2023年12月23日发(作者：典重点4上数学试卷答案)

1.4 课时4 含绝对值不等式的解法

一、教学目标

（一）核心素养

充分运用观察、类比、猜想、分析证明数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想.

（二）学习目标

1.理解并掌握xa和xa型不等式的解法。

2.充分运用观察、类比、猜想、分析证明数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想.

3.能解常见的含绝对值不等式。

（三）学习重点

含绝对值不等式的解法

（四）学习难点

理解并运用含绝对值不等式的解法

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第15页至第19页，填空：

|x|1

，|x|1 ；分别有怎样的几何意义？

（2）想一想：解含绝对值不等式的最基本的思想方法是什么？

【答案】零点分段法，对绝对值进行讨论.

2．预习自测

（1）代数式|x+2|的几何意义是表示 .

【知识点】绝对值的几何意义

【数学思想】数形结合思想

【解题过程】代数式|x+2|的几何意义是表示数轴上的一点到-2所对应的点的距离

【思路点拨】注意绝对值的几何意义

【答案】数轴上的一点到-2所对应的点的距离．

（2）不等式|x|2的解集是（ ）

1 / 13

A．(,2] B．[2,) C．(,2][2,) D．[2,2]

【知识点】绝对值的几何意义

【数学思想】数形结合思想

【解题过程】|x|2表示数轴上的一点到0所对应的点的距离不大于2，所以2x2

【思路点拨】注意绝对值的几何意义

【答案】D．

（3）不等式|x4||x6|2的解集为（ ）

A．(,4] B．[6,)

【知识点】绝对值三角不等式

C．R D．(,4]6,)

（x6）|2，所以不等式恒成立. 【解题过程】y|x4||x6||(x4)【思路点拨】注意绝对值三角不等式的应用

【答案】C

(二)课堂设计

1.知识回顾

x，如果x0（1）绝对值的意义。

x0，如果x0.

x，如果x0几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

（2）如果a,b是实数，则|ab||a||b|，当且仅当ab0时，等号成立.

（3）如果a,b,c是实数，那么|ac||ab||bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立.

2．问题探究

探究一 解含绝对值不等式的基本思想

●活动① 含绝对值不等式的几何意义

我们知道，对于不等式|x|1，由绝对值的几何意义，它的解集是数轴上到原点距离小于1的集合，即(1,1)；对于不等式|x|1，由绝对值的几何意义，它的解集是数轴上到原点距离大于1的点的集合，即(,1)(1,).

2 / 13

一般地，如果a0，那么从绝对值的几何意义看，|x|a表示数轴上到原点距离小于a的点的集合，|x|a表示数轴上到原点距离大于a的点的集合，因而

|x|aaxa;|x|axa或xa.

因此，不等式|x|a的解集为(a,a)；不等式|x|a的解集为(,a)(a,).

上述绝对值不等式是解其他绝对值不等式的基础，即其他绝对值不等式的解一般可以通过转化为上述不等式而得到.例如，a是一个正实数，对于绝对值不等式|xx1|a，我们有

|xx1|aaxx1ax1axx1a.

利用上述绝对值不等式及绝对值的几何意义，可以解一些含有绝对值得不等式.

【设计意图】掌握解含有绝对值不等式的基本思想.

●活动②

|axb|c型不等式的解法

例1 解不等式|3x1|2

【知识点】含绝对值不等式的解法

1【解题过程】|3x1|223x1213x3x1.

3【思路点拨】如果把|3x1|看成一个整体X，那么所解不等式就是|X|2.

1【答案】不等式的解集为[,1].

3121从几何上看，如果将|3x1|2两边除以3，得到|x|，它的解集是数轴上到坐标为的3332点的距离不大于的点的集合.

3同类训练 解不等式|27x|5

【知识点】含绝对值不等式的解法

3【解题过程】|27x|527x5或27x57x7或7x3x或x1.

7【思路点拨】如果把|27x|看成一个整体X，那么所解不等式就是|X|5.

3【答案】不等式的解集为(,)(1,).

7【设计意图】通过例题的讲解，加深对解绝对值不等式的理解．

探究二 其他单绝对值不等式的解法

3 / 13

●活动①

|f(x)|c型不等式的解法

例2 解不等式|x22x|3.

