(整理)经济数学-微积分期末考试试卷与答案

2024年4月12日发(作者：初二数学试卷解方程答案)

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经济数学--微积分期末测试

第一学期期末考试试题 ( B )

试题号

考 分

阅卷人

一

二

三

四

总分

一.选择题

（

每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题

2

分，共

30

分

）





9x

2

x3

1.

函数

f(x)



2

的定义域是（A）；





x93x4

(A)

[3,4)

(B)

(3,4)

(C)

(3,4]

(D)

(4,4)

2.

函数

y

1

的渐近线有（Ａ）；

4x

2

（B）2条（C）1条（D）0条

（A）3条

3.

设函数

ylog

a

(x1x

2

)(a0,a1)

,则该函数是(A)

(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既奇又偶函数

4.

下列函数中，与

yx

3

关于直线

yx

对称的函数是（A）；

(A)y

3

x(B)x

3

y(C)yx

3

(D)xy

3

5.

若

f(x)x2

，则点

x2

是函数

f(x)

的（Ｂ）；

(A)

左连续点

(B)

右连续点

(C)

驻点

(D)

极值点

32

yaxbx

6.

已知点（1，3）是曲线的驻点，则

a,b

的值是（B）

（A）

a3,b9

（B）

a6,b9

（C）

a3,b3

（D）

a6,b3

7.

当

x0

时，下列函数极限不存在的是（C）；

(A)

sixn

x

1

B()xsin

x

1

C

1

()

e

x

1

D(

)xtan

ln

x

1x

（C）

8.

极限

lim

；

x0

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(A)1(B)0(C)1(D)

不存在

9.

下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（C）；

(A)x

(B)

1

x

2

(C)x

2

2(D)(x3)

2

10．

若函数

f(x)

在点

x

0

处可导，则极限

xx

(A)

lim

0

f(x

0

2x)f(x

0

2x)

2x

＝（C）；

)C



(

0

f)2x(

1



0

(f)x)D

2

()



4f

0

x()B(



)f

0

3x(

11.

x0

时，下列函数中，与

x

不是等价无穷小量的函数是（C）

(A)

tanx

(B)

ln(1x)

(c)

xsinx

(D)

sinx

12.

下列极限中，极限值为

e

(A)lim(1x)

x

1

x

的是（Ｄ）；

x

(B)lim(1x)

x

1

x

(C)lim(1)

x0

x

(D)lim



(1x)

x0

1

x

13.

若

y

lnx

，则

dy

＝（D）；

x

lnx11lnx

(A)(B)

xx

2

(C)

lnx1

dx

2

x

(D)

1lnx

dx

2

x

14.

函数

f(x)x

2

，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中



＝（Ｄ）；

(A)

1

4

(B)

1

3

(C)

2

3

(D)

1

2

2







（Ｄ）

15.

若函数

f(x)

在

(,)

内连续，则



．

xf(x)dx







(A)[2xf(x)x

2

f



(x)]dx

(B)2xf(x)x

2

f



(x)(C)x

2

f(x)dx(D)x

2

f(x)

二.计算题

（

每小题

7

分，共

56

分

）

1.

yx1xe

2

1

1x

，求

y



1

1x

解：

y



(x1x)



(e

2

)



1xx(1x)



e

1

1x

1

1x

22

1

1x

(

1

)



２分

1x

1x

2

2x

2

21x

2



ee

2

1x

(1x)

2

(1x)

2

7分

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(1x

2

)

2.

求极限

x

lim



e

解：

lim(1x)lime

xx

２分

2

1

x

ln(1x

2

)

x

ln(1x

2

)

x

x

lim

1

x

e

x

1x

2

lim

2x

5分

e

0

1

7分

3.

求曲线

yxx

4

y

20

1

在

x1

对应的点处的切线方程．

解：

x0

时，代入方程得

y1

；方程两边对

x

求导得

y



14xy

320

20x

4

y

19

y



0

，将

x0与y1

代入，得

２分

y



x0

y1

1

， 故所求的切线方程为

５分

７分

y1x

，即

yx1

4.

设函数

f(x)





ax2

2



xb

x1

在

x1

处可导，求常数

a

和

b

x1

解：由已知

f(x)

在

x1

连续，且

x1

2

limf(x)lim(xb)1b



x1

x1



limf(x)lim(ax2)a2



x1

可得

b3a

①

３分

又因

f(x)

在

x1

处可导，且

22

xba2x3aa2

f





(1)limlimlimx12

x1



x1



x1



x1x1

(ax2)a2

f





(x)lima

６分

x1



x1

又得

a2

代入① 得

b1

故

a2b1

７分

5.

求函数

yln(14x

2

)

的上凸区间、下凸区间与拐点．

8x

,

解：

y





14x

2

列表讨论如下：

x

8(14x

2

)

y



,

(14x

2

)

2

令y



0,

1

得x

2分

2

1

(,)

2

1



2

11

(,)

22

1

2

1

(,)

2

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y



y

_

0

拐点

1

(,ln2)

2

+

-0

拐点

1

(,ln2)

2

_

7分

6.

求

解：



tanx

x

dx

sinx

cosx

2分



tanx

x

dx2



dx2



dcosx2lncosxc

7分

cosx

4分

1

x

7.

求



esinxdx

解：

e

x

sinxdxsinxde

x

e

x

sinxe

x

cosxdxe

x

sinxcosxde

x

2分

e

x

sinxe

x

cosxe

x

sinxdx

5分





移项可得



e

x

sinxdx(sinxcosx)e

x

c

7分

2x

8.

已知

xe

是

f(2x)

的一个原函数，求



f()e

x

dx

1

2

x

2

解：f(2x)(xe

2x

)



e

u

2x

2xe

x2

e

x2

(12x)

x

xx

f(u)e(1u)f()e

2

(1)

２分

22

xxx



x

x

xxx

x





f()edx



e

2

(1)edx



(1)e

2

dx2



(1)de

2

2222

xxxx



x



2

xx

2[(1)e



e

2

d()]2[(1)e

2

e]

2

c

６分

222

xx



x



2

2(2)ec(4x)e

2

c

７分

2

三.证明题

（

本题

6

分

）

设函数

f(x)

在区间

[0,c]

上连续，其导数

f



(x)

在

(0,c)

内存在且单调减少，又

f(0)0

，

证明不等式：

f(ab)f(a)f(b)

（其中

a,b

是常数且满足：

0ababc

）

6分

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7分

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b(f)b

证明：

a0

时，

f(0)0

f(a)(f)a

f

b

姓

名

时，在区间

[0,a]

和

[b,ab]

上，

f(x)

满足拉格朗日定理条件，

有f



(



1

)

f(a)f(0)f(a)

(



1

(0,a)

aa

f(ba)f(b)f(ba)f(b)

有f



(



2

)(



2

(b,ab)

baba

3分

号

学

号

序

号

班

学

教

纸

卷

试

学

大

峡

三

又

f(x)

在

[0,c]

上单调减少，而



1





2

f



(



)f(b)f(a)

2

)f



(



1

)

即

f(ba

a



a

故有

f(ab)f(a)

f(

b

6分

（其中

a,b

是常数且满足：

0ababc

）

四．应用题

（

本题

8

分

）

设生产

t

个产品的边际成本为

C



(t)1002t

，其固定成本（即

t0

时的成本）为100

元，产品单价规定为

P500

元，假定生产出的产品都能完全销售，求生产量为多少时利润

最大？最大利润是多少？

解：由已知，边际成本

C(t)



C



(t)dt



(1002t)dtt

2

100tc

2分

由固定成本为100，可得

cC(t)t

2

100t

t0

100

于是有：

成本函数：

C(t)t

2

100t100

收入函数：

R(t)500t

利润函数：

L(t)R(t)C(t)500t(t

2

100t100)t

2

400t100

4分

由

L



(t)2t4000

，得唯一驻点

t

0

200

，又由

L



(t)20

，可知，驻点

t

0

是

极大值点，同时也是最大值点。因此，当生产量为200时，总利润最大。7 分

最大利润为

L(200)200

2

40020010039900

。

8分

2008—2009学年第一学期

《高等数学I》(上)期末考试试卷A

注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟

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3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：

题号

得分

一

二

三

四

五

六

七

总分

阅卷人

得分

一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.

x

2在(0,+)

内零点的个数为 .

e

dy

y

2、设函数

yy(x)

由方程

y1xe

所确定，则= .

dx

1、函数

f(x)lnx

3、





0

x

dx

.

22

(1x)

4、物体在力

F(x)

1

的作用下从

x0

沿直线移动到

x2

，且力

F

的方向

2

4x

指向

x

轴正向，则力

F

在物体移动过程中所做的功为 .

5、微分方程

y



6y



8y0

的通解为 .

二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）将每题的

正确答案的代号A、B、C或D填入下表中.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

阅卷人

题号

答案

得分

1

1、下列各项中函数

f(x)和g(x)

相同的是（ ）

lnx,g(x)2lnx

； B.

f(x)

A.

f(x）

C.

f(x)x,g(x)

2

3

x

4

x

3

,g(x)x

3

x1

；

sec

2

xtan

2

x

.

x

2

； D.

f(x)1,g(x）

2、下列极限中不正确的是（ ）

A.

lim

sinxsinxsinx

sinx

0

；B.

lim1

；C.

lim

0

.

