2024年3月21日发(作者：小学数学试卷细目表)

四、随机变量的数字特征

这一部份，“数学一”、“数学三”和“数学四”的考试大纲、内容和要求完全一致，．

Ⅰ 考试大纲要求

㈠ 考试内容 随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机

变量函数的数学期望 切比雪夫（Chebyshev）不等式 矩、协方差、相关系数

及其性质

㈡ 考试要求

一、考试大纲要求理解随机变量的数字特征（数学期望、方差，标准差、矩、

协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征概念和大体性质计算具体散布的

数字特征；掌握常常利用散布（二项散布、超几何散布、泊松散布、一维和二维

均匀散布、指数散布、一维和二维正态散布）的数字特征（解题时能够直接利用

这些数字特征）．

2、会按照随机变量的概率散布求其函数的数学期望；会按照二维随机变量

的概率散布求其函数的数学期望．

3、理解有关数字特征的概率意义，例如，对于指数散布，“平均无端障工

作的时刻”或“平均等待时刻”……能够理解为相应时刻的数学期望．

Ⅱ 考试内容提要

㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置．

一、数学期望的概念

(1) 概念 离散型和持续型随机变量X的数学期望概念为

x

k

P

Xx

k

(离散型)

，

k

EX

xf(x)dx

(连续型)

，



其中Σ表示对X的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无穷，则要

求级数绝对收敛；对于持续型变量，要求概念中的积分绝对收敛；不然以为数学

期望不存在．

(2) 随机变量的函数的数学期望 设

yg(x)

为持续函数或分段持续函数，

而X是任一随机变量，则随机变量

Yg(X)

的数学期望能够通过随机变量X的

概率散布直接来求，而没必要先求出

Y

的概率散布再求其数学期望；对于二元函

数

Zg(X,Y)

，有类似的公式：

g

x

k

P

Xx

k

(离散型)

；

k

EYEg(X)

（连续型）

．

g(x)f(x)dx

－

离散型

；



g

x

i

,y

j

P

Xx

i

,Yy

j

ij

EZEg

X,Y





g

x,y

f

x,y

dxdy

连续型

．



二、数学期望的性质

(1) 对于任意常数c，有

Ecc

．

(2) 对于任意常数

，有

E

X

EX

．

(3) 对于任意

X

1

,X

2

,

,X

m

，有

E

X

1

X

2

X

m

EX

1

EX

2

EX

m

．

(4) 若是

X

1

,X

2

,

,X

m

彼此独立，则

E

X

1

X

2

X

m

EX

1

EX

2

EX

m

．

㈡ 方差和标准差 表征随机变量取值分散或集中程度的数字特征．

一、方差的概念 称

DXE(XEX)

2

EX

2

(EX)

2

为随机变量X的方差，称

DX

为随机变量X的标准差．随机变量X的方差

有如下计算公式：


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