《概率论与数理统计》学习指导

2024年1月25日发(作者：今年上海高考理科数学试卷)

《概率论与数理统计》学习指导

一、教学目的与课程性质、任务。

教学目的：本课程为学生讲授概率论与数理统计的基本概念、基本方法、基本技巧和基本理论。主要培养学生对随机数学理论的掌握和实际问题的分析与理解能力，尽量引导学生针对实际随机现象进行科学的分析，从而达到增强学生动手能力和提高学生数学思维能力。

二、教学要求

概率论与数理统计是在理论基础上实践性很强的课程,它主要讲授随机现象统计规律性的一门数学科学。要求学生能够奠定较扎实的概率论理论基础，同时也能利用随机变量及其分布有关理论知识讨论数理统计中的有关统计推断问题。要求学生能对现实中的工程实际问题、保险问题、金融问题、可靠性问题等方面利用合理的概率论和数理统计有关理念予以解释和分析。

在教学环节上,对学生的学习提出“掌握”和“了解\"两个层次上要求，所谓“掌握”,是指学生在课后，必须能将所学内容用自己理解后的数学术语复述出来，这是将所学知识熟练应用到实践中的基础。所谓“了解”，是要求学生对所学内容有初步的认知，不要求完全复述出来，但在遇到相关问题时要求能够辨识。教学以课堂讲授为主，辅之以课堂具体的事例分析等方式.

三、教学进度表

讲课顺序

第一次课

讲课时数

2

授课内容

I、概率论研究的对象、简史、应用的范围以及发展缓慢的原因;学习概率论方法

随机事件与样本空间、随机事件的关系与运算

古典概率的定义、 古典概率的性质

几何概率统计概率，概率的公理化定义，习题

第二次课

第三次课

第四次课

2

2

2

第五次课

第六次课

第七次课

第八次课

第九次课

第十次课

第十一次课

第十二次课

第十三次课

第十四次课

第十五次课

第十六次课

第十七次课

第十八次课

第十九次课

第二十次课

第二十一次课

2

2

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2

2

2

2

II、条件概率、乘法定理、全概率公式

贝叶斯公式、事件的独立性、二项概率公式

泊松近似公式的应用、习题、III随机变量概念

离散型随机变量,分布函数，连续型随机变量

正态分布，随机变量函数的分布

随机变量函数的分布、习题

IV 多维随机变量、分布函数，边缘分布函数,二维离散型与连续型随机变量

二维均匀分布，随机变量的独立性,n维随机变量。

两个随机变量和的分布,习题

V、离散型随机变量的数学期望

连续型随机变量的数学期望，随机变量函数的数学期望，数学期望的性质

方差的概念及其性质、协方差和相关系数,

相关系数的性质、矩的概念、习题，

VI 切比晓夫不等式与大数定律、中心极限定理简介，

VII总体与样本、统计量，χ2、T和F分布（三大分布）

抽样分布定理 VIII点估计(矩估计、极大似然估计)

矩估计、极大似然估计（续),鉴定估计量的标准

复习课：总结、概率论和数理统计典型例题讲解。

四、教学内容与讲授方法

讲课顺序 教学内容 授课方法

讲课顺序

第一讲

教学内容 授课方法

导论：学习概率论与数理统计的重要引导式:首先介绍概率论性；概率论与数理统计的主要内容；与数理统计研究的对象、简如何来学习概率论与数理统计。

史;然后根据具体的各方面事例来讨论其应用的范围、重要性以及发展缓慢的原因；从而利于激发学生学习的积极性.

第二讲 随机事件与样本空间、事件的关系与案例教学： 通过具体的运算 例子来引入随机试验、样本空间、随机事件等概念，说明用集合语言来描述随机现象的重要性.