1

；D.

lim



xx0x



xxx

x

x

2

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3、

lim(1234)

=（ ）

n

nnn

1

n

A. 1； B. 2； C. 3； D. 4.



2

3



x,x1

4、设

f(x）

，则

f(x)

在

x1

处的（ ）





3

2





x,x1

A. 左、右导数都存在； B. 左导数存在、右导数不存在；

C. 左导数不存在、右导数存在； D. 左、右导数都不存在.

5、设

f(x)

e1

e1

1

x

1

x

，则

x0

是

f(x)

的（ ）

A. 可去间断点； B. 第二类间断点； C. 跳跃间断点； D. 连续点.

6、设在

[0,1]

上

f



(x)0

，则下面正确的为（ ）.

A．

f



(1)f



(0)f(1)f(0)

； B．

f



(1)f(1)f(0)f



(0)

；

C．

f(1)f(0)f



(1)f



(0)

； D．

f



(1)f(0)f(1)f



(0)

.

7、下列等式中不正确的是（ ）

A. ； B.









f(x)dx



f(x）



x

0

f(t)dtf(x)

；





C.

df(x)dxf(x)dx

； D.

dF(x)F(x)

.

8、下列计算正确的是（ ）



1

d()

11

11

1



x

A.



；

dx[arctan]

1



1

1

2

1

1x

2

x2

1()

x

11

1

1

dxdtdx

B.

令x,



2

，





2





2

0

；

1

tt1

1

xx1t

1

xx1

A

xx

dxlimdx0

； C.





1x

2

A



A

1x

2

D.





1

1

e

x

sin3xdx0

2

9、



2

0

sinxcosxdx

（ ）

221）

A. 0； B.

22

； C.

221

； D.

（

.

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2

10、已知

y1,yx,yx

是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的

三

峡

大

学

试

卷

纸

教

学

班

号

序

号

学

号

姓

名

通解为（ ）

22

A.

C

1

C

2

xx

； B.

C

1

(1x)C

2

(1x)

；

2222

C.

C

1

(1x)C

2

(1x)x

； D.

C

1

(1x)C

2

(1x)x

.

阅卷人

得分

三、计算下列各题（每小题6分，共18分）.



xln(1t

2

)

dyd

2

y

,

2

. 1、已知



，求

dxdx



ytarctant

2、计算极限

lim

x0

xarcsinx

.

2

xln(12x)

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3、计算极限

lim

xa

x



cost

2

dt

a

x

xa

.

四、计算下列各题（每小题6分，共18分）

1、

dx



x(1x)

；



1

,x0



1



1x

2、已知

f(x)



，求



f(x)dx

；

1



1

,x0





1e

x

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3、求微分方程

y





姓

名

y(12x)

的通解.

x

阅卷人 得分

五、解下列各题（每小题6分，共18分）

lnx

1、求函数

f(x)e

x

的极值.

2、证明：当

x0

时，

ln(1x)

arctanx

1x

.

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三

峡

大

学

试

卷

纸

教

学

班

号

序

号

学

号

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3、已知

六、（8分）

设由曲线

y

sinx

是

f(x)

的一个原函数，求



xf



(x)dx

.

x

x

，直线

x4

及

x

轴所围图形为T.

（1）求T的面积；

（2）求T绕

y

轴旋转而成的旋转体的体积.

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七、（8分）

设光滑曲线

y



(x)

过原点，且当

x0

时，



(x)0

，对应于

[0,x]

一段

曲线的弧长为

e1

，求



(x)

.

x

习题42

1

dxd(4x7)

4

1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数使等式成立(例如:

(1) dxd(ax); 

1

解dx

a

d(ax).

(2) dx d(7x3);

1

解dx

7

d(7x3).

(3) xdx d(x

2

);

1

解xdx

2

d(x

2

).

(4) xdx d(5x

2

);

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1

解xdx

10

d(5x

2

).

(5)

xdx d(1x)

;

1

xdx  d(1x

2

)

2

解 .

34

(6)xdx d(3x2);

1

解x

3

dx

12

d(3x

4

2).

(7)e

2x

dx d(e

2x

);

1

2x

解edx

2

d(e

2x

).

(8)

edx d(1e

x



2

x



2

x



2

2

)

;

x



2

解

edx 2 d(1e)

.

33

sinxdx d(cosx)

22

; (9)

323

sinxdx  d(cosx)

232

. 解

dx

 d(5ln|x|)

(10)

x

;

dx1

 d(5ln|x|)

解

x5

.

dx

 d(35ln|x|)

(11)

x

;

dx1

  d(35ln|x|)

5

解

x

.

dx

 d(arctan3x)

2

(12)

19x

;

dx1

 d(arctan3x)

2

3

解

19x

.

dx

(13)

1x

dx

解

2

 d(1arctanx)

;

1x

2

 (1) d(1arctanx)

.

xdx

2

(14)

1x

xdx

 d(1x

2

)

.

 (1) d(1x

2

)

2

解

1x

.

2. 求下列不定积分(其中a, b,



,



均为常数):

e

(1)



解

5t

dt

;

5t



edt

1

5x

1

5x

ed5xeC



55

.

dx

;

(32x)

(2)



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3

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3



(32x)dx

解

11

3

(32x)d(32x)(32x)

4

C



28

.

dx



12x

(3);

1111

dxd(12x)ln|12x|C



2



12x2

解

12x

.

dx

1

(4)

解



3

23x



3

dx

;

122



1131





(23x)

3

d(23x)(23x)

3

C(23x)

3

C

3322

23x

.

(5)



解

(6)

解

x

(sinaxe

b

)dx

;

1x1

)dx



sinaxd(ax)b



e

b

d()cosaxbe

b

C

aba

.

xx





x

(sinaxe

b

sint

t

t

10

dt

;

dt2



sintdt2costC



sint

.

(7)



tanxsec

2

xdx

;

2

1

10

tanxdtanxtan

11

xC



tanxsecxdx

11

解



.

dx



(8)

xlnxlnlnx

;

dx11

dlnxdlnlnxln|lnlnx|C



lnlnx

解

xlnxlnlnxlnxlnlnx

.

x

2

tan1xdx



2

1x

(9);

10

解



tan





1x

1

2

x

1x

2

dx





tan1xd1x



22

sin1x

2

cos1x

2

d1x

2

cos1x

2

dx

dcos1x

2

ln|cos1x

2

|C

.



(10)

sinxcosx

;

dxsec

2

x1

dxdtanxln|tanx|C



tanxtanx

解

sinxcosx

.

1



e

x

e

x

dx

(11);

xx

解

ee

2



1

e

x

1

dx





2x

dx



de

x

arctane

x

C

2x

e11e

.

x

xedx

;



(12)

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x



xedx

2

解

1

x

2

1

x

2

2

ed(x)eC.

2



2

2

(13)



xcos(x)dx

;

xcos(x

2

)dx

1



cos(x

2

)d(x

2

)

1

sin(x

2

)C



22

解 .

x

dx



2

(14)

23x

;

解

(15)





111

dx



(23x

2

)

2

d(23x

2

)(23x

2

)

2

C23x

2

C

633

23x

2

.

x

11



1x

4

dx

3x

3

;

313

4

d(1x)ln|1x

4

|C



4

4

1x

4

.

4

解

1x



3x

3

2

dx

(16)



cos

解

(



t



)sin(



t



)dt

;

(



t



)sin(



t



)dtcos





1

2



cos

2

(



t



)dcos(



t



)

1

cos

3

(



t



)C

3



.

sinx



3

dx

(17)

cosx

;

sinx11

322



cos

3

x

dx



cosxdcosx

2

cosxC

2

secxC

解 .

sinxcosx



3

sinxcosx

dx

(18);

sinxcosx1



3

sinxcosx

dx



3

sinxcosx

d(cosxsinx)

解

(19)

解





(sinxcosx)



1

3

3

d(sinxcosx)(sinxcosx)

3

C

2

.

2



1x

94x

2

dx

;





1x

94x

1

2



2

dx



1

1

94x

2

dx



x

94x

2

dx

211

d(x)



d(94x

2

)

38

94x

2

2

12x1

1(x)

2

arcsin94x

2

C

3

234

.

x

3



9x

2

dx

(20);

1x

2

191

222

dxd(x)(1)d(x)[x9ln(9x

2

)]C



9x

2



22

2

9x

22

9x

解 .

1



2

dx

(21)

2x1

;

x

3

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11

2x1)(2x1)

111

()dx



2

2x12x1

解



2x

2

1

dx



(





dx

1

2

1



2

1

2x1

d(2x1)

1

22

1

2



2

d(2x1)

2x1

1

22

ln|

2x1

2x1

|C

1

22

ln|2x1|ln|2x1|C

.

1



(x1)(x2)

dx

(22);

111111x2

dx()dx(ln|x2|ln|x1|Cln||C



(x1)(x2)3



x2x133x1

解 .

(23)



cos

3

xdx

;

1

3322

cosxdxcosxdsinx(1sinx)dsinxsinxsinxC



3

解 .

