
2、解
I
lim
2
n
2
2
4
2
2n
2
n
n
n
n
2i
1
2
lim
n
n
n
i
1
n
2
2i
2
lim
n
i
1
n
n
n
2
2
0
x
2
dx
2
0
x
2
dx
1.
3、提示 把所证的不等式变形为
29
1
1
1
a
f(x)dx
f(x)dx,
a
1
aa
0
再利用
f
为递减函数。
4、提示 由条件知道
f(x)
在
[a,b]
上恒为正或恒为负（否则，由连续函数具有介值性，
f
必有
零点，与
f(x)0
矛盾）。设
f(x)0
，则容易证得
f(x)dx0.
a
b
5、提示 由积分第二中值定理，
[
,
]
，使
I
n
f
(
)
sin(2
n
1)
xdxf
(
)
sin(2
n
1)
xdx
f(
)f(
)
cos2(n
1)x
cos2(n
1)x
2n
12n
1
1
(
f
(
)
f
(
))
1
cos2(
n
1)
.
2n
1
6、解 对等式两边求导数，得到
2xf(x)(x
2
1)f
(x)4xf(x),
经整理又得
f
(x)2x
2
.
f(x)x
1
对此式两边求变限积分
得出
x
0
x
f
(t)2t
dt
2
dt,
0
t
1f(t)
f(x)
ln(
x
2
1).
f(0)
以
x0
代入条件式，得到
f(0)3.
于是求得
ln
f
(
x
)
f
(0)(
x
2
1)
3(
x
2
1).
7、提示 作辅助函数
tt
3
F(t)
f(x)dx
0
0
(f(x))dx,t
[0,1],
由于
F(0)0
，因此只需证明
F(t)
递增。
2
（B）
1、提示
1
1
x
ye
x
dx
(y
x)e
x
dx
(x
y)e
x
dx
1y
y1
2
e
y
ey
(
y
2)
e
1
.
2、证 类似于上面（A）卷第2题，有
ppp
1
3
2n
1
2
nnnn
2
p
q
J
lim
p
1
n
qqq
2
4
2n
2
n
n
n
n
q
1
30
p
q
2
p
n
2i
1
2
lim
n
nn
i
1
p
1
q
n
2i
2
lim
n
nn
i
1
q
1
q
1
2
p
0
xdx
p
1
p
q
p
q
(q
1)
2
2
.
p
1
q
1
2
(p
1)
q
0
xdx
x
3
sinxx,x
0,
，可分别证得： 3、提示 利用不等式
x
3!
2
2
0
sinx
dx
;
x2
说明 若记
2
0
sinx
3
dx
.
x2144
sinx
,x
0,
,
x
2
f(x)
1,x
0,
sinx
则
f
在
0,
上连续。上面的
2
dx
应理解为
2
f(x)dx.
0
0
x
2
4、提示 利用本章总练习题第10题。
5、提示 由条件可知
f
(x)
在
,
上必为一递增函数，借助分部积分法，并利用（A）卷第
5题。
6、证 设
f(x)M,x[a,b].
0
，取
4M
2
，则
f
在
b
,b
上的振幅
0
2M
，且有
0
.
[a,b
]
，据可积充要条件，
T
1
[a,b
]
，使得 又由
f
x
ii
.
(T
i
)
2
把
T
1
与
[b
,b]
合并而成
T[a,b]
，则因
x
x
,
iiii0
(T)(T
1
)
可知
f[a,b]
。
31
7、证 由
1
0
f(x)dx
f(x)dx
可知
f(x)
在
[0,1]
上变号，故
c(0,1)
，使
f(c)0
。于是有
0
1
f(x)
f(x)
f(c)
并得
0
x
c
f
(t)dt
f
(x)dx;
0
1
f(x)dx
f
(dx)dx.
0
11
第十章测试题
（A）
1、提示 圆
r3cos
与心形线
r1cos
的交点在
13
2
3
83
2、解 （1）
A
(3x
2
x
2
)dx
.
3
0
5
3
处。所求面积为
A
5
.
4
1
1
1
2
（2）
ds1y
dx
(
xx
2
)
dx
,
2
2
s
3
1
2
(x
0
3
1
2
x)dx
43.
1
2
11
1
3
1
（3）
S
2
(
xx
2
)
(
x
2
x
2
)
dx
0
32
(3
2x
x)dx
3
.
3
2
0
5
5
3
3、提示 升高的高度
h
20p
2
V
h
，可由
V
h
h
y
2
.
xdy
求得，其中
x
2p
2
11
4、
W
km
1
m
2
.
ab
5、提示
F
2v
b
a
3
222
。以
(x
a)a
xdx
vab
a
,
b
1,
v
9.8
代入，得到
a
a4
F17.3210
3
(N).
（B）
1、提示 由
x(0)x(2
),y(0)y(2
)
，可求得
A
y(t)x
(t)dt
a
2
.
0
2
此结果说明所求面积与
m
无关，即图10-42中
m0
时的各种图形面积都与
m0
时的圆面积相同。
另外，本题也可用公式
1
A
2
2
0
dx
dy
x
y
dt
dt
dt
来计算。
2、解 取
在
[1,1]
上的值，以绘出曲线所围成的最小一叶。其面积为
A
1
1
1
2222
r
(
)
d
a
(1
)
d
0
2
1
32
8a
2
a
(1
2
)d
.
0
15
2
1
24
此叶曲线的周长为
s
1
1
r
2
r
2
d
a
(1
2
)d
1
1
8
a.
