2023年12月18日发(作者：数学试卷老师让家长写寄语)

数学规划法

数学规划法就是依据调查提供的基础资料，建立数学模型，反映土地利用活动与其他经济因素之间的相互关系，借助计算机技术求解，获得多个可供选择的解式，揭示土地利用活动对各项政策措施的反应，从而得到数个供选方案。在土地利用系统中许多因素的发展既受客观因素的制约，又受决策者主观因素的影响，确定科学的土地利用结构，就是具体确定土地利用结构系统中最优的主观控制变量，使总体目标优化。常用的数学规划法就是线性规划。

线性规划是数学规划中的基本方法，它的出现和应用早在20世纪30年代之前，而到

1947年，丹茨基(George B. Dantzig ) 提出求解这类问题的有效算法一—单纯形法之后，它在理论上才得到了完善，应用上得到了迅速的发展和推广。尤其是随着电了计算机的应用和发展，使它的运用领域更为厂泛，成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划问题都可以求解。无论从理论的成熟性看，还是从应用的广泛性看，线性规划都已成为运筹学的一个重要分支。应用线性规划法进行土地利用结构优化的主要优点是用完全定量的纯数学的方法进行优化，且有明确的目标函数来衡量优化模型，因而从理论上讲，优化方案相对原方案是最优的。

1． 单目标线性规划

线性规划就是求一组非负变量，在满足一组线性等式或线性不等式的前提下，使一个线性函数取得最大值或最小值。线性规划问题数学模型的一般形式是：

求一组变量X1，X2，„Xn 的值，使它们满足

a11X1 + a12X2 + „„ + a1nXn≤ b1(或≧b1 ,或=b1)

a21X1 + a22X2 + „„ + a2nXn≤ b2(或≧b2 ,或=b2)

约束条件 „„„„„„„„„„„„

am1X1 + am2X2 + „„ + amnXn≤ bm(或≧bm,或=bm)

X1≧0, X2≧0，„„，Xn≧0

并且使目标函数S=C1X1 + C2X2 + „„ + CnXn的值最小（或最大）。为了讨论与计算上的方便，我们把线性规划问题化为标准形式，为此：

（1）如果第k个式子为：

ak1X1 + ak2X2 + „„ + aknXn≤bk

则加入变量Xn

+ k ≧0,改为：

ak1X1 + ak2X2 + „„ + aknXn + Xn + k = bk

如果第e个式子为：

ae1X1 + ae2X2 + „„ + aenXn

≧ be

则减去变量Xn + e≧0,改为：

ae1X1 + ae2X2 + „„aenXn

- Xn + e= be

Xn + k、Xn + e称为松驰变量，松驰变量在目标函数中的系数为零。

（2）如果问题是求目标函数S=C1X1 + C2X2 + CnXn的最大值，则化为求目标函数S′=

－S= －Ｃ１Ｘ１－Ｃ２Ｘ２－„－ＣnXn的最小值。

（3）如果对某种变量Xj没有非负限制，则引进两个非负变量X′j ≧0，X″j

≧0，令Xj =X′j -X″j 代入约束条件中，化为对全部变量都有非负限制。

这样，我们可以把线性规划问题写成标准形式如下：

求一组变量X1，X2，„„,Xn的值，使它满足

约束条件

a11X1

+ a12X2

+ „„a1nXn

= b1

a21X1

+ a22X2

+ „„ + a2nXn

= b2

„„„„„„„„„

am1X1

+ am2X2

+ „„ + amnXn

= bm

X1

≧0, X2

≧0，„„,Xn

≧ 0

并且使目标函数S = C1X1 + C2X2 + „„ + CnXn的值最小。

2. 多目标线性规划

在线性规划中，假定所讨论的问题要同时考虑m个选优目标f1

(X), f2

(X),„„fm (X),其中X=（X1，X2„„,Xn）,且X

 R，R为可行解集合（约束集合或可行域），则这样的规划问题称为多目标规划。

在多目标规划中，几乎不存在一个解使所有目标函数都达到最优，而只能从非劣解集合中找出兼顾所有目标的最满意解，称之为多目标规划的最优解。

求解多目标规划的主要方法是化多目标问题为单目标问题。下面简要介绍几种线性规划常用的处理方法。

（1）线性加权和法

对于m个目标函数f1

(x), f2

(x), „„，fm (x),根据它们的重要程度分别给以加权系数λ1，λ2，„„，λm，且满足

i1，则多个目标可以化为下列单一综合目标：

i1mTU(x)ifi(x)

i1m对于上式要说明以下几点：

1）由于m个目标的量纲可能不统一，因此在加权求和之前要对每个目标函数进行无量纲处理。

2）要统一每个目标的优化方向，即都统一成求最大值或求最小值。

3）确定权系数是这种方法的关键，也是一项比较困难的工作。权系数的确定可以采用“老手法”，也可以采用α法。下面对α法作一简要介绍。

设第i个目标fi

(x), xR的最优解为xi

, i =1, 2,„„, m，记

fij = fj (xi), i = 1,2,„„,m, j = 1,2,„„,m

则由具有m + 1个变量λ1，λ2，„„，λm, α的m + 1元线性方程组：

j1mjfij， i=1,2,„„，m

j1

j1m所确定的λ1，λ2，„„，λm的值可分别作为m个目标的加权系数。

例如，对于两个目标的情形，有

λ1f11 + λ2f12=α

λ2f21 + λ2f22=α

λ1 + λ2=1

解之得：

if22f12

(f11f12)f22f211f11f12

f11f12f22f21

（2）约束法

对于一组目标函数f1(x), f2(x),„„，fm

(x), 应用0~1评分法将目标排成优化序列，然后选第一位目标作为优化目标函数，其余的目标规定上（下）限，使之变成约束条件。不妨设第一位目标函数为f1 (x),而且目标函数统一为求最大值，则这类问题的优化模型为

max f1 (x)

f2 (x)-

2

≧ 0

f3

(x)-

3

≧ 0

„„„„„„

fm(x)-m ≧ 0

xR


更多推荐

目标,问题,函数,优化,土地利用,变量,方法