(24)



cos

解

2

(



t



)dt

;

111

[1cos2(



t



)]dttsin2(



t



)C

2



24



.

2



cos(



t



)dt

(25)



sin2xcos3xdx

;

111

(sin5xsinx)dxcos5xcosxC



sin2xcos3xdx

2



102

解 .

x

cosxcosdx



2

; (26)

x131131

cosxcosdx



(cosxcosx)dxsinxsinxC



2222322

解 .

(27)



解

sin5xsin7xdx

;

111

(cos12xcos2x)dxsin12xsin2xC



2244

.



sin5xsin7xdx

tan

3

xsecxdx

;

3

(28)



解



tanxsecxdx



tan

2

xsecxtanxdx



tan

2

xdsecx

1





(sec

2

x1)dsecxsec

3

xsecxC

3

.

(29)

解





10

2arccosx

1x

1x

2

dx

;

dx



10

2arccosx

10

2arccosx

2

110

2arccosx

2arccosx

darccosx



10d(2arccosx)C

22ln10

.

(30)

解





arctanx

x(1x)

arctanx

x(1x)

dx

;

dx2



arctanx

dx2



arctanxdarctanx(arctanx)

2

C

(1x)

.

22

(31)

(arcsinx)1x

;



dx

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dx1

(arcsinx)

1

C

arcsinx

22

解

(arcsinx)1x

1lnx



(xlnx)

2

dx

(32);







darcsinx

2

.

2

(xlnx)

解

(xlnx)

lntanx

dx



cosxsinx

(33);

lntanxlntanxlntanx

2

dxsecxdx



tanx



tanx

dtanx

解

cosxsinx

1





lntanxdlntanx(lntanx)

2

C

2

.



1lnx

dx



1

d(xlnx)

2

1

C

xlnx

.

(34)

解





x

2

ax

x

2

22

dx

(

a

>0);

令xasint

a

2

sin

2

t

222

1cos2t

dxacostdtasintdta



acost



2

dt

22

ax

,

1

2

a

2

a

2

xx

22

atsin2tCarcsinaxC

42a2

2

.

dx

2

(35)

xx1

;



解



dx

xx

2

1

令xsect

11

secttantdtdttCarccosC



secttant



x

.



或

dx

xx

2

1





1

x

2

1

1

x

2

dx



1

1

11

darccosC

x

1

x

x

2

.



(36)

dx

(x

2

1)

3

;

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

解

(37)

解

dx

(x

2

1)

3

令xtant



1

(tan

2

t1)

dtant



costdtsintC



3

x

x1

2

C

.





x

2

9

dx

x

;

x

2

9

令x3sect

9sec

2

t9

dxd(3sect)3



tan

2

tdt



x3sect

(38)

3



(

3

2

1)dt3tant3tCx93arccosC

x

cos

2

t

.

1



1



dx

2x

;

令2xt

11

tdt(1



1t



1t

)dttln(1t)C2xln(12x)C

.

dx

解

12x

dx

2

(39)

11x

;



2

解

11x

tsintx

ttanCtCarcsinxC

2

21cost

11x

.

dx



dx

令xsint

111

2

t

costdt(1)dt(1sec)dt



1cost



1cost



22

2

(40)

x1x

.

令xsint

dx



解



x1x

2



sintcost

costdt

2



11costsintcostsint

dt

sintcost



11111

dt



d(sintcost)tln|sintcost|C



22sintcost22

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11

arcsinxln|1x

2

x|C

2

2

.

习题51

1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x

2

1, 两直线x=a、x=b(b>a)及横轴所围成的图形的

面积.

ba

x

i

ai

n

解 第一步: 在区间[a, b]内插入n1个分点(i1, 2, ×××, n1), 把区间

[a, b]分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为:

x

i



ba

n

(i1, 2, ×××, n).

第二步: 在第i个小区间[x

i1

, x

i

] (i1, 2, ×××, n)上取右端点

nn

ba

2

ba

S

n





f(



i

)x

i





[(ai)1]

nn

i1i1

ba

n

2

2a(ba)(ba)

2

2





[a

n

i

2

i1]

n

n

i1

2

(ba)2a(ba)n(n1)(ba)n(n1)(2n1)

[na

2

n]

nn26

n

2

2

2

a(ba)(n1)(ba)(n1)(2n1)

(ba)[a1]

2

n

6n

.



i

x

i

a

ba

i

n

, 作和

ba

第三步: 令



max{x

1

, x

2

, ××× , x

n

}

n

, 取极限得所求面积



S



a

f(x)dxlim



f(



i

)x

i



0

i1

2

b

n

a(ba)(n1)(ba)

2

(n1)(2n1)

lim(ba)[a1]

n

6n

2

n

11

(ba)[a

2

a(ba)(ba)

2

1](b

3

a

3

)ba

33

.

2. 利用定积分定义计算下列积分:

(1)



a

(2)



b

xdx

(a

x

i

a

1

x

edx

0

.

baba

ix

i



n

(i1, 2, ×××, n1), 则

n

(i1, 2, ×××, n). 解 (1)取分点为

ba



i

x

i

ai

n

(i1, 2, ×××, n). 于是 在第i 个小区间上取右端点

baba

i)

n

i1

n

i1

nn

(ba)

2

n(n1)

1

22

(ba)lim[a(ba)](ba

2

)

2

n

2

2n

.



a

xdxlim





i

x

i

lim



(a

b

nn

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i1

x

i



n

(i1, 2, ×××, n1), 则

n

(i1, 2, ×××, n). 在第i 个小区 (2)取分点为

i



i

x

i



n

(i1, 2, ×××, n). 于是 间上取右端点

x

i





)

.

3. 利用定积分的几何意义说明下列等式:

lim

n

n

in

2

n

1

x

11

1

nnn

edxlimelim(ee    e

n

0

n

i1

n

n

n

11

1

n

nn

1

e[1(e)]

e

n

[1e]



)

1

1e

n

lim

n

1

n(1e

n

e1

(1)



0

(2)

1

2xdx1

;



0

1

1x

2

dx



4

;

(3)











sinxdx0

;



(4)





2



cosxdx2



0

2

cosxdx

2

.

解 (1)



0

(2)



0

1

1

2xdx

表示由直线y2x、x轴及直线x1所围成的面积, 显然面积为1.

2

表示由曲线

y1x

、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆

1

22

xy1的面积的

4

:

1

1

22



1xdx



1



0

44

.

(3)由于ysin x为奇函数, 在关于原点的对称区间[



,



]上与x轴所夹的面积的代数和为

零, 即

(4)

1x

2

dx







sinxdx0

.









2



cosxdx

2

[, ]

表示由曲线ycos x与x轴上

22

一段所围成的图形的面积. 因为cos



2

cosxdx



x为偶函数, 所以此图形关于y轴对称. 因此图形面积的一半为



0



, 即

2

.

4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p(单位面积上的压

力大小)是水深h的函数, 且有p98h (kN/m

2

). 若闸门高H3m, 宽L2m, 求水面与闸门顶

相齐时闸门所受的水压力P.

H

x

i

i

n

(i1, 2, ×××, n1)将区间[0, H]分为n分个小区 解 建立坐标系如图. 用分点

H

x

i



n

(i1, 2, ×××, n). 间, 各小区间的长为

在第i个小区间[x

i1

, x

i

]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为

P

i

9.8x

i

lx

i

.

闸门所受的水压力为

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



2



cosxdx2



0

2

cosxdx

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n

n

i1

将L2, H3代入上式得P88.2(千牛).

5. 证明定积分性质:

Plim



9.8x

i

Lx

i

9.8Llim



n(n1)

HH

i9.8LH

2

lim4.8LH

2

n

i1

n

n

n2n

.

n

kf(x)dxk



a

f(x)dx

(1)



a

;

(2)

bb



a

1dx



a

dxba

b

bb

.

nn

b

证明 (1)

b



a

kf(x)dxlim



kf(



i

)x

i

klim



f(



i

)x

i

k



a

f(x)dx



0

i1



0

i1

nn

.

i1i1

(2)

6. 估计下列各积分的值:

lim



1x

i

lim



x

i

lim(ba)ba



a

1dx



0



0



0

4

2

.

(x

(1)



1

(2)

(3)

1)dx

;

;





5



4

(1sin

2

x)dx

4



1

3

xarctanxdx

3

;

(4)



.

解 (1)因为当1x4时, 2x

2

117, 所以

即

0

x

2

x

edx

2

2(41)



1

(x

2

1)dx17(41)

4

,

6



1

(x

2

1)dx51

4

.

5

x



4

时, 11sin

2

x2, 所以 (2)因为当

4

5



5



5



1(



)





4

(1sin

2

x)dx2(



)

4444

4

5



2

4

(1sin



,

即









x)dx2



4

.

[

1

, 3]

(3)先求函数f(x)x arctan x在区间

3

上的最大值M与最小值m.

1

x

x3

f



(x)arctaxn

2

1x

. 因为当

3

时, f (x)0, 所以函数f(x)x arctan x在区间

1

[, 3]

3

上单调增加. 于是

111





mf()arctanMf(3)3arctan3

33363

,

3

.