3
11
此叶曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积为
S
2
yds
2
rsin
r
2
r
2
d
00
2
a
2
(1
4
)sin
d
0
1
4
2
a
2
1
cos1
sin
d
,
1
0
其中
44321
sin
d
cos
4
sin
12
cos
24
sin
24cos
0
1
0
2413cos120sin1,
这就得到
S
2
a
2
(12cos1
20sin1
23)
1.967a
2
.
3、解 易知旋转椭球体的体积为
V
0
4
2
ab
。由图10-44及椭圆方程，可求得
3
a
22
cbr.
b
于是环形体的体积为
V
1
y
2
dx
2
r
2
c
c
c
2
b
2
2
a
c
0
(a
2
x
2
)dx
2
r
2
c
22
b
2
c
2
2
c
b
r
3a
2
b
2
c
2
b
2
c
2
2
c
a
2
3a
2
4
b
2
c
3
.
3a
2
利用
V
1
V
0
，得到
c
3
1
2
1
3
a
，并有
2
b
2
2
r
2
(ac
2
)
a
2
33
3
2
,
b
1
2
2
3
rb
1
2
2
8.
0.60b
4、解
dQ
dA
，取
dA2
xdx
，得到
r
1
Q
2k
x(r
2
x
2
)dx
k
r
4
.
0
2
5、提示 根据§范例3的结论，在距地心
x(R)
处物体所受地球引力为
F
kmM
.
2
x
由于在地面上
(xR)Fmg
，代入上式后求得
kMgR
2
，因此又有
mgR
2
F.
2
x
于是可得所求的功为
W
Fdx
R
R
h
mgRh
;
R
h
再由机械能守恒定律又可求得初速度为
0
2gRh
.
R
h
说明 特别当质量
m
无限远离地球时，即
g
时，
0
的极限为
29.816.37110
6
11.2(km/s).
6、解 （1）对于线段OA，有
11
11
M
1
y
2
dy
,M
x1
y
3
dy
,
00
34
M
y1
0,y
C1
M
x1
3
,x
C1
0,
M
1
4
3
质心为
(x
C1
,y
C1
)
0,
.
4
（2）对于线段AB，有
2
1414
M
2
(x
1)dx
,M
x2
1
(x
2
1)dx
,
00
33
2
2
2
M
y2
x(x
2
1)dx
6,x
C2
0
M
y2
9
,y
C2
1,
M
2
7
34
9
质心为
(x
C2
,y
C2
)
,1
.
7
（3）对于折线段OAB，有
M
M
1
M
2
5,Mx
M
x1
M
x2
M
y
M
y1
M
y2
59
,
12
M
6M59
6,x
C
y
,y
C
x
,
M5M60
659
质心为
(x
C
,y
C
)
,
.
560
第十一章测试题
（A）
1、提示 （1）从定义出发，可验证得结论：当
n1
时收敛，
n1
时发散。
（2）发散。先用比较法则验证
2、解 考察
1
x
dx
为发散。
22
1
xcosx
I(n)
由于
0
1
arctanx
arctanxarctanx
dx
dx
0
x
n
1
x
n
dx,
x
n
limx
n
1
x
0
arctanxarctanx
lim
1,
n
x
0
xx
因此当
n11
，即
n2
时，
arctanx
0
x
n
dx
收敛；而当
n2
时，它为发散。又因
arctanx
limx
n
,
x
x
n
2
1
故当
n1
时，
arctanx
1
x
n
dx
收敛；而当
n1
时，它为发散。
综上，当且仅当
1n2
时，
I(n)
收敛。
xa
3、证 作变换
后，作为
ay
xa
lny
I
f
dx
0
ax
x
0
ay
lna
2
lny
a
2
f
2
y
a
y
2
dy
a
2lna
0
xa
1
f
dyI,
ax
y
xa
1
I
lnaf
dx
.
因此
0
ax
x
4、证
0
，由条件，
NN
和
Xa
，使得
35
由
nN
时，
a
f(x)
dx
A
2
;
2
.
n
当
xX
时，
f
(
x
)
不妨设
NX
，则当
Nnun1
时，有
f(x)dx
A
a
uu
a
f(x)dx
f(x)dx
f(x)dx
A
aa
nn
这就证得
u
n
f(x)dx
(
un
)
2
2
2
.
a
f(x)dx
lim
f(x)dx
A.
u
a
u
5、证 因
f
(x)0,limf(x)0
，故
f(x)
在
a,
上递增，
f(x)0
；且
0,Xa
，当
x
x
2
x
1
x
时，有
f(x
2
)
f(x
1
)
f(x
2
)
f(x
1
)
2M
,
其中M是满足
g(x)M,x
a,
的正数。于是对任何
A
2
A
1
X
，有
A
2
A
1
f(x)g
(x)dx
f(A
2
)g(A
2
)
f(A
1
)g(A
1
)
f
(x)g(x)dx
A
1
A
2
M
f(A
2
)
f(A
1
)
M
2M
f(A
2
)f(A
1
)
2M
这说明
A
2
A
1
f
(x)dx
2M
.
f(x)g
(x)dx
满足收敛的柯西准则条件，故它是收敛的。
a
（B）
1、提示 （1）收敛。注意0与
都是瑕点。设
I
可证
I
1
I
2
，且
I
1
收敛。
0
dxdxdx
2
I
1
I
2
,
0
sinxsinxsinx
2
（2）收敛。由于
lim
x
2
ln
x
0
，因此该反常积分只是无穷积分（
x0
不是瑕点）。
x
0
2、解 把此反常积分记为
I(n)
0
1
ln(
ln(ln(1
x)1
x)1
x)
dx
dx
0
x
n
1
x
n
dx
x
n
I
1
(n)I
2
(n).
