2024年4月9日发(作者：中考数学试卷分析大全)
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题
1
．已知全集
U=
{
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
}，集合
A=
{
0
，
1
，
3
}，集合
B=
{
2
，
6
}，则（∁
U
A
）
∩
（∁
U
B
）为（ ）
A
．{
5
，
6
}
B
．{
4
，
5
}
C
．{
0
，
3
}
D
．{
2
，
6
}
2
．已知
i
是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ）
A
．
1
﹣
i B
．﹣
1
+
i C
．
1
+
i D
．﹣
1
﹣
i
3
．已知双曲线
标为（
2
，
0
），则双曲线的方程为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐
4
．等比数列{
a
n
}中，
a
1
=1
，公比
q=2
，前
n
项和为
S
n
，下列结论正确的是（ ）
A
．
B
．∀
n
∈
N
*
，
a
n
•
a
n+1
≤
a
n+2
C
．∀
n
∈
N
*
，
S
n
＜
a
n+1
D
．
5
．执行如图所示的程序框图，若输出的
S=
，则判断框内填入的条件可以是（ ）
A
．
k
≥
7 B
．
k
＞
7 C
．
k
≤
8 D
．
k
＜
8
6
．设函数
f
（
x
）
=e
x
+
x
﹣
2
，
g
（
x
）
=lnx
+
x
2
﹣
3
．若实数
a
，
b
满足
f
（
a
）
=0
，
g
（
b
）
=0
，则
（ ）
A
．
g
（
a
）＜
0
＜
f
（
b
）
B
．
f
（
b
）＜
0
＜
g
（
a
）
C
．
0
＜
g
（
a
）＜
f
（
b
）
D
．
f
（
b
）＜
g
（
a
）＜
0
1 / 23
7
．函数
f
（
x
）
=Asin
（
ω
x
+
φ
）的部分图象如图所示，若
，且
f
（
x
1
）
=f
（
x
2
）（
x
1
≠
x
2
），则
f
（
x
1
+
x
2
）
=
（ ）
A
．
1 B
．
C
．
D
．
8
．现有
12
张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各
3
张，从中任取
3
张，要求
这
3
张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多
1
张．则不同的取法的共有（ ）
A
．
135 B
．
172 C
．
189 D
．
216
9
．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A
．
2 B
．
C
．
4 D
．
10
．已知变量
x
，
y
满足约束条件，若，则实数
a
的取值范围
是（ ）
A
．（
0
，
1
]
B
．[
0
，
1
）
C
．[
0
，
1
]
D
．（
0
，
1
）
11
．在三棱锥
A
﹣
BCD
中，底面
BCD
为边长为
2
的正三角形，顶点
A
在底面
BCD
上的射
影为△
BCD
的中心，若
E
为
BC
的中点，且直线
AE
与底面
BCD
所成角的正切值为
2
，
则三棱锥
A
﹣
BCD
外接球的表面积为（ ）
A
．
3
π
B
．
4
π
C
．
5
π
D
．
6
π
12
．若函数有唯一零点
x
0
，且
m
＜
x
0
＜
n
（
m
，
n
为相邻整数），
则
m
+
n
的值为（ ）
A
．
1 B
．
3 C
．
5 D
．
7
二、填空题
13
．若（
a
+
x
）（
1
+
x
）
4
的展开式中，
x
的奇数次幂的系数和为
32
，则展开式中
x
3
的系数为
_______
．
14
．圆心在曲线
上，且与直线
2x
+
y
+
1=0
相切的面积最小的圆的方程为
_______
．
2 / 23
15
．已知在锐角△
ABC
中，已知∠
B=
，|﹣|
=2
，则
的取值范围是
_______
．
n
a16
．
n
∈
N
*
）
S
n
是{
a
n
}的前
n
项和，
若数列{
a
n
}满足
a
n
﹣（﹣
1
）（
n
≥
2
，，则
S
40
=_______
．
n
﹣
1
=n
三、解答题
17
．已知
a
，
b
，
c
分别为锐角△
ABC
内角
A
，
B
，
C
的对边，且
a=2csinA
．
（
1
）求角
C
；
（
2
）若
c=
，且△
ABC
的面积为，求
a
+
b
的值．
18
．在
“
出彩中国人
”
的一期比赛中，有
6
位歌手（
1
～
6
）登台演出，由现场的百家大众媒体
投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出
3
位出彩候选人，其中媒体甲是
1
号歌手的歌迷，他必选
1
号，另在
2
号至
6
号中随机的选
2
名；媒体乙不欣赏
2
号歌手，
他必不选
2
号；媒体丙对
6
位歌手的演唱没有偏爱，因此在
1
至
6
号歌手中随机的选出
3
名．
（
Ⅰ
）求媒体甲选中
3
号且媒体乙未选中
3
号歌手的概率；
（
Ⅱ
）
X
表示
3
号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求
X
的分布列及数学期望．