3



1



1

(3)



1

xarctanxdx(3)

63333

3

因此 ,

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

即

9





1

xarctanxdx

3

2

3

2



3

.

x

(4)先求函数

f(x)e

在区间[0, 2]上的最大值M与最小值m.

1

x

x

2

x

(2x1)

, 驻点为

2

.

f



(x)e



1

1

f()e

4



1

2

2

比较f(0)1, f(2)e, ,得

me

4

, Me

2

. 于是



1

e

4

x

(20)



0

e

x

0

2

2

2

x

dxe

2

(20)



1

4

,

即 .

7. 设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明:

(1)若在[a, b]上f(x)0, 且



a

b

2e

2





2

e

xx

dxdx2e

f(x)dx0

b

, 则在[a, b]上f(x)º0;

(2)若在[a, b]上, f(x)0, 且f(x)≢0, 则



a

b

f(x)dx0

b

;

(3)若在[a, b]上, f(x)g(x), 且



a

f(x)dx



a

g(x)dx

, 则在[ab]上f(x)ºg(x).

证明 (1)假如f(x)≢0, 则必有f(x)0. 根据f(x)在[a, b]上的连续性, 在[a, b]上存在一点x

0

,

使f(x

0

)0, 且f(x

0

)为f(x)在[a, b]上的最大值.

f(x

0

)

f(x)

2

. 于是 再由连续性, 存在[c, d][a, b], 且x

0

[c, d], 使当x[c, d]时,



a

f(x)dx



a

f(x)dx



c

f(x)dx



d

f(x)dx



c

f(x)dx

b

bcdbd

f(x

0

)

(dc)0

2

.

f(x)dx0

这与条件



a

相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)º0.

(2)证法一 因为f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x

0

, 使f(x

0

)0, 且f(x

0

)为f(x)

在[a, b]上的最大值.

f(x

0

)

f(x)

2

. 于是 再由连续性, 存在[c, d][a, b], 且x

0

[c, d], 使当x[c, d]时,



b

a

f(x)dx



f(x)dx

c

b

d

f(x

0

)

(dc)0

2

.

. 假如 证法二 因为f(x)0, 所以



a

f(x)dx0

b



a

f(x)dx0

b

不成立. 则只有



a

b

f(x)dx0

,

f(x)dx0

根据结论(1), f(x)º0, 矛盾. 因此



a

.

(3)令F(x)g(x)f(x), 则在[a, b]上F(x)0且

由结论(1), 在[a, b]上F(x)º0, 即f(x)ºg(x).

4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大:

(1)



(2)



1

2

1

3

xdxxdx

0

还是

0



a

F(x)dx



a

[g(x)f(x)]dx



a

g(x)dx



a

f(x)dx0

,

bbbb



？

2

2

xdx

1

还是



2

3

xdx

1

？

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(3)

(4)



1

lnxdx



0

xdx

1

2

(lnx)

还是



1

1

2

2

dx

？

还是



0

ln(1x)dx

1

？

(5)



1

x

edx

0

还是



0

(1x)dx

？

23

解 (1)因为当0x1时, xx, 所以



又当0x1时, x

2

x

3

, 所以

(2)因为当1x2时, x

2

x

3

, 所以

又因为当1x2时, x

2

x

3

, 所以

1

2

1

3

xdxxdx

00



.

.

.

.

.

.

.

(3)因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x)

2

, 所以

又因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x)

2

, 所以

(4)因为当0x1时, xln(1x), 所以

又因为当0x1时, xln(1x), 所以.

xxx

(5)设f(x)e1x, 则当0x1时f (x)e10, f(x)e1x是单调增加的. 因此当0x1

时, f(x)f(0)0, 即e

x

1x, 所以

又因为当0x1时, e

x

1x, 所以

.

.

习题42

1

dxd(4x7)

4

1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数使等式成立(例如:

(1) dxd(ax); 

1

解dx

a

d(ax).

(2) dx d(7x3);

1

解dx

7

d(7x3).

(3) xdx d(x

2

);

1

解xdx

2

d(x

2

).

(4) xdx d(5x

2

);

1

解xdx

10

d(5x

2

).

(5)

xdx d(1x)

;

1

xdx  d(1x

2

)

2

解 .

34

(6)xdx d(3x2);

1

解x

3

dx

12

d(3x

4

2).

(7)e

2x

dx d(e

2x

);

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2

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1

解edx

2

d(e

2x

).

2x

22

(8)

edx d(1e)

;



x



x

解

edx 2 d(1e)

.

33

sinxdx d(cosx)

22

; (9)

323

sinxdx  d(cosx)

232

. 解

dx

 d(5ln|x|)

(10)

x

;

dx1

 d(5ln|x|)

x5

解 .

dx

 d(35ln|x|)

(11)

x

;

dx1

  d(35ln|x|)

5

解

x

.

dx

 d(arctan3x)

2

(12)

19x

;

dx1

 d(arctan3x)

2

3

解

19x

.

x



2

x



2

dx

(13)

1x

dx

解

2

 d(1arctanx)

;

1x

2

 (1) d(1arctanx)

.

 d(1x

2

)

xdx

2

(14)

1x

xdx

.

2

解

1x

.

2. 求下列不定积分(其中a, b,



,



均为常数):

 (1) d(1x

2

)

5t

(1)



edt

;

5t



edt

解

1

5x

1

5x

ed5xeC



55

.

(2)



(32x)

解

3

dx

;

11

3

(32x)d(32x)(32x)

4

C



28

.

3



(32x)dx

dx



12x

(3);

1111

dxd(12x)ln|12x|C



2



12x2

解

12x

.

dx

1

(4)



3

23x

;

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

1131





(23x)

3

d(23x)(23x)

3

C(23x)

3

C

3322

23x

. 解



3

dx

122

(5)



解

(6)

解

x

(sinaxe

b

)dx

;

1x1

)dx



sinaxd(ax)b



e

b

d()cosaxbe

b

C

aba

.

xx





x

(sinaxe

b

sint

t

t

10

dt

;

dt2



sintdt2costC



sint

.

(7)



tanxsec

2

xdx

;

2

1

10

tanxdtanxtan

11

xC



tanxsecxdx

11

解



.

dx



(8)

xlnxlnlnx

;

dx11

dlnx



lnlnx

dlnlnxln|lnlnx|C

. 解

xlnxlnlnxlnxlnlnx

x

2

dx



tan1x

2

1x

(9);

10

解



tan





1x

1

2

x

1x

2

dx





tan1xd1x



22

sin1x

2

cos1x

2

d1x

2

cos1x

2

dcos1x

2

ln|cos1x

2

|C

.

dx



(10)

sinxcosx

;

dxsec

2

x1

dx



tanx



tanx

dtanxln|tanx|C

. 解

sinxcosx

1



e

x

e

x

dx

(11);

xx

解

ee

2



1

e

x

1

dx





2x

dx



de

x

arctane

x

C

2x

e11e

.

x

xedx

;



(12)

x



xedx

2

2

解

1

x

2

1

x

2

2

ed(x)eC.

2



2

11

(13)



xcos(x

解

(14)

)dx

;



xcos(x

2

)dx

2



cos(x

2

)d(x

2

)

2

sin(x

2

)C

.



x

23x

2

dx

;

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

111

dx



(23x

2

)

2

d(23x

2

)(23x

2

)

2

C23x

2

C

633

23x

2

. 解

(15)

解



x

11



1x

4

dx

3x

3

3x

3

;

31

4



1x

4

dx

4



1x

4

d(1x

2

3

)ln|1x

4

|C

4

.

(16)



cos

解

(17)

(



t



)sin(



t



)dt

;

2



cos(



t



)sin(



t



)dt

1



2



cos(



t



)dcos(



t



)

1

cos

3

(



t



)C

3



.



cos

3

x

dx

sinx

sinx

;

11

32

dxcosxdcosxcosxCsec

2

xC



cos

3

x



22

解 .

sinxcosx



3

sinxcosx

dx

(18);

sinxcosx1

dx



3

sinxcosx



3

sinxcosx

d(cosxsinx)

解

(19)

解





(sinxcosx)



1

3

3

d(sinxcosx)(sinxcosx)

3

C

2

.

2



1x

94x

2

dx

;





1x

94x

1

2



2

dx



1

1

94x

2

dx



x

94x

2

dx

211

d(x)



d(94x

2

)

38

94x

2

2

12x1

1(x)

2

arcsin94x

2

C

3

234

.

x

3



9x

2

dx

(20);

1x

2

191

222

dxd(x)(1)d(x)[x9ln(9x

2

)]C



9x

2



22

2

9x

22

9x

解 .

1



2x

2

1

dx

(21);

11111

dxdx()dx



2x

2

1



(2x1)(2x1)

2



2x12x1

解

x

3



1

2

1





2

1

2x1

d(2x1)

1

22

1

2



2

d(2x1)

2x1

1

22

ln|

2x1

2x1

|C

1

(22)

22

ln|2x1|ln|2x1|C

.



(x1)(x2)

dx

1

;

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111111x2

dx()dx(ln|x2|ln|x1|Cln||C



(x1)(x2)3



x2x133x1

解 .

(23)



cos

解

3

xdx

;



cos

3

1

xdx



cos

2

xdsinx



(1sin

2

x)dsinxsinxsin

3

xC

3

.

