2024年4月7日发(作者：四升五数学试卷下载)

垂线

1.理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.

2.掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.

3.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.

自学指导：阅读教材第3至6页,完成下列问题.

知识探究

1.当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线

的垂线，它们的交点叫做垂足.

2.如图，直线AB、CD互相垂直，记作AB⊥CD，垂足为点O.

3.经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即

性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

4.如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O、A、B、C…,其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比

较线段PO、PA、PB、PC…的长短，这些线段中，PO最短.

性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短.

5.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.如上图，PO的长度叫做点P到直线l的距离.

自学反馈

1.下面四种判断两条直线垂直的方法中正确的有A.

(1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直.

(2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直.

(3)两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直.

(4)两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直.

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

2.若直线m、n相交于点O，∠1＝90°，则m⊥n.

1

3.若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么∠BOD＝90°.

4.如图，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶5，那么∠COA＝72°,∠BOC的补角为162°.

5.过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是(C)

6.已知点A，与点A的距离是5 cm的直线可画(D)

A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条

7.如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,线段AC、BC、CD中最短的是(C)

D.不能确定

活动1 垂线的定义

(1)教师利用多媒体演示,学生观察思考:固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a、b所成的角α是如何变化的?

其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?

当b的位置变化时,∠α从锐角逐渐变为钝角,其中∠α是直角是特殊情况，其特殊之处在于:当∠α

是直角时,它的邻补角、对顶角都是直角,即a、b所成的四个角都是直角,都相等.

2

(2)师生共同给出垂直的定义及垂直的表示方法.

1.垂直的定义：

当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，

它们的交点叫垂足.

如图，a、b互相垂直,O是垂足，a是b的垂线，b也是a的垂线.

从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个夹角中的一个角是

直角.

2.垂直的表示：

用“⊥”和直线字母表示垂直.如上图，a、b互相垂直,垂足为点O，则记为a⊥b或b⊥a.

若要强调垂足，则记为a⊥b,垂足为点O.

活动2 动手操作画垂线

例1 过B点画已知直线的垂线.

解：如图所示.

1.过直线上一点，画这条直线的垂线的步骤：

(1)把三角尺的一条直角边与已知直线重合；

(2)沿直线移动三角尺，使三角尺的直角顶点和直线上的已知点重合；

(3)从直角顶点起沿三角尺的另一条直角边画一条直线；

(4)拿走三角尺，在垂足处标出垂直符号.

2.过直线外一点，画这条直线的垂线的步骤：

(1)把三角尺的一条直角边与已知直线重合；

(2)沿直线移动三角尺，使三角尺的另一条直角边经过直线外一点；

(3)沿三角尺的另一条直角边画一条直线；

(4)拿走三角尺，在垂足处标出垂直符号.

活动3 小组讨论

例2 如图，在河岸l的同侧有一村庄A和自来水厂B.现要在河岸l上建立一抽水站D，将河中的水输送到自来水

厂后，再送往A村，为了节省资金，所铺设的水管应尽可能的短.问抽水站D应建在何处，应沿怎样的路线来铺设

3

水管?在图中画出来.

解：如图所示，过点B画l的垂线，则垂足D为抽水站的位置.连接AB.沿D-B-A的路线铺设水管，可使所用的水管

最短.

要使水管最短，则抽水站与自来水厂间的路程应最短，自来水厂与A村的路程应最短.需要运用“垂

线段最短”和“两点间线段最短”的数学原理.

活动4 跟踪训练

1.如图，计划把池中的水引到C处，可过点C作CD⊥AB于点D，然后沿CD开渠，可使所开的渠道最短.这种设计的

依据是垂线段最短.

2.如图，OD⊥BC，垂足为点D，BD=6 cm，OD=8 cm，OB=10 cm，那么点B到OD的距离是6 cm，点O到BC的距离是

8 cm，O、B两点之间的距离是10 cm.

3.如图1，307国道a上有一出口M，现想在附近公路b旁建一个加油站，欲使通道长最短，应沿怎样的线路施工?

由垂线段最短知，可过点M作b的垂线，垂足为N，则MN即为所求.

解：如图2，过点M作MN⊥b，垂足为N，则欲使通道最短，应沿线路MN施工.

活动5 课堂小结

教学至此，敬请使用学案当堂训练部分

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