36
由于
limx
n
1
x
0
ln(1
x)ln(1
x)
lim
1,
x
0
x
n
x
故当
n11
，即
n2
时，
I
1
(
n
)
收敛；
n2
时它为发散。又由
x
limx
n
ln(1
x)ln(1
x)
lim
0(
0),
x
x
n
x
可见当
n12
1
时
(
n
n
2
1),
I
2
(
n
)
收敛；而当
n1
时，则因
ln(1
x)ln(1
x)1
x
n
xx
可见
I
2
(
n
)
发散。
综上，当且仅当
1n2
时，
I(n)
收敛。
3、提示 由
xy
(x
e
1),
x
y
与
2xyx
2
y
2
，可得
2
x
y
t
xy
(t
x)(t
y)
t
.
2
2
2
由此可证得第一个不等式。再由
0
dt1
11
dt
(t
x)(t
y)x
y
0
t
yt
x
1t
y
ln
x
yt
x
lnx
lny
,
x
y
0
1
y
0
ln
x
y
x
又可证得第二个不等式。
4、证 由极限定义，
0,X1
，当
xX
时，
lnf(x)
,
lnx
并由此得到
f(x)
设
1
(
0)
，特别当取
0
1
x
.
2
0
时，相应地存在
X
0
1
，当
xX
0
时，有
f(x)
1
x
1
/2
.
而
dx
x
1
/2
1
收敛，故当
1
时
f(x)dx
也收敛。
1
37
5、提示 由于
时的极限存在，即
习题选解
u
a
b
因此只要能证明它有上界，则当
ub
f(x)dx
关于
u
在
a,b
上是单调递增的，
a
f(x)dx
收敛。
第一章 实数集与函数
§1 实数
6．设a、b、c
R
（
R
表示全体正实数集合）.证明：
a
2
b
2
a
2
c
2
bc
.
你能说明此不等式的几何意义吗？
证 利用根式有理化的方法，有
a
2
b
2
a
2
c
2
≤
b
cb
c
a
b
a
c
2222
b
c
a
b
a
c
2222
|
b
c
|
≤
bc
.
关于不等式的几何意义请读者通过画图自行解答.
8．设p为正整数.证明：若p不是完全平方数，则
P
是无理数.
证 用反证法.假若
P
是有理数，设
u
,u,v
为正整数，互质，且
v0
，
v
u
2
于是有
P
=
2
.
v
P
=
22
2
一方面，p为非平方数，故
v1
.另一方面，因
u与v
互质，故意
u与v
也互质；但由
u
2
pv
2
,v
2
为u
2
的一个整数因子，故必有
v
2
1
，矛盾.由此可见
P
为无理数.
§2 数集·确界原理
8．设a>0,a≠1,x为有理数，证明：
38
r
supar
为有理数
,r
x,
当
a
1,
a
x
r
infar
为有理数
,r
x,
当
a
1.
证 首先把要证的结论用确界的定义确切地写出来.不妨设a>1，需证：
（i）
rx
，r为有理数，
a
r
a
x
；
（ii）
a
x
,有理数r,rx,使得
a
r
a
x
.
因为r,x都是有理数，由有理数指数性质可得（i）.再证（ii），因为
0
a
x
，所以
log
a
x
，
由有理数的稠密性，
有理数r，
log
a
rx
，于是
a
r
a
x
.
同理可证0 §3 函数概念 12．证明关于函数 y[x] 的如下不等式： 1 （1）当x>0时， 1 x x 1 ； x 1 （2）当x<0时， 1 x 1 x . x 证 （1）当x>0时， 1 1 1 1 1 ，即 1 x x 1 . x x x x （2）当x<0时， 1 1 1 1 1 ，因为x<0，所以 1 x 1 x . x x x x §4 具有某些特性的函数 11．证明： f(x)xsinx 在R上严格递增. 证 设 x 1 ,x 2 R,x 2 x 1 ， f(x 2 )f(x 1 )x 2 x 1 sinx 2 sinx 1 x 2 x 1 x x 1 sin 2 22 x x 1 ≥ x 2 x 1 2sin 2 2 x 2 x 1 2cos x 2 x 1 ( x 2 x 1 ) 0 ， 39 其中应用了不等式 sinxx,(x0) . 12．设定义在 [a,) 上的函数 f 在任何闭区间[a,b]上有界，定义 [a,) 上的函数： m(x) inff(y),M(x) supf(y) . a y x a y x 试讨论 m(x) 与 M(x) 的图像，其中 （1） f(x)cosx,x[0,) ；（2） f(x)x 2 ,x[1,) cosx,0 x , 答 （1） m(x) = x ; 1, M(x) 1,0x . x 2 , 1 x 0, （2） m(x) = 0,0 x ; 1, 1 x 1, M(x) = 2 x,1 x . 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 4．证明：若 lima n a ，则对任一正整数k，有 lima n k a . n n 提示 由 lim a n a 可知： 0,N 1 , 当 nN 1 时， a n a .需证： 0,N, 当 nN 时， n a n k a . 7．证明：若 lima n a ，则 lim|a n | |a| .当且仅当a为何值时反之亦成立. n n 证 若 lim a n a ，则 0,N, 当 nN 时， a n a .由不等式 a n a a n a ，可知 n lim|a n | |a| . n 可证当且仅当a=0时由 lim|a n ||a| 可推得 lim a n a . n n 先证若a=0，且 lim a n 0 ，则 0,N, 当 nN 时， a n 0a n 0 ，于是 lima n 0 . n n a n a ，则必有a=0.不然的话，若a≠0，令 a n (1) n a ，则 若由 lim|a n ||a| 可得 lim n n lim|a n | |a| ，但是 lim(1) n a 不存在. n n 40 §2 收敛数列的性质 5．设 a n 与 b n 中一个是收敛数列，另一个是发散数列.