(24)



cos

解

2

(



t



)dt

;

111

[1cos2(



t



)]dttsin2(



t



)C



224



.



cos

2

(



t



)dt

; (25)



sin2xcos3xdx

111

(sin5xsinx)dxcos5xcosxC

sin2xcos3xdx

2



102

解



.

x

cosxcosdx



2

; (26)

x131131

cosxcosdx(cosxcosx)dxsinxsinxC



2222322

解 .

(27)



解

sin5xsin7xdx

;

111

(cos12xcos2x)dxsin12xsin2xC

2



244

.



sin5xsin7xdx

3

(28)



tanxsecxdx

;

322

解



tanxsecxdx



tanxsecxtanxdx



tanxdsecx

1





(sec

2

x1)dsecxsec

3

xsecxC

3

.

(29)

解



10

2arccosx

1x

2

dx

;

dx



10

2arccosx



10

2arccosx

1x

2

110

2arccosx

2arccosx

darccosx



10d(2arccosx)C

22ln10

.

(30)

解





arctanx

x(1x)

arctanx

x(1x)

dx

;

dx2



arctanx

dx2



arctanxdarctanx(arctanx)

2

C

(1x)

.

22

(31)

(arcsinx)1x

;

dx11

darcsinxC



(arcsinx)

2

22

arcsinx

解

(arcsinx)1x

.

1lnx



(xlnx)

2

dx

(32);



dx

解



(xlnx)

2

1lnx

dx



1

(xlnx)

d(xlnx)

2

1

C

xlnx

.

lntanx

dx



(33)

cosxsinx

;

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lntanxlntanxlntanx

2

dxsecxdx



tanx



tanx

dtanx

解

cosxsinx

1





lntanxdlntanx(lntanx)

2

C

2

.

(34)



x

2

ax

22

dx

(

a

>0);

解



令xasint

a

2

sin

2

t

222

1cos2t

dxacostdtasintdta



acost



2

dt

22

ax

,

x

2

1

2

a

2

a

2

xx

22

atsin2tCarcsinaxC

42a2

2

.

dx

2

(35)

xx1

;



解



dx

xx

2

1

令xsect



secttant

secttantdt



dttCarccos

x

C

1

1

11

darccosC

x

1

x

x

2

11

.



或

dx

xx

2

1





1

x

2

1

1

x

2

dx



.



(36)

dx

(x

2

1)

3

;



解

(37)

dx

(x

2

1)

3

令xtant



1

(tan

2

t1)

dtant



costdtsintC



3

x

x1

2

C

.



x

2

9

dx

x

;

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x

2

9

令x3sect

9sec

2

t9

dxd(3sect)3



tan

2

tdt



x3sect

解



(38)

3



(

3

2

1)dt3tant3tCx93arccosC

2

x

cost

.

1



1



dx

2x

;

令2xt

11

tdt(1



1t



1t

)dttln(1t)C2xln(12x)C

.

dx

解

12x

dx

2

(39)

11x

;



2

解

11x

tsintx

ttanCtCarcsinxC

2

21cost

11x

.

dx



dx

令xsint

111

2

t

costdt(1)dt(1sec)dt



1cost



1cost



22

2

(40)

x1x

.

令xsint

dx



解



x1x

2



sintcost

costdt

2



11costsintcostsint

dt

sintcost

11111

dtd(sintcost)tln|sintcost|C



2



sintcost22

2

11

arcsinxln|1x

2

x|C

2

2

.

习题51

1. 利用定积分定义计算由抛物线y=x

2

1, 两直线x=a、x=b(b>a)及横轴所围成的图形的



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面积.

解 第一步: 在区间[a, b]内插入n1个分点

x

i

a

ba

i

n

(i1, 2, ×××, n1), 把区间

x

i



ba

n

(i1, 2, ×××, n). [a, b]分成n个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为:

第二步: 在第i个小区间[x

i1

, x

i

] (i1, 2, ×××, n)上取右端点

S

n





f(



i

)x

i





[(a

i1i1

nn



i

x

i

a

ba

i

n

, 作和

ba

2

ba

i)1]

nn

ba

n

2

2a(ba)(ba)

2

2





[a

n

i

2

i1]

n

n

i1

2

(ba)n(n1)(2n1)

2

2a(ba)n(n1)(ba)

[nan]

2

nn26

n

2

a(ba)(n1)(ba)(n1)(2n1)

(ba)[a

2

1]

2

n

6n

.

ba

第三步: 令



max{x

1

, x

2

, ××× , x

n

}

n

, 取极限得所求面积



S



a

f(x)dxlim



f(



i

)x

i



0

i1

2

b

n

a(ba)(n1)(ba)

2

(n1)(2n1)

lim(ba)[a1]

2

n

n

6n

11

(ba)[a

2

a(ba)(ba)

2

1](b

3

a

3

)ba

33

.

2. 利用定积分定义计算下列积分:

(1)



a

(2)



b

xdx

(a

x

i

a

1

x

edx

0

.

baba

ix

i



n

(i1, 2, ×××, n1), 则

n

(i1, 2, ×××, n). 解 (1)取分点为

ba



i

x

i

ai

n

(i1, 2, ×××, n). 于是 在第i 个小区间上取右端点

baba

i)

n

i1

n

i1

nn

(ba)

2

n(n1)

1

22

(ba)lim[a(ba)](ba

2

)

2

n

2

2n

.

i1

x

i

x

i



n

(i1, 2, ×××, n1), 则

n

(i1, 2, ×××, n). 在第i 个小区 (2)取分点为

i



i

x

i



n

(i1, 2, ×××, n). 于是 间上取右端点



a

xdxlim





i

x

i

lim



(a

b

nn



lim

n

n

in

2

n

1

x

11

1

nnn

edxlimelim(ee    e

n

0

n

i1

n

n

n

11

1

n

nn

1

e[1(e)]

e

n

[1e]



)

1

1e

n

lim

n

1

n(1e

n

e1

)

.

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3. 利用定积分的几何意义说明下列等式:

(1)



0

1

2xdx1

;



(2)

0

1

1x

2

dx



4

;

(3)











sinxdx0

;



(4)





2



cosxdx2



0

2

cosxdx

2

.

解 (1)



0

(2)



0

1

1

2xdx

表示由直线y2x、x轴及直线x1所围成的面积, 显然面积为1.

2

表示由曲线

y1x

、x轴及y轴所围成的四分之一圆的面积, 即圆

1

x

2

y

2

1的面积的

4

:

1

1

22



1xdx



1



44

.

0

(3)由于ysin x为奇函数, 在关于原点的对称区间[



,



]上与x轴所夹的面积的代数和为

零, 即

(4)

1x

2

dx







sinxdx0

.









2



cosxdx

2

[, ]

表示由曲线ycos x与x轴上

22

一段所围成的图形的面积. 因为cos



2

cosxdx



x为偶函数, 所以此图形关于y轴对称. 因此图形面积的一半为



0



, 即

2

.

4. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力, 已知闸门上水的压强p(单位面积上的压

力大小)是水深h的函数, 且有p98h (kN/m

2

). 若闸门高H3m, 宽L2m, 求水面与闸门顶

相齐时闸门所受的水压力P.

H

x

i

i

n

(i1, 2, ×××, n1)将区间[0, H]分为n分个小区 解 建立坐标系如图. 用分点

H

x

i



n

(i1, 2, ×××, n). 间, 各小区间的长为

在第i个小区间[x

i1

, x

i

]上, 闸门相应部分所受的水压力近似为

P

i

9.8x

i

lx

i

.

闸门所受的水压力为

nn

n(n1)

HH

Plim



9.8x

i

Lx

i

9.8Llim



i9.8LH

2

lim4.8LH

2

n

i1

n

i1

n

n

n2n

.

将L2, H3代入上式得P88.2(千牛).

5. 证明定积分性质:

(1)





2



cosxdx2



0

2

cosxdx



a

kf(x)dxk



a

f(x)dx

bb

bb

;

1dx



a

dxba

(2)



a

.

证明 (1)

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

a

kf(x)dxlim



kf(



i

)x

i

klim



f(



i

)x

i

k



a

f(x)dx



0

i1



0

i1

b

nn

b

.

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b

nn

i1i1

(2)

6. 估计下列各积分的值:

lim



1x

i

lim



x

i

lim(ba)ba



a

1dx



0



0



0

4

2

.

(x

(1)



1

(2)

(3)

1)dx

;

;





5



4

(1sin

2

x)dx

4



1

3

xarctanxdx

3

;

(4)



.

解 (1)因为当1x4时, 2x

2

117, 所以

即

0

x

2

x

edx

2

2(41)



1

(x

2

1)dx17(41)

6



1

(x

2

1)dx51

4

4

,

.

5

x



4

时, 11sin

2

x2, 所以 (2)因为当

4

5



5



5



1(



)





4

(1sin

2

x)dx2(



)

4444

4

5



2

4

(1sin



即

,









x)dx2



4

.

[

1

, 3]

(3)先求函数f(x)x arctan x在区间

3

上的最大值M与最小值m.

1

x

x3

f



(x)arctaxn

2

3

1x

. 因为当 时, f (x)0, 所以函数f(x)x arctan x在区间

1

[, 3]

3

上单调增加. 于是

111





mf()arctanMf(3)3arctan3

33363

,

3

.