【知识点】含绝对值不等式的解法

【解题过程】|x22x|3x22x3或x22x3，所以x22x30或x22x30，

所以无解或x1或x3.

【思路点拨】如果把|x22x|看成一个整体X，那么所解不等式就是|X3.

【答案】不等式的解集为(,1][3,).

同类训练 解不等式|log3(2x1)|1

【知识点】含绝对值不等式的解法

【解题过程】|log3(2x1)|11log3(2x1)1132x1323x2

【思路点拨】如果把|x22x|看成一个整体X，那么所解不等式就是|X3.

【答案】不等式的解集为(23,2).

【设计意图】对含绝对值基本不等式的基础类型的延伸．

●活动②

|f(x)|g(x)型不等式的解法

由上述可知，当a0时，|f(x)|aaf(x)a；当a0时，|f(x)|a无解，af(x)a.同理，|f(x)|a也有相类似的结论.一般地，

|f(x)|aaf(x)a;|f(x)|af(x)a或f(x)a，其中aR.

例3 解不等式3x1x2.

【知识点】含绝对值不等式的解法

【解题过程】|3x1|x2x23x1x2x23x13x1x214x32.

【思路点拨】利用“|f(x)|aaf(x)a;|f(x)|af(x)a或f(x)a”求解

【答案】不等式的解集为(134,2)

同类训练 解不等式2x13x.

4 / 13

满足

【知识点】含绝对值不等式的解法

【解题过程】|2x1|3x2x1x3或2x13xx2或x【思路点拨】利用“|f(x)|af(x)a或|f(x)|a”求解

4【答案】不等式的解集为(,2][,)

34.

3【设计意图】对含绝对值基本不等式的基础类型的延伸．

探究三 解含有双绝对值的不等式

●活动① 绝对值嵌套不等式的解法

例4 解不等式||3x1|2|3

【知识点】绝对值三角不等式

【解题过程】

||3x1|2|33|3x1|235|3x1|1|3x1|113x11

03x20x2

3【思路点拨】先将|3x1|2看成整体X，先解|X|3，再依次求解.

2【答案】不等式的解集为0,

3同类训练 解不等式||2x8|1|7

【知识点】绝对值三角不等式

【解题过程】

||2x8|1|7|2x8|17或|2x8|17|2x8|6或|2x8|8

2x88或2x882x0或2x16x4

【思路点拨】先将|2x8|1看成整体X，先解|X|7，再依次求解.

【答案】不等式的解集为(4,)

【设计意图】了解绝对值嵌套不等式的解法．

●活动②

|f(x)||g(x)|型不等式的解法

由不等式的基本性质可知，ab0a2b2，即当不等式均为非负数时，两边平方不改变不 5 / 13

等号的方向.

例5 解不等式|2x1||3x2|.

【知识点】含绝对值不等式的解法.

【解题过程】|2x1||3x2||2x1|2|3x2|24x24x19x212x4

15x216x30(5x1)(x3)0x3或x

5【思路点拨】利用“|a||b|a2b2”求解

1【答案】(,3)(,)

5同类训练 解不等式|25x||43x|0.

【知识点】含绝对值不等式的解法.

【解题过程】|25x||43x|0|25x||43x|(25x)2(43x)2

(25x)2(43x)20(25x43x)(25x43x)0(62x)(28x)0

1(x3)(4x1)0x或x3

4【思路点拨】利用“|a||b|a2b2”求解

1【答案】(,][3,)

4【设计意图】了解|f(x)||g(x)|型不等式的解法

●活动③

|axb||cxd|e型不等式的解法

例6 解不等式|x1||x2|5.

【知识点】含绝对值不等式的解法

【数学思想】数形结合思想

【解题过程】

解法一：设数轴上1，-2对应的点分别是A,B，那么不等式的解就是数轴上到A,B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数，A,B两点的距离为3，因此区间[2,1]上的数都不是原不等式的解，此时将A向右移动一个单位的点满足题意，将B向左移动一个单位的点也满足题意，这两点之间的点满足题意.解集为[3,2]

6 / 13

解法二：（零点分段法）

x22x1x1或或，

|x1||x2|51xx251xx+25x1x25所以3x2或2x1或1x2，即3x2

故不等式的解集为[3,2]

2x1,x2解法三：函数y|x1||x2|1,2x1，函数图像如下图所示：

2x1,x1

不等式的解集即为函数y|x1||x2|在直线y5下方的部分所对应的横坐标的取值范围.所以不等式的解集为

[3,2].

