概率统计——精选推荐

2024年1月25日发(作者：成才之路数学试卷高中)

概率统计PR（probability）意即概率，又称或然率、机会率或机率。PR是数学概率论的基本概念，是一个在0到1之间的实数，是对随机事件发生的可能性的度量。概率的概念应用在生活中可表示随机事件发生可能性大小的量，是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性。目录1历史2概念3理论4应用5数学处理表示概率分布概率计算总结6和随机的关系1历史第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作Liber de Ludo Aleae中。书中关于概率的内容是由Gould从拉丁文翻译出来的。Cardano的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。例如：《谁，在什么时候，应该赌博？》、《为什么亚里士多德谴责赌博？》、《那些教别人赌博的人是否也擅长赌博呢？》等。印度各地天灾风险概率然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中。这些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找费马请教几个关于由Chevalier de Méré提出的问题。Chevalier de Méré是一知名作家，路易十四宫廷的2概念在日常生活中，我们常常会遇到一些涉及可能性或发生机会等概念的事件（event）。一个事件的可能性或一个事件的发生机会是与数学有关的。例如：“从一班40名学生中随意选出一人，这人是男生吗？”事实上，人们问“……可能会发生吗？”时，他们是在关注这个事件发生的机会。在数学上，事件发生的机会可用一个数来表示。我们称该数为概率（Probability）。我们日常所见所闻的事件大致可分为两种：一种是确定性事件。确定性事件包含必然事件和不可能事件。如太阳从东方升起，或者在标准大气压下，水在100℃时会沸腾。我们称这些事件为必然事件。如掷一个普通的骰子，向上一面的数字是7。我们称这些事此外，有大量事件在一定条件下是否发生，是无法确定的。如明天的气温比今天低、掷一枚硬币得正面向上，又或者在下一年度的NBA比赛中，芝加哥公牛队会夺得全年总冠军。像以上可能发生也可能不会发生的事件3理论概率论是一种用正式的用语表达概率概念的方式，这些词语可以用数学及逻辑的规则处理，结果再转换到和原来问题有关的领域。有其他量度不确定性的方式，例如Dempster-Shafer理论或是可能性理论，但两者都有本质上的不同，无法和一般了解的概率论相容。至少有两种成功的将概率公式化的理论，分别是柯尔莫哥洛夫公式化以及考克斯公式化。在柯尔莫哥洛夫公式化（参考概率空间）中，用集合代表事件，概率则是对集合的测度。在考克斯定理中，概率是不能再进一步4应用概率的概念常常应用在生活中，例如风险评估及以金融市场的交易等。政府也在环境法中应用概率，称为路径分析（pathway analysis）。例如中东冲突可能会对油价有某程度的影响，而油价对世界经济可能会有涟漪有关概率评估及组合的严谨方式也改变了社会。对大部分的社会大众而言，重要的是了解概率评估的方式以及概率和决策之间的关系。概率理论另一个明显的应用是可靠度理论。像汽车及消费性产品会在产品开发时应用可靠度理论来减少产品失效的概率。失效概率会影响厂商在产品保用证上的决策。像自然语言处理中用的快取语言模型及其他语言模型等也属于是概率理论的应用。5数学处理事件A的概率一般会写成P(A)、p(A)或Pr(A)。概率的数学概念可延伸到无限的样本空间甚至不可数的样本空间，但需要用上概率测度的概念。概率的公理化定义将概率的相关范畴从具体问题中抽象出来，从而可以在数学意义下考察概率的相关概念和由之引出的问题。以下给出概率的公理化定义：设随机事件的样本空间为Ω，Ω的一个子集称为事件。对于Ω中的每一个事件A，都有实函数P(A)，满足：非负性：；规范性：可数可加性：对可数个两两互斥事件{Ai}i∈N有：任意一个满足上述条件的函数P都可以作为样本空间Ω的概率函数，称函数值P(A)为Ω中事件A的概率。表示概率实际上大多数的概率值都是介于0与1之间的数，这个数示代表事件在'不可能发生'与'确定发生'之间的相对位置。事件的概率值越接近1，事件发生的机会就越高。一个事件的概率值通常以一个介于0到1的实数表示。一个不可能事件其概率值为0，而确定事件其概率值则为1。 但反推并不一定成立，也就是说概率值为0的事件不表示它就是一个不可能事件，同理，概率值为1的事举例来说，假设两个事件有相同的发生概率，就像被抛掷而落地的铜板不是正面向上就是反面向上一样，但是我们不能说：每2次抛掷会出现1次，只能说事件发生的概率是平均每2次出现一次，或说是 \"50%\" 或 \"1/2\"分布概率分布函数是一个把概率分配给事件或者命题的函数。对于任何一个事件或者命题，总有很多分配概率的方法，所以选择不同的分布等同于对一个问题中的事件或者命题作出不同的假设。分布还可分为“离散”和“连续”的。概率计算总结概率计算总结事件概率A

非A

A或B

A和B

B的情况下A的概率

6和随机的关系在牛顿力学的概念中，决定论的世界中，若所有条件都是已知，都没有任何概率性的成分在内（拉普拉斯的恶魔），不过有可能一些系统对初始条件敏感，敏感程度甚至到超过可能量测的范围。以俄罗斯轮盘为例，若在描述量子理论时一定会用到概率论。二十世纪初期，物理学界有一个革命性发现，所有次原子层级的物理过程有随机性，依循量子力学。物理的波函数是确定的，是数个状态的叠加，但根据哥本哈根诠释，观察会带==================================从随机现象说起　　在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的现象。这类现象是在一定条件下，必　　另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。又如，在同样条件下，进行小麦品种的人　　在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我们说：随机现象就是：在同样　　随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什麼规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随著我们观察的次数　　我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。

概率论的产生和发展　　概率论产生於十七世纪，本来是又保险事业的发展而产生的，但是来自於赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。　　早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：「两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了 a (a　　三年後，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。　　近几十年来，随著科技的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。　　概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类学科。但是应该指出，概率论、数理统计、统计方法又都各有它们自己所包含的不同内容。　　概率论——是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形　　数理统计——是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。　　统计方法——是一上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这些方法的的理论根据、数学论证。　　应该指出，概率统计在研究方法上有它的特殊性，和其它数学学科的主要不同点有：　　第一，由於随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石。但是，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科　　第二，在研究概率统计中，使用的是「由部分推断全体」的统计推断方法。这是因为它研究的对象——随机现象的范围是很大的，在进行试验、观测的时候，不可能也不必要全部进行。但是由这一部分资料所得出　　第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果後，对於每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找概率论的内容　　概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。　　概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概率为这个常数。对於任　　有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做「古典概型」。　　在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。　　随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个　　在离散型随机变量的概率分布中，比较简单而应用广泛的是二项式分布。如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。数理统计的内容　　数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了「小样理论」，　　适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理论分布曲线，从而使整个问题得到瞭解。但根据什麼原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们　　假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。　　方差分析也叫做离差分析，就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。　　由於随机现象在人类的实际活动中大量存在，概率统计随著现代工农业、近代科技的发展而不断发展，因而形成了许多重要分支。如：随机过程、信息论、极限理论、试验设计、多元分析等。