2024年4月8日发(作者：高中数学试卷精选答案)

6.4 视角最大问题——米勒定理

米勒定理 已知点M、N是∠AOB的边OA上的两个定点，点P是边OB上的一动点，

则当且仅当△MNP的外接圆与边OB相切于点P时，∠MPN最大，且此时有

OPOM

2

ON

．

证明 如图所示，△MNP的外接圆与边OB相切于点P，设

P

是边OB上不同于点P

的任意一点，连结

MP

、

NP

，因为

MP

N

是圆外角，

MPN

是圆周角，易知

MP

NMPN

，故

MPN

最大．

A

N

M

O

P

P

B

根据切割线定理得：

OPOM

2

ON

，据此我们也可以确定点P的位置．

注 (1) 在大题中，若是想要使用米勒定理，需要把上述的证明的过程照着搬一遍；不

过，个人还是建议利用“夹角公式＋均值不等式”的套路．

(2) 米勒定理，实际上也是圆幂定理之切割线定理的应用！！

例 (1986全国卷理)如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上

给定两点A、B．试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．

y

A

B

OC

x

法一 常规方法，利用夹角公式＋均值不等式

设

A(0,a)

，

B(0,b)

，且

0ba

，设

C(x,0)

，记

BCA

，

OCB

，则

OCA

，显然

0

2

，故

ab

tan(

)tan

abab

xx

ab

，

tan

tan

(

)



1tan(

)tan

1

ab

x

ab

xab

2ab

ab

ab

x

x

2

x



当且仅当

x

ab

ab

ab

，即

xab

时，，因此，当点C为

(ab,0)

时，

tan

取得最大值

x

2ab

ab

2ab

． ∠ACB取得最大值

arctan

法二 利用米勒定理，显然，过点A、B的圆和x轴相切于点C时，∠ACB取得最大值，

设

OAa

，

OBb

，此时

OC

2

OAOB

，即点C的坐标为

(ab,0)

．

例 (2005天津文理)某人在一山坡

P

处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高

BC80

(米)，塔所在的山高

OB220

(米)，

OA200

(米)，图中所示的山坡可视为直线

l

且

点

P

在直线

l

上，

l

与水平地面的夹角为

a

，

tana

的视角

BPC

最大（不计此人的身高）．

1

．试问此人距水平地面多高时，观看塔

2

C

B

P

l

O

D

A

E

解 如图所示，延长PA交CO的延长线于点D，过点P作PE⊥OA于点E．

易得

ODOAtan

100

，

AD1005

．欲使得观看塔的视角

BPC

最大，则必有△

PBC的外接圆与直线l相切于点P，根据切割线定理：

DP

2

DBDC

，即

DP3204001605

，从而

PA605

．

因此，

PEPAsin

605

视角

BPC

最大．

1

5

60

，所以当此人距水平地面60米高时，观看塔的

例 (2005浙江理)如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点

F

1

、F

2

在x轴上，长轴

A

1

A

2

A

1

F

1

2

：

1

． 的长为4，左准线l与x轴的交点为M，

MA

1

：

(1) 求椭圆的方程；

xm(m1)

，P为

l

1

上的动点，使

F

1

PF

2

最大的点P记为Q，求点Q的

(2) 若直线

l

1

：

坐标(用m表示)．

y

P

l

M

A

1

F

1

O

F

2

A

2

x

l

1

x

2

y

2

略解 (1)

1

；

43

(2)设直线

l

1

与x轴的交点为H，则点

Q(m,y

0

)

，

m1

，则

HQHF

1

HF

2

，即

2

y

Q

(1m)(1m)

，即

y

Q

m

2

1

，即点Q的坐标为

(m,m

2

1)

，

m1

．

2

例 (2010江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H（单位：

m

）.如示意图，垂直

放置的标杆BC的高度

h4m

，仰角

ABE

，

ADE

．

(1) 该小组已测得一组

、

的值，算出了

tan

1.24

，

tan

1.20

，请据此算出H的

值；

(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：

m

），

使

与

之差较大，可以提高测量精度. 若电视塔的实际高度为125

m

，试问d为多少时，

最大？

E

P

E

Q

C

D

C

A

B

d

D

B

d

A

H

tan

htan

tan

H

d

124m

；

解 (1) 由

得：，即

H

hHHh

tan

tan

tan

Hh

tan



BDADd

(2)

HHh

tan

tan

hdhh

dd

，

tan(

)

2



HHhH(Hh)

1tan

tan

1

dH(Hh)

d

2H(Hh)

ddd

当且仅当

dH(Hh)125121555

时，

tan(

)

取得最大值．

又

0



，则

0

，因此，当

d555m

时，

最大．

22

背景 本题实际上也是米勒定理的应用，不过稍微有点特殊，如果选择线段BD对应的

视角∠BED进行分析，会发现BD是运动的，E是固定的，无法利用米勒定理，需要另寻他

径进行转化．

由于视角的对边是定值，注意到BC刚好为定值，因此，不妨选择BC为对边，同时延

长CP，使得

BPAE

，根据相对运动可知：点E刚好在直线PQ上运动，此时，即可利用

米勒定理，当且仅当过B、C的圆且与PQ相切于点E时，∠BEC取得最大值，故

dPEPCPB121125555

．

例 (1) 在△ABC中，

AB22

，

CA

2

CB

2

16

，则角C的最大值为 ．

(2) 在△ABC中，点M满足

BM3MC

，则

sinBAM

的最大值是 ．

C90

，

解 (1)法一 设角A、B、C对应的边分别为a、b、c，则

c22

，

b

2

a

2

162c

2

，

故

b

2

a

2

ab

a

2

b

2

c

2

1

3ab

3

2

cosC

，

2ab2ab4

ba

2

22

所以

C



，即角C的最大值为．

66

法二 联想到“等差幂线”，易知点C的轨迹在一条直线上．

y

E

C

O

P

A

O

A

B

D

x

B

M

C

不妨设

A(2,0)

，

B(2,0)

，

C(x,y)

，代入

CA

2

CB

2

16

，整理得：

x22

，因

此，当过点A、B的圆E与

x22

相切于点C时，角C最大！

设

x22

与x轴的交点为D，则

DBDADC

2

，即

DCOE6

，故△AEB为正三

角形，角C的最大值为

．

6

3

(2)

；如图所示，当过点B、M的圆O与AC相切于点A时，

BAM

最大，设

BC4

，

5

BM的中点为P，则

CA

2

CMCB

，即

OPAC2

，故

sinBAMsinPOM

PM3

．

OM5

x

2

y

2

例 已知点F、A分别为椭圆

C：

2

2

1

ab0

的右焦点和上顶点，点B为椭圆

ab

右准线l上的一动点，且△ABF的外接圆面积的最小值是

4

，则当椭圆的短轴最长时，椭

圆的离心率为 ．

y

A

l

B

O

F

x

a

2

x

c

解

2

AFa

；设△ABF的外接圆半径r，则

2r

，根据米勒定理可

2

sinABFsinABF

知：当△ABF的外接圆与右准线相切时，张角

ABF

取得最大值，此时，r取得最小值，亦

即△ABF的外接圆面积取得最小值．

a

2

a

2

2

又

2r

，亦即

r



，当且仅当直线AB与准线l垂直时取得等号，故

2c

c

a

2



4

，即

a

2

4c

，进而

b

2

4cc

2

(c2)

2

4

，因此，当

c2

时，椭圆的短轴

2c

2

2

取得最大值为4，椭圆的离心率为

2

．

2


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