【思路点拨】注意零点分段法及数形结合思想在解决绝对值不等式时的作用

【答案】[3,2]

同类训练 解不等式|2x1||x2|5.

【知识点】含绝对值不等式的解法

【数学思想】数形结合思想

【解题过程】

3x1,x21函数y|2x1||x2|33x,2x，函数图像如下图所示：

213x1,x2 7 / 13

不等式的解集即为函数y|2x1||x2|在直线y5上方的部分所对应的横坐标的取值范围.4所以不等式的解集为

[2,].

3【思路点拨】注意零点分段法及数形结合思想在解决绝对值不等式时的作用

4【答案】[2,]

3【设计意图】掌握零点分段，数形结合等方法解双绝对值的不等式问题．

3. 课堂总结

知识梳理

（1）|x|aaxa;|x|axa或xa.

（2）掌握各种类型的含绝对值不等式的解法（|axb|c、|f(x)|c、|f(x)|g(x)、绝对值嵌套不等式、|f(x)||g(x)|、|axb||cxd|e等）.

（3）利用零点分段法与数形结合解含绝对值的不等式．

重难点归纳

（1）含绝对值不等式的解法

（2）理解并运用含绝对值不等式的解法

（三）课后作业

基础型 自主突破

1．不等式|3x2|4的解集是( )

222A.{x|x2} B.{x|x} C.{x|x或x2} D.{x|x2}

333【知识点】含绝对值不等式的解法

8 / 13

2【解题过程】由|3x2|4得，3x24或3x24，所以x2或x.

3【思路点拨】掌握含绝对值不等式的解法

【答案】C

2．不等式|x1||x5|2的解集是( )

A．(,4) B．(,1) C．(1,4) D．(1,5)

【知识点】含绝对值不等式的解法

【解题过程】当x1时，原不等式化为1x(5x)2即－4＜2，不等式恒成立；当1x5时，原不等式即x1(5x)2，解得1x4；当x5时，原不等式化为x1(x5)2即4＜2，显然不成立，综上可得不等式的解集为(,4)．

【思路点拨】掌握含绝对值不等式的解法

【答案】A

3．设xR，则“|x2|1”是“x2x20”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【知识点】含绝对值不等式的解法；一元二次不等式的解法；充分必要条件

【解题过程】因为|x2|1等价于1x3，x2x20等价于x2或x1，所以“|x2|1”是“x2x20”的充分不必要条件．

【思路点拨】掌握含绝对值不等式的解法及一元二次不等式的解法

【答案】A

4．若不等式|x1|a成立的充分条件是0x4，则实数a的取值范围是( )

A．a1 B．a3 C．a1

【知识点】含绝对值不等式的解法；充分必要条件

【数学思想】转化与化归思想

D．a3

1a0【解题过程】由题意，可知0x4是(1a,1a)的子集，所以，解得a3．

1a4【思路点拨】掌握含绝对值不等式的解法

【答案】B

9 / 13

5．如果关于x的不等式|xa||x4|1的解集是全体实数，则实数a的取值范围( )

A．(,3][5,) B．[5,3] C．[3,5] D．(,5][3,)

【知识点】绝对值三角不等式；恒成立问题.

【解题过程】利用数轴，结合绝对值的几何意义可得答案.

【思路点拨】掌握含绝对值不等式的几何意义

【答案】D

6．若不等式|kx4|2的解集为[1,3]，则实数k______．

【知识点】含绝对值不等式的解法.

【解题过程】|kx4|22kx422kx6，又1x3，所以k2.

【思路点拨】掌握含绝对值不等式的解法

【答案】2

能力型 师生共研

7．若不等式|x1||xa|2a3对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围________．

【知识点】绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法.

【解题过程】因为|x1||xa|的最小值为|1a|，所以|1a|2a3

1a2a3或1a32a，所以a4或a2，综上可知a4．

3【思路点拨】掌握绝对值三角不等式求最值及含绝对值不等式的解法

【答案】a4.