证明 a n b n 是发散数列.又问 a n b n 和 a n （ b n 0 ）是否必为发散数列. b n 证 设 a n 是收敛数列， b n 是发散数列.用反证法，假若 a n b n 是收敛数列.设 a n b n c n ， 则 b n ( c n a n ) ，由四则运算性质可知 b n 也是收敛数列，与所设矛盾，于是 a n b n 是发散数 列. 在题设条件下， a n b n 未必是发散数列，可以考虑反例： a n 9．设 a 1 , a 2 , , a m 为 m 个正数，证明： nn lim n a 1 n a 2 a m = max a 1 ,a 1 , ,a m . n 1 , b n n . n 证 设 a max a 1 ,a 1 , ,a m ，有 nn a n a n n a 1 n a 2 a m n ma n n m a ， 令 n ，利用极限 lim n m 1 ，由迫敛性可得 n nn lim n a 1 n a 2 a m a . n §3 数列极限存在的条件 8．证明：若 a n 为递增（递减）有界数列，则 lim a n sup a n (inf a n ) . n 又问逆命题成立否？ 证1 不妨设 a n 为递增有界数列.由确界原理，存在 sup a n ，由确界定义， 0,a n , a n ，由 a n 的递增性，当 nn 0 时， a n a n .由此可见： 000 0,n 0 ，当 nn 0 时， a n ，即 lima n sup a n . n 41 反之不然，反例： a n 1 n 1 (1 ( 1) n ) . 2n 例2 设 lim a n a ，由 a n ，由保不等式性质有 a n ，设法证明 a n 是不可能的（请读 者补充证明）. 12．设 a n 为有界数列，记 a n sup a n , a n1 , ， a n inf a n , a n1 , . 证明：（1）对任何正整数n， a n a n ； （2） a n 为递减有界数列， a n 为递增有界数列，且对任何正整数n，m有 a n a m ； （3）设 a 和 a 分别为 a n 和 a n 的极限， a ≥ a . （4） a n 收敛的充要条件是 a = a . 证 （1）由确界性质可知： n ，必有 sup a n , a n1 , ≥ inf a n ,a n1 , ， 即 a n a m . （2）因为 a n 有界， M 0, n , M a n M ，于是 Ma n a n M ，即 a n ， a n 为有 界数列.由 a n1 sup a n1 , a n2 , ≤ sup a n , a n 1 , a n 可知 a n 为递减数列.同理可证 a n 为递增数列. n,m,a n a m n a m n a m . （3）由单调有界定理，存在极限 lim a n a ， lima n a .因为 a n a n ，令 n ，由保不等式 n n 性有 aa . （4）[必要性] 若 lim a n a ，则 0,N,nN 时 a a n a .于是 nN 时 n a a n a n a ，令 n ，又有 a a n a n a 0aa2 aaa . a n a ， lima n a ，条件现 0,N,nN 时[充分性] 若 aaa ，因为 lim n n a a n a n a ，于是 a a n a ，这样就有 lim a n a . n 42 第三章 函数极限 §1 函数极限概念 7．设 limf(x) A ，证明 limf() A . x x 0 1 x 证 由 lim f ( x ) A 可知 0,M0 ，当x>M时， f(x)A .在上式中作变换 y x 1 ， x 并取 1 11 ，有 0, 当0 时 f() A ，即 limf() A . x 0 y Mx 8．证明：对黎曼函数R(x)有 limR(x) 0 ， x 0 [0,1] （当 x 0 =0或1时，考虑单侧极限）. x x 0 p 1 , 当 x ( p , qN , p , q互质 ) qq , 证 R(x) 0, 当为 0,1 与 (0,1) 内的无理数 . 不妨设 x 0 [0,1] ， x 0 =0或1时只需讨论单侧极限.为了证明 limR(x) 0 ，按定义要证： x x 0 0, 0 ，当0< xx 0 < 时， R(x)0 . 当 xU(x 0 ; ) ，x为无理数时 R(x)0 ，于是 R(x) 自然成立；当 xU(x 0 ; ) ，x为有理 数 pp 11 时， R(x) ，需证 0 ，使得当 U ( x 0 ; ) 时，有 . qqqq 先取定 0 ，现讨论使得 p 1 1 的有理点，亦即使得 q 的有理点，这类有理点只有有限 qq 个，设为 x 1 ,x 2 , ,x k ，现设法取 0 ，使这有限个有理点被排除在 U ( x 0 ; ) 之外.设 min x 1 x 0 ,x 2 x 0 , ,x k x 0 ,x 0 ,1 x 0 ， 于是 x U(x 0 ; ) (0,1) ，且x为有理数时 R(x) .这样， 0, 0 ，当 xU(x 0 ; ) 时，无论x是有理数还是无理数，都使 R(x) ，即 x x 0 limR(x) 0 . §2 函数极限的性质 43 5．设 f(x)0 ， limf(x) A .证明 x x 0 x x 0 lim n f(x) n A ， 其中n≥2为正整数. 提示 讨论A=0和A>0两种情况.A>0时应用 n f(x) n A f(x) x0 f(x) A n 1 n f(x) n 2 n A A x0 1 N n 1 n 来证明. 9．（1）证明：若 limf(x 3 ) 存在，则 lim f ( x ) = limf(x 3 ) . x0 （2）若 lim f ( x 2 ) 存在，试问是否成立 lim f ( x ) = limf(x 2 ) ？ x0 x0 x0 解 （1）由 lim f ( x 3 ) 存在， 0, 0 ，当 0x 时， f(x 3 )A ，作变换 yx 3 ， x0 当 0 3 y 时， f(y)A ，即 0y 3 时， f(y)A ，于是 limf(x) = limf(x 3 ) =A. x0 x0 x,x 0, （2）否.反例： f(x) 1,x 0,x 为有理数 , 0,x 0,x 为无理数 . 易见 lim f ( x 2 ) = limx 2 0 ，而 lim f ( x ) 不存在，因此 lim f ( x ) 不存在. x0x 0 x 0 x0 §3 函数极限存在的条件 7．证明：若 f 为定义在R上的周期函数，且 limf(x)0 ，则 f(x)0 ， xR . x 证 设T为 f 的周期.因为 lim f ( x )0 ，则 0,M0,xM 时， f(x) . x x 0 R,nN ，使得 xx 0 nTM .由函数 f 的周期性， f(x 0 )f(x 0 nT)f(x) ，令 0 ，得 f ( x 0 ) 0 ，于是 f(x)0 ， xR . 8．证明定理3.9. 提示 充分性用反证法.若 lim f ( x ) A ，选出以 x 0 为极限的递减数列 x n U (x 0 ) ，但 x x 0 f(x n )A 0 ， 0 为某正数. §4 两个重要的极限 44 xxx 3．证明： lim lim cosxcoscos 2 cos n 1 . x 0n 222 提示 先利用 2 n 1 cosxcos 证明. xxxxsinx cos 2 cos n sin n sin2 x 作化简，然后应用 lim 1 来 x 0 2222x §5 无穷小量与无穷大量 7．证明：若S是无上界数集，则存在一递增数列 x n S ，使得 x n （ n ）. 证 因为S无上界，于是 M0 ， x S,使得x M . 取 M 1 1,x 1 S,使x 1 M 1 ， 取 M 2 x 1 2,x 2 S,使x 2 M 2 ， „„„„ 取 M n x n 1 n , x n S ,使 x n M n ， „„„„ 可见 x n 为递增数列 x n . 第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 7．设函数 f 只有可去间断点，定义 g(x) limf(y) ，证明g为连续函数. yx 证 因为 g ( x 0 )lim f ( y ) ，于是 yx 0 0, 0 ，当 0yx 0 时， f(y)g(x 0 ) . x ， xx 0 时， g(x)g(x 0 ) ≥ ，这样 g(x) 在 xx 0 处连续，由 x 0 的任意性， g(x) 为连续函数. §2 连续函数的性质 6．设 f 在 [a,) 上连续，且 limf(x) 存在.证明： f 在 [a,) 上有界.又问 f 在 [a,) 上必有 x 45 最大值或最小值吗？ 提示 利用函数极限的局部有界性和连续函数有界性定理可证 f 在 [a,) 上有界，若 x 0 [ a , ) ，使得 f ( x 0 ) =B>A= limf(x) ，设法证明 X, x X,f(x) x B A ，再证[a,X]上 f 的 2 最大值必为 f 在 [a,) 上的最大值.同理可证若 x 0 [a,) ， f ( x 0 ) f 必在 [a,) 上取到 最小值. 10．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根. 证 设方程为 f(x) x 2n 1 a 1 x 2n a 2n 1 0 ， 其中 a k (k1,2, ,2n1）为实数 .试利用 limf(x) =+ ， limf(x) =- ，证明 X0, xx f(X)0,f(X)0 . 16．设函数 f 满足第6题的条件.证明 f 在 [a,) 上一致连续. 0,x,x , x X,f(x )f(x ) . 证 因为 limf(x) =A，于是由函数极限的柯西准则， x 在[a,X+1]上应用一致连续性定理，有 0, 1 ( )0,x ,x [a,X1],x x 1 时， f(x )f(x ) （2.2） 取 max 1 ,1 ，现证 ,x ,x [a,],x x 时，有 f(x )f(x ) . 分三种情况： （1）当 x ,x [a,X],且x x 时，由（2.2） f(x )f(x ) . （2）当 x [a,X],x (X,),x x 时，则 x [a,X1] ，由（2.2） f(x )f(x ) . （3）当 x ,x (X,),x x 时，同样有 f(x )f(x ) .这样， 0, ( )0 ， x ,x [a,),x x 时，总有 f(x )f(x ) ， 即 f 在 [a,) 上一致连续. 第五章 导数和微分 §1 导数的概念 设函数 1 x 0 xmsin f(x) 0 x x 0 （m为正整数） 试问：（1）m等于何值时，f在x=0连续； 46 （2）m等于何值时，f在x=0可导； （3）m等于何值时， f 在x=0连续。 m 答（1）当m≥1时， f(x)x 连续。 （2） 当m2时 ， sin 1 m 有 lim ，于是 lim 即在 f在x0 x ， x 01 f(x) 0 x 01 f ( x ) f (0) x f (0) lim x 0 x m sin 1 0 1 m 1 x lim xsin 0 x 0 x x 由复合函数求导可得 f (x) 11 mx m 1 sin x m 2 cos, xx x 0 0 x 0 即m≥2时可导 （3）同理可证m≥3时， f 在x=0连续 注 本题在导函数理论中举某些反例时很有用。 11. 