19
．如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，
PC
⊥底面
ABCD
，
ABCD
是直角梯形，
AB
⊥
AD
，
AB
∥
CD
，
AB=2AD=2CD=2
．
E
是
PB
的中点．
（
Ⅰ
）求证：平面
EAC
⊥平面
PBC
；
（
Ⅱ
）若二面角
P
﹣
AC
﹣
E
的余弦值为，求直线
PA
与平面
EAC
所成角的正弦值．
20
．如图所示，已知椭圆
C
的离心率为
点，且．
，
A
、
B
、
F
分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦
（
1
）求椭圆
C
的方程；
（
2
）已知直线
l
：
y=kx
+
m
被圆
O
：
x
2
+
y
2
=4
所截弦长为
N
两点．求△
OMN
面积的最大值．
，若直线
l
与椭圆
C
交于
M
、
21
．已知函数
f
（
x
）
=ln
（
x
+
1
）﹣
x
3 / 23
（
1
）若
k
∈
z
，且
f
（
x
﹣
1
）+
x
＞
k
（
1
﹣）对任意
x
＞
1
恒成立，求
k
的最大值．
（
2
）对于在（
0
，
1
）中的任意一个常数
a
，是否存在正数
x
0
，使得
e
f
（
x0
）
＜
1
﹣
x
0
2
成立．
四、请考生在第
22
、
23
、
24
题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
.
选修
4-1
：几何证明选讲
22
．
CD
是∠
ACB
的角平分线，
AB=2AC
如图，在△
ABC
中，△
ADC
的外接圆交
BC
于点
E
，
（
Ⅰ
）求证：
BE=2AD
；
（
Ⅱ
）当
AC=3
，
EC=6
时，求
AD
的长．
23
．在平面直角坐标系
xoy
中，以
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线
l
的
极坐标方程为
θ
=
，曲线
C
的参数方程为．
（
1
）写出直线
l
与曲线
C
的直角坐标方程；
（
2
）过点
M
平行于直线
l
1
的直线与曲线
C
交于
A
、
B
两点，若|
MA
|
•
|
MB
|
=
，求点
M
轨迹的直角坐标方程．
24
．已知函数
f
（
x
）
=
|
2x
﹣
a
|+|
2x
+
3
|，
g
（
x
）
=
|
x
﹣
1
|+
2
．
（
1
）解不等式|
g
（
x
）|＜
5
；
（
2
）若对任意
x
1
∈
R
，都有
x
2
∈
R
，使得
f
（
x
1
）
=g
（
x
2
）成立，求实数
a
的取值范围．
4 / 23
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1
．已知全集
U=
{
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
}，集合
A=
{
0
，
1
，
3
}，集合
B=
{
2
，
6
}，则（∁
U
A
）
∩
（∁
U
B
）为（ ）
A
．{
5
，
6
}
B
．{
4
，
5
}
C
．{
0
，
3
}
D
．{
2
，
6
}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】利用已知条件求出集合的补集关系，然后求解交集．
【解答】解：全集
U=
{
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
}，集合
A=
{
0
，
1
，
3
}，集合
B=
{
2
，
6
}，
（
C
U
A
）
∩
（
C
U
B
）
=C
U
（
A
∪
B
）
=
{
4
，
5
}．
故选：
B
．
2
．已知
i
是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ）
A
．
1
﹣
i B
．﹣
1
+
i C
．
1
+
i D
．﹣
1
﹣
i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：，
∴复数
故选：
A
．
的共轭复数是
1
﹣
i
．
3
．已知双曲线
标为（
2
，
0
），则双曲线的方程为（ ）
A
．
B
．
C
．
的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐
D
．
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出
a
、
b
，即可得到
双曲线方程．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，
可得，它的一个焦点坐标为（
2
，
0
），可得
c=2
，即
a
2
+
b
2
=4
，
，
解得
a=1
，
b=
5 / 23
所求双曲线方程为：．
故选：
C
．
4
．等比数列{
a
n
}中，
a
1
=1
，公比
q=2
，前
n
项和为
S
n
，下列结论正确的是（ ）
A
．
B
．∀
n
∈
N
*
，
a
n
•
a
n+1
≤
a
n+2
C
．∀
n
∈
N
*
，
S
n
＜
a
n+1
D
．
【考点】等比数列的前
n
项和．
【分析】由题意可得
a
n
和
S
n
，逐个选项验证可得．
【解答】解：由题意可得，
A.