8．若关于x的不等式|x3||x1||a23a|的解集是∅，则a的取值范围是________．

【知识点】绝对值三角不等式；含绝对值不等式的解法；恒成立问题.

【解题过程】由题意得，|x3||x1||a22a|恒成立，(|x3||x1|)min4，所以|a23a|44a23a4，即a23a+40且a23a40，解得4a1.

【思路点拨】掌握绝对值三角不等式求最值及含绝对值不等式的解法

【答案】4a1.

探究型 多维突破

9．若关于x的不等式|2x2||x1|a23a对解集非空，则实数a的取值范围为( )

10 / 13

A．(,2][1,) B．(2,1) C．[2,1] D．(,1][2,)

【知识点】一元二次不等式的解法

x3,x1【解题过程】y|2x2||x1|3x1,1x1，所以函数的最小值为2，a23a2，解x3,x1得a2或a1.

【思路点拨】掌握零点分段法及含绝对值不等式的解法

【答案】A

10.若f(x)|x1|2|xa|的最小值为5，则实数a________．

【知识点】含绝对值不等式的解法.

【数学思想】分类讨论思想

【解题过程】当a1时，

3x2a1,xaf(x)|x1|2|xa|x2a1,ax1.所以f(x)在(,a)上单调递减，在(a,)上单调3x2a1,x1递增，则fmin(x)f(a)a15，得a6,满足a1；

当a1时，

3x2a1,x1f(x)|x1|2|xa|x2a1,1xa，所以f(x)在(,a)上单调递减，在(a,)上单3x2a1,xa调递增，则则fmin(x)f(a)a15，得a4,满足a1；

综上所述，实数a的值为－6或4.

【思路点拨】注意分类讨论时要条理清楚

【答案】－6或4

自助餐

11.已知a6，化简|6a2|得 ( )

A.

6a B.a6

【知识点】绝对值的意义

【解题过程】当a6时，|6a2||6|a|||6a|a6.

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C.a6 D.a6

【思路点拨】注意a2|a|这一结论的使用

【答案】B

12．不等式|83x|0的解集是( )

8A.(,]38 B.

[,) C.

 D.

38

3【知识点】含绝对值不等式的解法

8【解题过程】因为|83x|0，|83x|0，所以|83x|0，即x.

3【思路点拨】掌握含绝对值不等式的解法

【答案】D

13.设A{x||x2|3},B{x||x1|1}，则AB等于( )

A.(1,5) B.(,0][2,) C.(1,0] D.(1,0][2,5)

【知识点】含绝对值不等式的解法；集合的交集.

【解题过程】A{x||x2|3}(1,5)，B(,0][2,)，所以AB(1,0][2,5).

【思路点拨】掌握含绝对值不等式的解法及集合的交集的求法

【答案】D

14.不等式|x1||2x3|的解集是 .

【知识点】含绝对值不等式的解法.

【解题过程】

|x1||2x3||x1|2|2x3|2(2x3)2(x1)20(2x3x1)(2x3x1)0

2(3x2)(x4)04x.

3【思路点拨】掌握含绝对值不等式的解法

2【答案】(4,)

3xx15．解不等式|.

|x1x1【知识点】含绝对值不等式的解法.

【数学思想】

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【解题过程】|xxx|0x(x1)01x0.

x1x1x1【思路点拨】掌握绝对值的几何意义

【答案】(1,0)

16.已知函数f(x)|2xa|a.

(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；

(2)设g(x)|2x1|，当xR时，f(x)g(x)3，求实数a的取值范围．

【知识点】含绝对值的不等式解法；恒成立问题；绝对值三角不等式.

【解题过程】(1)当a2时，f(x)|2x2|26，得1x3.

因此f(x)6的解集为[1,3]．

（2）f(x)g(x)|2xa||2x1|a|a1|a.

所以当xR时，f(x)g(x)3等价于|a1|a3|a1|3a

a13a或a1a3，解得a2，所以a的取值范围是[2,)．

【思路点拨】掌握含绝对值不等式的解法

【答案】（1）[1,3]；（2）[2,)

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