3



1



1

(3)



1

xarctanxdx(3)

63333

3

因此 ,

3



2







1

xarctanxdx

93

3

即 .

x

f(x)e

(4)先求函数

2

在区间[0, 2]上的最大值M与最小值m.

1

x

x

2

x

(2x1)

, 驻点为

2

.

f



(x)e



1

1

f()e

4



1

2

2

比较f(0)1, f(2)e, ,得

me

4

, Me

2

. 于是



1

e

4

x

(20)



0

e

x

2

2

x

dxe

2

(20)

,

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

1

0

x

2

x

edxdx2e

4

2

2e



即 .

7. 设f(x)及g(x)在[a, b]上连续, 证明:

2

f(x)dx0

(1)若在[a, b]上f(x)0, 且



a

, 则在[a, b]上f(x)º0;

(2)若在[a, b]上, f(x)0, 且f(x)≢0, 则



a

b

b

b

f(x)dx0

b

;

(3)若在[a, b]上, f(x)g(x), 且



a

f(x)dx



a

g(x)dx

, 则在[ab]上f(x)ºg(x).

证明 (1)假如f(x)≢0, 则必有f(x)0. 根据f(x)在[a, b]上的连续性, 在[a, b]上存在一点x

0

,

使f(x

0

)0, 且f(x

0

)为f(x)在[a, b]上的最大值.

f(x

0

)

f(x)

2

. 于是 再由连续性, 存在[c, d][a, b], 且x

0

[c, d], 使当x[c, d]时,



a

f(x)dx



a

f(x)dx



c

f(x)dx



d

f(x)dx



c

f(x)dx

b

bcdbd

f(x

0

)

(dc)0

2

.

f(x)dx0

这与条件



a

相矛盾. 因此在[a, b]上f(x)º0.

(2)证法一 因为f(x)在[a, b]上连续, 所以在[a, b]上存在一点x

0

, 使f(x

0

)0, 且f(x

0

)为f(x)

在[a, b]上的最大值.

f(x

0

)

f(x)

2

. 于是 再由连续性, 存在[c, d][a, b], 且x

0

[c, d], 使当x[c, d]时,



b

a

f(x)dx



f(x)dx

c

b

d

f(x

0

)

(dc)0

2

.

bb

f(x)dx0f(x)dx0f(x)dx0

证法二 因为f(x)0, 所以



a

. 假如



a

不成立. 则只有



a

,

f(x)dx0

根据结论(1), f(x)º0, 矛盾. 因此



a

.

(3)令F(x)g(x)f(x), 则在[a, b]上F(x)0且

,

由结论(1), 在[a, b]上F(x)º0, 即f(x)ºg(x).

4. 根据定积分的性质及第7题的结论, 说明下列积分哪一个的值较大:

(1)



(2)



(3)

1

2

1

3

xdxxdx

0

还是

0

b



a

F(x)dx



a

[g(x)f(x)]dx



a

g(x)dx



a

f(x)dx0

bbbb



？

2

2

xdx

1

还是



2

3

xdx

1

？



1

lnxdx

1

2

(lnx)

还是



1

1

2

2

dx

？

xdxln(1x)dx

(4)



0

还是



0

？

e

(5)



0

1

x

dx(1x)dx

还是



0

？

1

2

1

3

xdxxdx

00

1

解 (1)因为当0x1时, x

2

x

3

, 所以



又当0x1时, x

2

x

3

, 所以

(2)因为当1x2时, x

2

x

3

, 所以

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

.

.

.

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又因为当1x2时, x

2

x

3

, 所以

(3)因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x)

2

, 所以

又因为当1x2时, 0ln x1, ln x(ln x)

2

, 所以

(4)因为当0x1时, xln(1x), 所以

.

.

.

.

又因为当0x1时, xln(1x), 所以.

xxx

(5)设f(x)e1x, 则当0x1时f (x)e10, f(x)e1x是单调增加的. 因此当0x1

时, f(x)f(0)0, 即e

x

1x, 所以

又因为当0x1时, e

x

1x, 所以

.

.

03～04浙江工商大学《高等数学》（上）参考答案

1

6



一、 1、 2、

2A

3、 4、1 5、-1

2

5

二、 1、C 2、D 3、D 4、A 5、A



三、

1、6， 2、， 3、

dy|

x0

(ln31)dx

， 4、

[,1],[3,]

6

11

n1

(1)(n1)![]

[1,3]

单调减少，单调增加， 5、

nn

，

(x1)(x1)

6、

四、

xarctanx

1x

2

1

C

， 7、1， 8、

(2,)

。

2

2

1x

1



g

3

(kJ)

ab





五、

2

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03～04浙江工商大学《高等数学》（上）参考答案

一、1、(0, 2), 2、0, 3、ln2,

n1

(n1)!

x2x

(

4、

e

dx

， 5、

1

)

f



(x

0

)2

n

， 6、

e

sec

x

x

yx(axb)e

cosx

7、， 8、4， 9、

10. 2/e

二、A B D B B

x

(CcosxCsinx3)e

三、1、1/2， 2、1， 3、

1

2

4、

x

1

2



x



lnxxeeC

2

5、

2





/

2

6、

2



2

2

)

(8

3

AV



四、1、



1

/

6

,

2



/15

2、

y2ex2e

五、a=－2, b=3, c=0

2

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05～06浙江工商大学《高等数学》（上）参考答案

1

； 3. 2；

2



4.

2(xsinx

2

cosxsinx)dx

； 5.； 6.

2ab0

；

2

11

7.

3x

2

e

3x

(1x)

； 8. ； 9.； 10.

y



x(axb)e

2x

.

32

一、 1； 2.

二、1. A 2. C 3. D 4. B 5. B.

x

1/x

x

e1

三、1.原式=

lim



xx

(3



)lim



e1

（6分）

x0

e/(e1)

x0

x

2.

lim(x

2

axb)1ab0

（2分）

x1

x

2

axb2xa

lim(2a)5

（5分）

lim

x1x1

1x1

联立解得 a = －7， b = 6. （6分）

dy12t1

3.

1

， （3分）

dx2t2t

1

(1)



d

2

y1

2t

（6分）



23

2t

dx4t

4. 方程两边对x求导得

yxy\'y\'/y1/x0,

y





（4分）

y

(6分)

x

5.

(1x

2

)1

原式xln(1x)2



dx

2

1x

xln(1x

2

)2x2arctanxC

2

(3分)

(6分)

6. 原式=





2

1

d(4x

2

)

24x

2

1

2

2

1

2





2

3

2

d(x

2

4)

2x4

1

2

3

2

2

（4分）

=

(4x)(x4)(53)

（6分）

7.

yC

1

ln|x|C

2

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四、1. 抛物线在点（0，－3）的切线为y = 4x－3，在点（3，0）的切线为y = －

3

2x+6，两切线的交点为

(,3)

。

2

（5分）

所求面积

A=



(4x3)(x

2

4x3)dx



3

(2x6)(x

2

4x3)dx

2

3

2

0



3



9

=

4

（9分）

2. 圆柱体体积V=

由

V







3

(a

2

h

2

)h

（3分）

a

3



3

(a

2

3h

2

)0

，得驻点h

a

3

， （7分）

2



93

由

V



2



h0

，知当h

，

V

max

a

3

（9分）

g(x)g(0)f(x)xf



(0)

lim

2

x0x0

x0x

f



(x)f



(0)1

limf



(0)

； （2分）

x0

2x2

xf



(x)f(x)

，

g



(x)

. （3分）

x

2

xf



(x)f(x)xf



(x)1

因为

limg



(x)limlimf



(0)

,（5分）

2

x0x0x0

x2x2

五、证

x0

，

g



(0)lim

所以

g(x)

具有连续的一阶导数。

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06～07浙江工商大学《高等数学》（上）参考答案

一、

(0,)

； 2.

e



3

2

； 3.

1

；

2

4.

1



4

； 5.

(1)

n1

(n1)!

； 6.

3ln|x|2xsinxC

n

(x1)

x

2

；

7.

exlnxxC

； 8.

yC

1

cosxC

2

sinx1

； 9.

e

10.

a1

.

x

2xe

x

4

；

二、1. D 2. B 3. A 4. C 5. B.

dy1d

2

y2(1t

2

)

三、1. 2； 2. ；

,

dx

1t

2

2tdx

2

(1t)

5





e

x

2x

2

e

x

3.

g(x)

在

x0

不可导，

g



(x)





coxs



22

x0

x0

；

4.

xe

2

y40

； 5.

2xe

x

14arctane

x

14e

x

1C

；

6.

e

x

e

e

x

x

1

2

7.

2ln2

2t

1

四、1. (1)

tarccos

时面积

A(t)



t

sinxdx

最大

4

(2)

V



2t

t

1315



sinxdx[arccos]

2464

2

2

2



2. 建立x轴向下的坐标系，取x为积分变量

dwgx(2x)dx,W



dw4g/3

0

07～08浙江工商大学《高等数学》（上）参考答案

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一、 1.

1

； 2.0； 3.