第三讲 古典概率的定义、 古典概率的性质 讲述和引导式：通过现实中的公平赌博现象引入古典概率的定义并讲述几个经典习题以及讲述利用古典概率性质解题的便利性。

第四讲 几何概率、统计概率、概率的公理化数与形结合教学：通过历定义、习题 史上的经典试验引入几何概率、统计概率的定义并介绍其局限性，从而说明建立概率的公理化定义的必要性，教学中注意数与形相结合的模式。

讲课顺序

第五讲

教学内容

条件概率、乘法定理、全概率公式

授课方法

讲述教学：首先应讲清条件概率的思想含义以及满足的基本性质,然后讲述三公式的作用及意义并通过具体的例题予以说明。

第六讲 贝叶斯公式、事件的独立性、二项概启发式教学：通过故障诊率公式 断、医疗专家系统等问题来引出贝叶斯公式，也通过大量独立的现象和重复独立的试验来介绍独立性和二项概率公式.

第七讲 泊松近似公式的应用、习题、III随机启发式教学：通过介绍二变量概念 项概率公式在成功事件是稀有事件且试验重数较大时泊松近似公式的应用（保险问题等）,使学生加深对概率的理解。而随机变量概念

第八讲 离散型随机变量，分布函数,连续型随讲述式：首先介绍两类随机变量 机变量概念及其概率分布，然后讨论一般随机变量概率分布—分布函数及其性质.

讲课顺序

第九讲

教学内容

正态分布，随机变量函数的分布

授课方法

引导式与启发式教学:从正态分布在概率论中的历史地位以及正态分布的直观特征、广泛应用来研究。同时也应研究随机变量函数的分布引入的物理与计算机科学中的意义。

第十讲

第十一讲

随机变量函数的分布、习题 讲述教学。

IV 多维随机变量、分布函数，边缘分类比教学： 通过将多维布函数，二维离散型与连续型随机变随机变量与随机变量相量 类比，不难引出多维随机变量的新概念。

第十二讲 二维均匀分布,随机变量的独立性,n维启发式教学：与一维均匀随机变量。 分布类比； 随机变量的独立性来源于随机事件的独立性.

第十三讲

两个随机变量和的分布，习题

V、离散型随机变量的数学期望

启发式教学：举例说明两个随机变量和的分布（离散与连续型），并用事例说明数学期望的实际含义与重要性.

第十四讲

第十五讲

连续型随机变量的数学期望，随机变讲述教学。

量函数的数学期望，数学期望的性质

方差的概念及其性质、协方差和相关启发式：回顾数学期望的系数,

概念;讲清方差、协方差和相关系数的概念、性质及数学含义;

讲课顺序

第十六讲

教学内容

相关系数的性质、矩的概念、习题,

授课方法

启发式：相关系数性质的证明过程可看出其思想含义。

第十七讲

VI 切比晓夫不等式与大数定律、中启发式教学+讲述教学:心极限定理简介，

通过具体工程事例与概率概念的精确解释,以及二项概率的一般近似出发，来掌握大数定律、中心极限定理基本内容。

第十八讲

VII总体与样本、统计量，χ2、T和F启发式教学：举例说明数分布（三大分布）

理统计基本知识及意义。

抽样分布定理 VIII点估计（矩估计、讲述教学： 强调抽样分极大似然估计)

布的重要结果及矩估计、极大似然估计基本思想方法及其方法产生的简史。

第十九讲

第二十讲

矩估计、极大似然估计（续)，鉴定估讲述教学:讲清估计量标计量的标准

准产生的原因及重要性。

第二十一复习课：总结； 概率论和数理统计典通过具体的习题将学习讲 型例题讲解。 内容复习一遍并将整个内容串讲一次。

五、课程的重点内容及习题

（一)