设 g(0)g (0)0 g(x)sin 1 x f(x) 0 求 f (0) x 0 x 0 提示 f (0) x 0 lim f( x) f(0)1g( x) lim sim 0 ，只需证明 x 0 x x x 12 设f是定义在R上的函数，且对任何 x 1 ,x 2 R ，都有 f(x 1 x 2 ) = f(x 1 )f(x 2 ) 若 f (0)1 ，证明对任何 xR ，都有 f (x)f(x) 2 提示 在 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) 中设 x 1 x 2 0 ，可得 f (0) f (0) 分两种情况讨论，若 f(0)0 ,可证 f(x)0 若 f(0)1 ，在 f(x 1 x 2 )f(x 1 )f(x 2 ) 中设 x 1 x,x 2 x,有f(xx)f(x)f(x) ，再设法证明 f (x)f(x) §2 求导法则 47 9 以 sh 1 x,ch 1 x,th 1 x,coth 1 x 分别表示各双曲函数的反函数，试求下列函数的导数 （1） ysh 1 x （3） yth 1 x （2） ych 1 x （4） y coth 1 x （6） y xh 1 (tan x ) （5） y th 1 x coth 1 1 x 解 在求导之前，读者可以验证下列双曲函数的恒等式 22 chy shy 1 (2.1) 1 2 2 1 thy （ 2.2 ） （ 2.3 ） chy 1 coth 2 y 1 2 shy 并注意应用反函数求导公式后，应当用 y 0 1 ( x 0 ) 代入 （1） xshy ，求反函数求导公式，有 1 中，化为 x 0 的函数 (y 0 ) dy111 ， dx dy (shy) chy dx 为了把导数化为 x 的函数，由（2.1）有 ch 2 y 1 sh 2 y 于是 dy111 22 dxchy 1 shy1 x （2） xchy dy1111 2 dx dx(chy) shy chy 1 dy （3） xthy 有 1 x 1 2 ( x 1) dy11 ch 2 y dx dx (thy) dy 由公式（2.2）， chy 2 11 ,(x1) 1 th 2 y1 x 2 （4） xcothy, 48 dx111 sh 2 y dy dx (cothy) 1 dy sh 2 y 由公式（2.3）， sh 2 y 1 coht 2 y 1 1 ，于是 2 x 1 1 (x 1) 2 1 x 1 （5） y th 1 x coth 1 , x 111 y ( ) 0 1 x 2 1 1 x 2 x 2 (coth 1 x) (6) y sh 1 (tanx) y 1 1 tan 2 x sec 2 x secx §3 参数变量函数的导数·高阶导数 §3 习题（教材上册第105页） 4 证明：曲线 y a(cost tsint) y a(sint tcost) ( t 0) 上任一点的法线到原点的距离等于a。 证 x (t)atcost,y (t)atsint ，由（3.4），曲线的法线方程为 [Ya(sinttcost)]y (t)[Xa(costtsint)]x (t)0,代入x (t),y (t), 化简可得 sintYcostXa 由解析几何可知，原点到该法线的距离为a。 §4习题（教材上册第109页） 9 设 yarctanx （1）证明它满足方程 (1x)y 2xy 0 （2）求 y (n) 2 x 0( y (2m) x 0 0, y (2m 1) x 0 (1) m (2 m )!) 提示（1）由直接求导容易验证，（2）把（1）中的方程两边求n次导数，应用莱布尼茨公式， 可得到含 y (n2) ( x ), y (n1) ( x ), y (n) ( x ) 的方程；再将 x0 代入，得到递推关系。 10设 yarcsinx 49 （1）证明它满足方程 (1 x 2 )y (n 2) (2n 1)xy (n 1) n 2 y (n) 0(n 0) （2）求 y (n) x 0( y (2m)(2m 1) , y x 0 x 0 [(2 m 1)!!] 2 ) 提示 由 y 方程 1 1 x 2 , 可得 1x 2 y 1, 两边求导得 1 x 2 y xy 1 x 2 0 ，于是y满足 (1 x 2 ) y xy 0 然后仿照第9题的解法 11证明：函数 e x 2 f(x) 0 1 x 0 x 0 (n) 在 x0 处n阶可导且 f 证 按定义 (0)0 ，其中n为任意正整数。 f (0) lim x 0 lim = x 0 f(x) f(0) x 0 e 1 x 2 1 ( 设 y ) xx y lim = y e y 2 =0 于是有 2 e x 2 3 x f (x) 0 同理可求得 1 x 0 x 0 ( 6 4 )e x 2 36 xx f (x) 0 由数学归纳法设 1 x 0 x 0 P( 1 )e x 2 3n x (n) f(x) 0 1 x 0 x 0 50 其中 P 3n ( ) 是以 按定义 1 x 1 为变量的3n次多项式 x f(n 1)(0) lim x 0 f (n) (x) f (n) (0) x 0 1 1 x 2 P 3n e 1 lim x = x 0 ( 设 y ) x 0x lim y =0 于是有 yp 3n (y) e y 2 P)( 1 )e x 2 3(n 1 x y(n 1)(x) 0 1 x 0 x 0 这样在x=0处函数n阶可导，且 f (n) (0)0 §4 微分 §5习题（教材上册第116页） 6、检验一个半径为2m，中心角为55º的工件面积（图5-3），现可直接测量其中心角或此角所 对的弦长，设量角最大误差为0.5º，量弦长最大误差为3mm，试问哪一种方法检验的结果较为精确。 提示 试用微分的近拟计算方法求出测角的误差引起弦的误差，然后与量弦的最大误差比较， 可知量弦的方法较为精确。 第六章 微分中值定理及应用 §1拉格朗日中值定和函数的单调性 (a,f(a)),(b,f(b)),(x,f(x)) 三点组成的三角形面积，试对 s(x) 应用罗尔中值定 8、以 s(x)记由 理证明拉格朗日中值定理。 