(2xsinx

4

sinx

2

)dx

；

2



3

4.； 5.

x(Acos2xBsin2x)

3

二、1. B 2. A 3. B 4. D 5. B.

三、1.

dy2xy

1



； 2. ；

dx

cosy2e

2y

x

2

2

dyd

2

y1

t,

2



3. ；

dxf



(t)

dx

4. 凸区间

(,2)

，凹区间

(2,)

，拐点凸区间

(2,2e

2

)

；

5.

2xe242arctan

x

e

x

2

2

4e

x

2C

；

6.

11

4

1

tane

7.



(x)(

1

x

2

x1)e

2x

e

x

242

2

四、1.

2.

y2x6

S2,V

y

9



五、应用罗尔定理。

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08/09高等数学（上）(A)参考答案

一．填空：

1.

e

6

2.

(2,2e

2

)

3.

4．

ln

2

x

5．

yC

1

e

x

C

2

e

二．选择：

1. D 2. D 3. B 4. C 5. B

三. 计算题(一)(,每小题6分,共24分)

1．解：原式

lim



x

2

2

3

sinxx

sinxx

lim

(3分)

3

x0

x

2

tanx

x0

x

lim

cosx11



(6分)

2

x0

6

3x

2．解：

x0

时

y1

(1分)

方程两边对

x

求导：

e

xy

(yxy



)cosxy



0y



(0)2

(4分)

方程两边再对

x

求导：

e

xy

(yxy



)

2

e

xy

(2y



xy



)sinxy



0y



(0)5

(6分)

3.解：令

tx1

，



0

2

0

1

11

f(x1)dx



f(t)dt



dt



dt

(2分)

11

2t

0

2

4t

10

1



1

2t

dtln2t

0

1

ln2

(3分)



1

1

4t

2



0

dt

(令

t2sinu

)





6

0

2cosu



du

(5分)

2cosu6

原式

ln2

4. 解：



6

(6分)

dyy

x

3

，一阶线性方程， (1分)

dxx

ye



x

dx

1

[



xe

3





x

dx

1

x

4

dxc]x(



xdxc)cx

(5分)

3

2

x

4

x

1

由

y(1)0c

，所以解为

y

(6分)

3

3

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四、计算题(二)(每题8分,共24分)

1.解 (1)

lim



f(x)lim



(x1)1

,

x0x0

x0x0x0

(1分)

(2分)

(3分)

lim



f(x)lim



x

2x

lim



e

2xlnx

e

0

1

;

又

f(0)1

,所以

f(x)

在

x0

处的连续.

(2)当

x0

时,令

y



(x

2x

)



2x

2x

(1lnx)0

,

1111

解得

x

.又当

0x

时,

y



0

;当

x

时,

y



0

,所以

x

是函数

eeee

f(x)

的一个极小值点. (6分)

当

x0

时,

y



1

,故函数

f(x)

在区间

(,0)

内无驻点,从而无极值点.

由(1)知函数在

x0

处连续;又由前面的讨论知,函数

yf(x)

在区间

1

(0,)

内单调减,在

(,0)

内单调增,所以

x0

是

f(x)

的一个极大值点.(8

e

分)

2.解 令



1

0

f

2

(x)dxa

,则

f(x)3xa1x

2

, (2分)即

积分后化简得方程





1

0

1

0

(3xa1x

2

)

2

dxa

,

(9x

2

a

2

a

2

x

2

6ax1x

2

)dxa

. (4分)

2a

2

9a90

, (6分)

解此方程得

a3

及

a

3

,故

f(x)

有两个解

2

3

1x

2

.

2

1

0

f(x)3x31x

2

及

f(x)3x

(8分)

3. 解：



1

f(x)

x

0

dx2



f(x)dx2f(x)x

0

1

1

0

2



1

0

xf



(x)dx2



xf



(x)dx

(4分)

f



(x)

e

x

2x

，原式





e

x

dxe

x

0

1

1

0



1

1

(8分)

e

五、应用题(每小题8分,共16分)

106

1．解：



f(x)arctanarctan

(2分)

xx

106

(5分)

f



(x)

2



2

x100x36

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f



(x)0

106

0x215

(7分)

x

2

100x

2

36

因为驻点唯一，问题具有实际意义，所以该驻点即为所求最大值点，

即球员在距离底线

215

米处起脚射门将获得最大张角. (8分)

x

1

(2分)

4

4

x2

面积

A



(1x)dx

(5分)

0

43

4

x4



体积

V





[(1)

2

x]dx

(8分)

0

43

六、证明题(6分)

2. 解：切线方程

y

证明：设

F(x)f(x)x

， 则

F(x)

在

[0,1]

上连续且可导.

0f(x)1,

F(0)f(0)00

，

F(1)f(1)10



由零点定理知，在

(0,1)

内至少存在一点



，使

F(



)0

，即

f(



)



. (3分)

假设





(0,1)且







, s.t F(



)=0

.

根据罗尔定理，





介于



与



之间，s.t F



(



)=0.

即 



[0,1], s.t f



(



)1

.这与

f



(x)1, x[0,1]

矛盾. 故假设不成立.

综上所述，在

(0,1)

内有且仅有一个



，使

f(



)



.

浙江工商大学200 3/2004学年第一学期期末考试试卷

课程名称： 高等数学(上) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟

班级： 学号： 姓名： 得分： .

一、填空(每小题3分，满分15分)

3x

2

52

limsin

1、

x

5x3x

f



(1)f



(2h1)



2、设

f



(1)A

，则

lim

h0

h



x2e

t

3、曲线



t

在

t0

处切线方程的斜率为



ye

2

4、已知

f(x)

连续可导，且

f(x)0,f(0)1,f(1)e,f(2)e

，



1

0

f



(2x)

dx

f(2x)

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e

x



5、已知

f(x)

2

，则

f(0)

1x

二、单项选择(每小题3分，满分15分)

1、函数

f(x)xsinx

，则 ( )

A、当

x

时为无穷大 B、当

x

时有极限

C、在

(,)

内无界 D、在

(,)

内有界



e

x

,x1

2、已知

f(x)



，则

f(x)

在

x1

处的导数( )

lnx,x1



A、等于0 B、等于1 C、等于e D、不存在

x

3、曲线

yxe

的拐点是( )

12

A、

x1

B、

x2

C、

(1,e)

D、

(2,2e)

4、下列广义积分中发散的是( )

1



dx

dx

dx

A、



0

B、



0

C、



0

3/2

D、

sinx

1x

1x

1





2

dx

xln

2

x

5、若

f(x)

与

g(x)

在

(,)

内可导，

f(x)g(x)

，则必有( )

A、

f(x)g(x)

B、

f



(x)g



(x)

0

lim

C、

xx

f(x)limg(x)

D、



f(x)dx



g(x)dx

xx

00

0

x

0

x

0

三、计算题

（每小题7分，共56分）答题要求：写出详细计算过程

x

2

(e

2x

e

x

)

1、求

lim

x0

(1cosx)sinx

arcsin(

2、求

x

lim



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x

2

xx)

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xy

3、设

yy(x)

由

xy30

确定，求

dy|

x0

。

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4、求函数

f(x)arctan(2x9x12x10)

的单调区间。

5、

32

f(x)ln(x

2

1)

，求

f

(n)

(x)

arctanx

dx

6、求



23/2

(1x)

7、求

8、在曲线

y

四、应用题(满分8分) 答题要求：写出详细计算过程

一个圆锥形的容器，顶朝上，底边半径1米，高2米，盛满水，要将水全

部抽出底面需要做多少功？

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

3

1

|x

2

4x4|dx

1

x

2

上求一点，使该点切线被两坐标轴所截的线段最短。

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五、(本题满分6分) 设

时，

f(x)

是

(,)

上非负连续的偶函数，且当

x0

f(x)

单调增加。

(1)对任意给定的常数

ab

，求常数



，使得

(x



)f(x



)dx0

a



b

(2)证明(1)中所得的



是惟一的。答题要求：写出详细过程。

浙江工商大学200 4/2005学年第一学期期末考试试卷

课程名称： 高等数学(上) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟

班级： 学号： 姓名： 得分： .

