2024年4月12日发(作者：海口小升初数学试卷分析)
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2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题及详解
一、选择题（
1
～
8
小题，每小题
4
分，共
32
分。下列每题给出的四个选项中，只有一
个选项符合题目要求。）
1．函数
x
2
x
1
f
(
x
)
2
1
2
x
1
x
的无穷间断点的个数为（
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【考点】函数间断点类型的判断
）。
【解析】
x
2
x
1
f
(
x
)
2
1
2
x
1
x
x
x
1
1
x
2
有间断点x＝0，±1。则
lim
f
x
lim
x
0
x
0
x
1
x
1
1
1
lim
x
1
2
x
0
x
x
0
lim
x
1
1
/
23
1
1
2
x
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1
lim
x
1
2
1
x
0
x
所以x＝0为第一类间断点。
x
(
x
1)1
lim
f
(
x
)
lim1
2
x
1
x
1
(
x
1)(
x
1)
x
x
12
lim1
2
x
1
x
1
x
2
所以x＝1为连续点。
x
1
lim
f
x
lim
x
x
1
x
1
x
1
x
1
1
1
2
x
所以x＝－1为无穷间断点。故选择B项。
2．设y
1
，y
2
是一阶线性非齐次微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的两个特解，若常数λ，μ
使λy
1
＋μy
2
是该方程的解，λy
1
－μy
2
是该方程对应的齐次方程的解，则（
A．λ＝1/2，μ＝1/2
B．λ＝－1/2，μ＝－1/2
C．λ＝2/3，μ＝1/3
D．λ＝2/3，μ＝2/3
【答案】A
【考点】一阶线性非齐次微分方程的解的结构
【解析】因λy
1
－μy
2
是y′＋p（x）y＝0的解，故（λy
1
－μy
2
）′＋p（x）（λy
1
－μy
2
）＝0。
所以λ（y
1
′＋p（x）y
1
）′－μ（y
2
′＋p（x）y
2
）＝0。而由y
1
′＋p（x）y
1
＝q（x），y
2
′＋p（x）
y
2
＝q（x），所以有（λ－μ）q（x）＝0。
2
/
23
）。
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又因λy
1
＋μy
2
是非齐次y′＋p（x）y＝q（x）的解，故（λy
1
＋μy
2
）′＋p（x）（λy
1
＋μy
2
）
＝q（x）。所以（λ＋μ）q（x）＝q（x）。故λ＝μ＝1/2。
3．曲线y＝x
2
与曲线y＝alnx（a≠0）相切，则a＝（
A．4e
B．3e
C．2e
D．e
【答案】C
）。
【考点】曲线与曲线相切，在切点处函数值相同、导数值相同
【解析】因y＝x
2
与y＝alnx（a≠0）相切，故
1
a
2
xax
x
2
在y＝x
2
上，
x
时，有y＝a/2。在y＝alnx（a≠0）上，
a
2
a
2
x
时，有
3
/
23
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a
1
aaaa
y
a
ln
a
ln
ln
222222
aa
ln
1
e
a
2e
22
所以选择C项。
4
．设
m
，
n
为正整数，则反常积分
1
m
ln
2
(1
x
)
n
0
x
d
x
的收敛性（）。
A．仅与m取值有关
B．仅与n取值有关
C．与m，n取值都有关
D．与m，n取值都无关
【答案】D
【考点】反常积分的收敛性
【解析】分析过程如下。根据题目有
1
m
ln
2
(1
x
)
n
0
x
n
d
x
1
m
2
0
ln
2
(1
x
)
n
x
d
x
1
1
m
ln
2
(1
x
)
n
2
x
d
x
1
m
①对
2
0
ln
2
(1
x
)
x
d
x
进行讨论：被积函数只在
x→0
＋
时无界。因为
m
ln
2
(1
x
)
n
m
x
n
0
0
x
0
lim
ln
2
(1
x
)
x
4
/
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1
又反常积分
2
0
n
2
1
m
1
ln(1
x
)
2
d
x
收敛，所以
d
x
收敛。
n
0
x
x
②对
1
1
m
ln
2
(1
x
)
n
2
x
d
x
进行讨论：被积函数只在
x→1
－
时无界。因为
m
ln
2
(1
x
)
n
x
m
0
x
1
lim1
x
ln
2
(1
x
)
n
x
0
且反常积分
1
1
2
2
1
1
m
ln(1
x
)
d
x
收敛，所以
1
收敛。
d
x
n
1
x
x
2
1
m
综上，无论正整数
m
和
n
取何值，反常积分
ln
2
(1
x
)
n
0
x
d
x
都收敛，故选
D
。
5．设函数z＝z（x，y）由方程F（y/x，z/x）＝0确定，其中F为可微函数，且F
2
′≠0，
则x·（∂z/∂x）＋y·（∂z/∂y）＝（
A．x
B．z
C．－x
D．－z
【答案】B
【考点】隐函数的偏导数计算
【解析】由F（y/x，z/x）＝0得
）。
5
/
23
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z
F
x
F
1
(
y
(
zyz
2
)
F
2
2
)
F
1
F
2
x
F
x
z
F
2
1
x
=
x
x
x
F
2
z
F
F
1
1
y
y
F
x
F
z
F
1
1
2
x
F
2
x
z
z
yF
1
zF
2
yF
F
1
F
2
x
y
y
F
z
z
2
2
F
2
nn
6
．
lim
n
x
）。
i
1
j
1
(
n
i
)(
n
2
j
2
)
（
A
1
x
．
d
1
0
x
0
(1
x
)(1
y
2
)
d
y
1
B
．
x
1
0
d
x
0
(1
x
)(1
y
)
d
y
11
C
．
1
0
d
x
0
(1
x
)(1
y
)
d
y
1
1
D
．
1
0
d
x
0
(1
x
)(1
y
2
)
d
y
【答案】D
【考点】利用积分定义求极限
【解析
6
/
23
】
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