证 不妨设 ab ，由解析几何可知 51 1 b f(b) 1 s(x)af(a)1 ， 2 x f(x) 1 因为 s(x) 在 (a,b) 内可导，在[a,b]上连续，S（a）=S（b）=0，于是由罗尔中值定理， (a,b) ， 使得 s ( )0 由第五章总练习题9的行列式求导法则有 1 b f(b) 1 s (x)af(a)1 2 1 f(x) 0 1 [f(b)f(a)(ba)f (x)] 2 于是 f(b)f(a)(ba)f ( ) 10非曲直设函数f在（a,b）内可导，且 f 单调，证明 f 在(a,b) 内连续。 提示 不妨设 f 为递增函数， x 0 ( a , b ) 存在 f ( x 0 0) ， f (x 0 0) ，且 。 f ( x 0 0) f ( x 0 ) f ( x 0 0) ，再证 f (x 0 0)f (x 0 0) （导函数不能有第一类间断点） 14证明： tanxx , x (0, ) xsinx2 解 因为当 x(0, 算 ) 时x sin x 0 ，于是只需证明 f ( x ) sin xtianxx 2 0, x (0, ) 如此计 22 f (x) sinx sinxsec 2 x 2x f ( x ) cos x sec x 2sec x tan 2 x 2 = (cosxsecx) 2 2tan 2 xsecx0 因为 f (0) f (0) 0, f ( x ) 0, x (0, ) ，由范例5可知 f ( x ) 0, x (0, ) 即 22 tanxx , x (0,) xsinx2 §2 柯西中值定理和不定式极限 3 设函数f在点a处具有连续二阶导数。证明 52 lim h 0 f(a h) f(a h) 2f(a) f (a) 2 h 提示 用洛必达法则可以证明结论。另一种证法是：设 f(x)f(ax)f(ax) ，有 f(a h) f(a h) 2f(a)F(h) f(0) h 2 h 2 0 2 然后利用柯西中值定理求证 6设函数f在点a的某个邻域内具有二阶导数，证明；对充分小的h，存在 ， 0 1 使得 f(a h) f(a h) 2f(a)f (a h)f (a h) 2 h 2 解 作辅助函数（不妨设 h0 ） F(x) f(a x) f(a x) 2f(a) G(x) x 2 x [0, h ] 因为 F(0)G(0)0 ，由柯西中值定理，有 f(ah)f(ah)2f(a) h 2 F(h)F(0) = 2 h = F ( 1 h) (0 1 1) 2 1 h f (a 1 h) f (a 1 h) ， 2 1 h = 再定义 F 1 (x)f (a 1 x)f (a 1 x),F 1 (0)0 在 [o,h] 上应用拉格朗日中值定理，又有 f (a 1 h) f (a 1 h) 2 1 h F1(h) F 1 (0) 1 h2 1 F ( 2 h ) (0 2 1) 2 1 f (a 1 2 h)f (a 1 2 h) = 2 令 1 2 即有结论，同理可证 h0 的情形。 习题选解 53 四、习题选解 12.在抛物线 y 2 2px 上哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短(图6-5). 解 过抛物线 y 2 2px 上任一固定点 p(x,2px) 的法线方程为 Y2px 2x (Xx) . p 为了求法线与抛物线的另一交点Q,可以解下列方程组: Y 2px Y 2px, 其解为 2x p (X x), X ( Y 2 x p x ) 2 p x )2p(x 22 p p 2 l 2 (x) PQ 2px 2p(x ) (x ) x x x 6p 3 p 4 8px 12p 2 (0 x ) xx 2 由 6p 3 2p 4 (l(x))\' 8p 2 2 0, xx 2 可解得 x p, y 2p, 为唯一的极(小)值点,因而是最小值点.同理可知 xp,y2p 也满足题中的要求. §5 函数的凸性与拐点 7.证明(1) f 在区间I上为凸函数的充要条件是对I上任意三点 x 1 x 2 x 3 恒有 1x 2 f(x 2 ) 0; 1 x 3 f(x 3 ) 1 x 1 f(x 1 ) (2) f 为严格凸函数的充要条件是上述 0 . 54 提示 先证明 f 在I上为凸函数的充要条件是对I上任意三点 x 1 x 2 x 3 成立 f(x 2 ) f(x 1 )f(x 3 ) f(x 1 ) x 2 x 1 x 3 x 1 而此条件等价于 f ( x 1 )( x 3 x 2 ) f ( x 2 )( x 1 x 3 ) f ( x 3 )( x 2 x 1 ) 0. 8.应用詹森不等式证明: (1)设 a i 0(i 1,2 ,n) ,有 n 111 a 1 a 2 a n (2)设 a i ,b i 0(i 1,2, ,n) ,有 n a 1 a 2 a n a 1 a 2 a n . n ab ( a ii i 1i 1 nn p i )( b i ), p i 1 1 p n 1 q 其中 p1,q1, 11 1. pq 1 0 ,所以 lnx 为凹函数,于是 x 2 证 (1)因为 (lnx)\'\' a 1 a 2 a n 1 n ln() lna i ln n a 1 a 2 a n , nn i 1 即 n a 1 a 2 a n a 1 a 2 a n . n 又因 lnx 为凸函数,于是 111 11 aa 2 a n 11 ln 1 ln ln , nna 1 na n 即 111 1 a 1 a 2 a n , n a 1 a 2 a n 亦即 55 n 111 a 1 a 2 a n n a 1 a 2 a n . (2)当 p1 时, (x p )\'\' P(p 1)x p 2 0,x (0, ) ,于是 x p 是凸函数.