一、填空(每小题2分，满分20分)

x

1、

f(x)

的定义域为

(1,2)

，则

f(1)

的定义域为

2

x

sinx

2、

lim

x

1x

2

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3、函数

1



x



f(x)



(1ax),x0

在

x0

处连续，则

a



x0



2,

x

4、

d(tane)

5、设

ylnx

，则

y

f(x

0

)f(x

0

2h)

lim

6、设函数

f(x)

在

xx

0

处可导，则

h0

h

7、已知

8、

(n)



f(x)dxsinxC

，则

f(x)



1

1

[2xln(x

2

1)]dx

x

2

x



yy2yxe

9、的特解形式(不必精确计算)为

10、已知

y



edt

，则

y



|

x1



0

t

2

二、单项选择(每小题3分，满分15分)

1、函数

f(x)x|x|

在

x0

处( )

A、连续且可导 B、连续不可导

C、可导不连续 D、不连续且不可导

2、当

x0

时，变量

1cosx

是

x

的( )

A、等价无穷小 B、同阶无穷小但不等价 C、高阶无穷小 D、低阶无穷小

3、曲线

yx6x11

在

(0,2)

内的一段弧是( )

A、上升，凹的 B、上升，凸的 C、下降，凹的 D、下降，凸的

4、广义积分

1

32

2





x

k1

dx

是收敛的，则

k

满足( )

A、

k2

B、

k2

C、

k1

D、

k1

5、设在区间

[0,1]

上

f



(x)0

，由中值定理，必有( )

A、

f



(1)f



(0)f(1)f(0)

B、

f



(1)f(1)f(0)f



(0)

C、

f(1)f(0)f



(1)f



(0)

D、

f



(1)f(0)f(1)f



(0)

三、计算题

（每小题6分，共36分）答题要求：写出详细计算过程

(x

1、求

x

lim



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xx)

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2、求

lim



x0

lnx

ln(e

x

1)

3、利用变换

解。

yz(x)e

x

2

求微分方程

y



4xy



(4x1)y3e

2x

2

的通

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1

x

(

4、求



lnxxe)dx

x

5、



ln2

0

e

x

1dx



x2,x0

4

f(x2)dx

6、设

f(x)



，求



1

x0



0,

四、计算下列各题(每小题7分，满分14分) 答题要求：写出详细计算过程

1、设平面图形

D

由

y

一周所形成的体积。

x

2

,yx

所围成，求

D

的面积，并求

D

绕

x

轴旋转



xe

x

sint10

2、求曲线



在

t0

处的切线方程。

3

yt2t



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五、 (本题满分9分) 答题要求：写出详细计算过程

试确定

a,b,c

的值，使抛物线

yaxbxc

满足：(1)过点

(0,0)

和

(1,1)

；

(2)曲线向上凸；(3)与

x

轴所围的面积最小。

六、(本题满分6分) 设

2

f(x)

是

[0,)

上连续，单调非减且

f(x)0

，试

x0

x0

，在

[0,)

上连续且单调非减(其中



1

x

n





tf(t)dt

F(x)



x

0

证函数



0



n0

)。

答题要求：写出详细过程。

浙江工商大学2005 /2006学年第一学期期末考试试卷

课程名称： 高等数学（上） 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟

班级名称： 学号： 姓名：

一、填空（每小题2分，满分20分）

1．

limx(x

2

1x

2

1)

x



xc



2．

lim



e,

则c =

x

xc





sin2x



3．函数

f(x)



x





a

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x

x0

x0

，在

(,)

处连续，则a =

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4．设

ycosx

2

cos

2

xtan



4

，则

dy

2

)

2

5．设

f(x)x(arcsinxarccosx),

则

f



(

6．已知曲线

yax

2

bx

在x =1处取到极值，则a、b应满足条件

7．已知



f(x)dxx

3

e

3x

c

，则f（x）=



8．



e

x

x

2

dx

0

3

9．设f（x）在



0,1



存在二阶连续导数，且

f



(0)0,f



(1)1

，则



f



(x)f



(x)dx

0

1

10．

__

微分方程

2y



4y



xe

2x

的特解形式

y

*



二、单项选择（每小题3分，满分15分）

1





xcos,x0,

1．

f(x)



则x = 0是f（x）的（ ）。

x





ln(1x),x0.

（A）连续点 （B）可去间断点

（C）无穷间断点 （D）跳跃间断点

2．当

x0

，下列无穷小中与x不等价的是（ ）。

（A）

tanx

（B）

e

x

1

（C）

1x1

（D）

ln(x1)

3．曲线

yxe

x

的拐点是（ ）。

（A）2 （B）

2e

2

（C）

(2,2e

2

)

（D）

(2,2e

2

)

4、若

y

1

,y

2

,y

3

是微分方程

y



p(x)y



q(x)yf(x)

三个线性无关的解，

(A)

C

1

y

1

C

2

y

2

y

3

(B)

C

1

(y

1

y

2

)C

2

(y

1

y

3

)y

1

(C)

C

1

(y

1

y

2

)C

2

(y

1

y

3

)

(D)

C

1

(y

1

y

2

)C

2

(y

1

y

3

)y

1

C

1

,C

2

是任意常数，则该方程的通解为 ( )

5．设两曲线 y = f（x）与 y = g（x）相交于两点（x

1

，y

1

）和（x

2

，y

2

），且

f(x)0,g(x)0

，则此两曲线所围平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积

为（ ）。

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（A）







f(x)g(x)



dx

2

x

1

x

2

（B）







f(x)







g(x)



dx

22

x

1

x

2

（C）







f(x)



dx







g(x)



dx

x

1

x

1

x

2

2

x

2

2

（D）



22



dx



f(x)g(x)



x

1

x

2

三、计算下列各题（每小题6分，满分42分）

1．求

lim



x0

lnx

ln(e

x

1)

x

2

axb

5

，求a，b的值。 2． 设

lim

x1

1x



x1t

2

dyd

2

y

3． 已知



，求

,

2

2

dx

dx



ytt

4．设

xylnylnx0

，求

5．求



ln(1x

2

)dx

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dy

dx

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6．求



7、求微分方程

xy



y



的通解。

四、应用题（每小题9分，满分18分）

1． 求抛物线

yx

2

4x3

及其在点（0，－3）和（3，0）处的切线围成图形

的面积。

2． 设圆锥体的母线长a为常数，试确定其高h，使圆锥体体积达到最大。

五、证明题（本题满分5分）

设

f(x)

在



,



内具有连续的二阶导数，且

f(0)0

，试证：

3

1

xdx

x4

2

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

f(x)

x0



g(x)



x





f



(0)x0

具有连续的一阶导数。

浙江工商大学2006/2007学年第一学期期末考试试卷

课程名称： 高等数学（上） 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟

班级名称： 学号： 姓名：

一、填空（每小题2分，满分20分）

1．设函数

f(x)

的定义域为

(0,1)

则

f(e

x

)

的定义域为

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n



2n1



2．

lim





n

2n2





sinax

,x0



3．设函数

f(x)



x

在

x0

处连续，则a =

x





1ae,x0

4．已知

f(x)xarctanx

2

，则

f



(1)

5．设

yln(1x)

，则

y

(n)



6．



(3xxcosx)/xdx

7．已知

f



(x)e

x

lnx

，则f（x）=

8．微分方程

9．设

y

y



y1

的通解为

edt

，则

y





a

0



x

t

2

x

2

10．设

f(x)

二阶可导，

f(0)0,f(a)f



(a)1

，则



xf



(x)dx

__

二、单项选择（每小题3分，满分15分）

2

1．当

x0

时，

(cosxcos2x)

是

x

2

的（ ）

3

（A）高阶无穷小 （B）同阶无穷小，但不是等价无穷小

（C）低阶无穷小 （D）等价无穷小

2．设

ye

x

sin

2

x

，则

dy

（ ）

2

sin

2

x

（A）

edsinx

（B）

edsinx

（C）

e

2sin

2

x

sin2xdsinx

（D）

e

sin

2

x

dsinx

3．设函数

f(x)

二阶可导，

f(x)f(x)

，且当

x(0,),f



(x)0

，

f



(x)0

，

则当

x(,0)

，曲线

yf(x)

（ ）

（A）单调上升，曲线是凸的 （B）单调下降，曲线是凸的

（C）单调上升，曲线是凹的 （D）单调下降，曲线是凹的

4、在区间

[1,1]

上满足拉格朗日中值定理条件的是( )

(A)

yln(1x)

(C)

yx

2

1

sinx

x

(D)

y|x|

(B)

y

5．下列广义积分收敛的是（ ）

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（A）



lnxdx

（B）



0

1

1

1

1

1x

0

dx

1

1

1

dx

（C）



dx

（D）



0

(1x)

2

0

1x

三、计算下列各题（每小题6分，满分42分）

sinx

4

4．求

lim

2

x0

xln(1x

2

)



xtln(1t

2

)

dyd

2

y

5． 若



，求

,

2

。

dx

dx



yarctant





xe

x

1,

6． (1)讨论函数

g(x)







sinx,

(2)在

g(x)

的可导点求其导数。

2

x0

x0

在

x0

处的可导性；

4．求曲线

yxe

x

在拐点处的切线方程。

5．求



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xe

x

dx

e1

x

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6．设

ye

是

xy



P(x)yx

的一个解，求此微分方程满足

y|

xln2

0

的解。

x

2x,





7、已知

f(x)



1x

,





1x

x0

x0

，求



f(x1)dx

0

2

四、应用题（每小题9分，满分18分）

3． 设区域

D

由曲线

ysinx

，及直线

xt,x2t,y0

所围成，其中

0t



/2

(1) 问

t

为何值时，

D

的面积最大？

(2) 求此时该区域绕

x

轴旋转的旋转体体积。

4． 底边为正方形的正四棱锥容器，顶点朝下，底边长为2米，高为2米，盛满

水，要将水全部抽出底面，需做多少功？

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五、证明题（本题满分5分）

函数

f(x)

在

[a,b]

上连续，在

(a,b)

内二阶可导，且

f(a)f(b)

1

b

f(t)dt

，试证：存在一点



(a,b)

，使得

f



(



)0

。



a

ba

浙江工商大学2007/2008学年第一学期期末考试试卷

课程名称： 高等数学（上） 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟

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