课程的重点内容

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

讲授的重点内容及考察的主要知识点

导论

§1.1 随机事件,§1.2 事件的关系与运算

§1。3 古典概率

§1.4 几何概率

§2。1 条件概率，乘法定理 §2.2 全概率公式

§2。3 贝叶斯公式 §2。4 事件的独立性

§2。5 重复独立试验，二项概率公式

§3。1 随机变量的概念

§3。2 离散型随机变量 §3.3 随机变量的分布函量

§3.4 连续性随机变量 §3。5 正态分布

§3。6 随机变量函数的分布

§4.1 多维随机变量及其分布函数、边缘分布函数§4。2 二维离散型随机变量§4.3 二维连续型随机变量4.3.1 概率密度及边缘概率密度

4.3.2 二维均匀分布 §4.5 随机变量的独立性

§4。6 二维随机变量函数的分布 4。6。1和的分布 4。6.2 瑞利分布4.6.3极大极小分布

§5.1 数学期望5.1。1 离散型随机变量的数学期望5。1.2 连续型随机为量的数学期望

5.1。3 随机变量函数的数学期望5。1。4 数学期望的性质

§5.2 方差5。2.1方差的概念 5。2.2方差的性质

§5.3协方差和相关系数 6。1.1切比晓夫不等式

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19 §7。3χ2、T和F分布7.3.1χ2分布7。3。2 T分布7.3.3 F分布§7。4 统计量及抽样分布

§8。1点估计 8。1.1矩估计法 8.1。2极大似然估计法

8.1。3 鉴定估计量的标准; 总复习

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21

（二)

课程的习题（71道题)［2]第一章 随机事件与概率

P28—31 2、6、10、11、13、14、15、16、18、20

第二章 条件概率与独立性

P53—56 2、4、6、7、10、12、13、17、18、23、25

第三章 随机变量及其分布

P88—92 3、5、7、9、10、15、16、17、24、27、30

第四章 多维随机变量及其分布

P124—128 1、3、5、7、13、15、20、26

第五章 随机变量的数字特征

P155-159 2、5、11、13、15、17

20、21、23、25、28、29

第七章 数理统计的基本概念

P200-203 6、8、9、10、12、13、15

第八章 参数估计

P224—227 1、2、4、5、8、19、20

第九章 假设检验

P254—257 1、3、5、7、8

六、本课程的几点说明

1. 本课程的板书为中英文

目的是了解概率论与数理统计常用词汇、为将来外文文献的阅读与相关问题研究打下扎实的基本功.

2。 关于学习概率论与数理统计应该具备的基础

概率论与数理统计是属于现代数学的一个重要分支,其研究和学习必须具备良好的高等数学和线性代数理论基础。

3. 关于概率论与数理统计的研究对象

是一门研究随机现象统计规律性的、理论与实际相结合的、应用性很强的数学学科。

4. 关于先行和后续课程

先行课程:《高等数学》、《线性代数》等；

后续课程:《数理统计》、《随机过程》、《随机分析》、《时间序列分析》、《应用概率统计》等.

5。 本课程的教学计划

本课程分概率论(随机事件与概率、条件概率与独立性、随机变量及其分布、多位随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定理及中心极限定理）和数理统计（数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、一元线性回归)两大部分.

6. 使用教材:

[1] 许承德 王勇，概率论与数理统计,科学出版社，2001年

[2] 曹彬 许承德 主编，概率论与数理统计，哈尔滨工业大学出版社，1997年

[3］ 哈工大数学系概率与复变教研室编,概率论与数理统计习题解答,哈工大出版社,2003年

7。 对学生的修课建议

建议学生温习高等数学和线代的内容,并要求预先掌握排列与组合基本内容和主要结论。

七、学习主要参考书

[1] 许承德 王勇，概率论与数理统计，科学出版社,2001年

［2] 曹彬 许承德 主编，概率论与数理统计，哈尔滨工业大学出版社,1997年

［3］ 哈工大数学系概率与复变教研室编，概率论与数理统计习题解答，哈工大出版社，2003年

[4］浙江大学数学系高等数学教研组编，工程数学概率论与数理统计，人民教育出版社,1980年

[5］袁荫棠编，经济应用数学基础（三）：概率论与数理统计，中国人民大学出版社，1989年

［6］ 陆璇编著，数理统计基础，清华大学出版社，2001年

［7] Michael ,Probability：The Science of Uncertainty with

Applications to Investments,Insurance，and Engineering，Brooks/Cole,2003

[8] John ,Mathematical Statistics and Data Analysis,2E,Thomson，2003

八、成绩考核办法

1．平时成绩 20分

2．期末结业考试 80分