在詹森不等式中令 f(x)x, i p b i q b j 1 n (i 1,2 ,n) ,就有 q j n b q n aa i p ii () ((q1)pq) i i q 1 i 1 b i q 1 n q b i i 1 b i j 1 于是 p ( a i b i ) i 1 n n p a b j 1 i 1 n n q i , j ( b q j ) p j 1 q 这样就得到 ( a i b i ) ( b j ) pq i 1j 1 nn p 1 ( a p i ) i 1 n ( b j ) q j 1 n p 1 ( a p i ) i 1 n 再对上面不等式两边开 p 次方，便证得 ab) ( a ii i 1j 1 nn p i )( b i ). p i 1 1 p n 1 p 第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 8.试用有限覆盖定理证明聚点定理. 提示 用反证法.设S是有界无限数集, S a,b ,假若S没有聚点,则 x a,b 都不是S的聚 点,故 U ( x ; x ) 使得 U ( x ; x ) S 为有限集,然后用有限覆盖定理在 H U x ; x x a , b 中选出 56 a,b 的有限开覆盖,即可推出与S是无限集相矛盾. 9.试用聚点定理证明柯西收敛准则. 提示 设 x n 为柯西列,可证 x n 为有界数列,由致密性定理, x n k x n , k x n . lim §2 闭区间上连续函数性质的证明 sinx 在 (0,) 上一致连续. x xx im sin lim sin 提示 l x 1, 0 ,然后把 f(x) 延拓成 0, 上的连续函数. 0x xx 3.证明: f(x) 4.试用有限覆盖定理证明根的存在定理. 提示 设 a,b 上的连续函数 f(x) ,满足 f(a)0,f(b)0 ,要证 (a,b) ,使 f( )0 .用反 证法,若 (a,b)f(x)0 ,由连续函数的局部保号性, U ( x ; x ) ,当 x\'U(x; x ) 时, f(x)\'0 (或 f(x)\'0 ),于是 H U ( x ; x ) x a , b 为 a,b 的无限开覆盖.然后选出有限开覆盖,可推出 f(a) 与 f(b) 同号,与假设相矛盾. 5.证明:在 (a,b) 上的连续函数 f 为一致连续的充要条件是 f(a0) 与 f(b0) 都存在. 提示 证充分性时,设法把函数 f 延拓为 a,b 上的连续函数,然后利用一致连续性定理即可. 证必要性时,可由 f 在 (a,b) 上致连续的条件,应用函数极限的柯西准则证明 f(a0) , f(b0) 都存 在. §3 上极限和下极限 3.证明:若 a n 为递增数列,则 n a n n a n . limlim 提示 讨论 a n 为有界与无界有两种情况. limlim 4.证明:若 a n 0(n1,2,) 且 n a n n 1 1 ,则数列 a n 收敛. a n 提示 若 lim a n 0 ,则 子列 a n k , lim k a n k 0 于是有 n 57 lim k 1 ,这与 a n k lim n n a lim n lim 1 a n 0 .然后用本节内容提要3°上、下极限等价定义来 1 相矛盾,这样应当有 n a n 证明. 6.证明定理7.9. 证 设 x n 为有界数列,我们将证 A 为数列 x n 的上极限的充要条件是 sup A lim n k n x k . 同理可证 inf A lim n x k . [必要性]若 A 为 x n 的上极限，由定理7.7有 (ⅰ) 0,N,nN 时 a n A ; (ⅱ) 0,子列a n k a n ,使A a n k . 由(ⅰ),当 nN 时,有 sup k n a k A ; a i ; 由(ⅱ),有 A a n k sup i n k 再由 g n i n k a k 的递增性,又有 sup supsup A lim a i lim a k A . k i n k n k n limsup 令 0 ,即有 A k i n a k . [ 充分性] 设 sup A* lim a i ,则 0,N ,当 nN 时, A* sup a i A* ,于是 k i n i n a n sup a i A* . i n 又由上确界定义, kN, n k ,使得 A* a n k , 由定理7.7,可得 sup A A* lim a k . n k n 第八章 不定积分 58 §1 基本积分公式与换元积分法 §2习题（教材上册第188页） 1．提示 dx1 sinx dx ，并调整结果： 2 1 sinxcosx cosx 把 tanxsecxC 化为 C ； 1 sinx csc 2 x cscxcotxcsc 2 x cscxcotx （13） cscxdx dx ，或 dx ； cscx cotxcscx cotx （12） x1 （15） dx 4 x 4 4 x 2 d 2 2 x 2 1 2 1 ； x 3 11 （18） 8 dx d x 4 ； 2 4 x 24 x 2 （21） cos 5 xdxcos 4 xd sinx ； dxsec 2 x d 2x dx ，或 （22） ； sinxcosxtanx sin2x dxe x 2x dx ； （23） x e e x e 1 （26） dx x a 22 a0 ，令 xatant 化为 sec 2 t secttant cost sectdt dt ，或 dt ； 2 sect tant 1 sint （28） x 5 1x 2 x 1 3 x dx ，令 xsint 化为 sin 5 tdt 类似 21 ； （29） dx ，令 6 xt 化为 6t 8 1 642 dt 6 t t t 1 dt ; 1 t 2 t 2 1 （30） x 1 1 x 1 1 dx ，令 x1t 化为 t 2 tt t 1 2 t 1 2 2 dt 2 dt t 1t 1 59
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