，
，∴
A
错；
B.
，构造函数
f
（
x
）
=2
x
，易知
f
（
x
）在
R
上
单调递增，
当
x=2
时，
f
（
2x
﹣
1
）
=f
（
x
+
1
），∴
R
上不能保证
f
（
2x
﹣
1
）≤
f
（
x
+
1
）恒成立，∴
B
错；
C
．
S
n
＜
a
n+1
恒成立即
2
n
﹣
1
＜
2
n
恒成立，显然
C
正确．
同
A
的解析可得
D
错误．
故选：
C
5
．执行如图所示的程序框图，若输出的
S=
，则判断框内填入的条件可以是（ ）
A
．
k
≥
7 B
．
k
＞
7 C
．
k
≤
8 D
．
k
＜
8
6 / 23
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的
k
，
S
的值，当
k=8
时，退出循环，
输出
S
的值为，故判断框图可填入的条件是
k
＜
8
．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得：
S=0
，
k=0
满足条件，
k=2
，
S=
满足条件，
k=4
，
S=
+
满足条件，
k=6
，
S=
+
满足条件，
k=8
，
S=
+
+
=
．
由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出
S
的值为
结合选项可得判断框内填入的条件可以是：
k
＜
8
．
故选：
D
．
6
．设函数
f
（
x
）
=e
x
+
x
﹣
2
，
g
（
x
）
=lnx
+
x
2
﹣
3
．若实数
a
，
b
满足
f
（
a
）
=0
，
g
（
b
）
=0
，则
（ ）
A
．
g
（
a
）＜
0
＜
f
（
b
）
B
．
f
（
b
）＜
0
＜
g
（
a
）
C
．
0
＜
g
（
a
）＜
f
（
b
）
D
．
f
（
b
）＜
g
（
a
）＜
0
【考点】函数的值；不等关系与不等式．
【分析】先判断函数
f
（
x
），
g
（
x
）在
R
上的单调性，再利用
f
（
a
）
=0
，
g
（
b
）
=0
判断
a
，
b
的取值范围即可．
【解答】解：
①
由于
y=e
x
及
y=x
﹣
2
关于
x
是单调递增函数，∴函数
f
（
x
）
=e
x
+
x
﹣
2
在
R
上单调递增，
分别作出
y=e
x
，
y=2
﹣
x
的图象，∵
f
（
0
）
=1
+
0
﹣
2
＜
0
，
f
（
1
）
=e
﹣
1
＞
0
，
f
（
a
）
=0
，∴
0
＜
a
＜
1
．
同理
g
（
x
）
=lnx
+
x
2
﹣
3
在
R
+
上单调递增，
g
（
1
）
=ln1
+
1
﹣
3=
﹣
2
＜
0
，
g
（）
=
，
g
（
b
）
=0
，∴．
∴
g
（
a
）
=lna
+
a
2
﹣
3
＜
g
（
1
）
=ln1
+
1
﹣
3=
﹣
2
＜
0
，
f
（
b
）
=e
b
+
b
﹣
2
＞
f
（
1
）
=e
+
1
﹣
2=e
﹣
1
＞
0
．
∴
g
（
a
）＜
0
＜
f
（
b
）．
故选
A
．
7 / 23
7
．函数
f
（
x
）
=Asin
（
ω
x
+
φ
）的部分图象如图所示，若
，且
f
（
x
1
）
=f
（
x
2
）（
x
1
≠
x
2
），则
f
（
x
1
+
x
2
）
=
（ ）
A
．
1 B
．
C
．
D
．
【考点】由
y=Asin
（
ω
x
+
φ
）的部分图象确定其解析式．
【分析】由图象可得
A=1
，由周期公式可得
ω
=2
，代入点（
（
x
）
=sin
（
2x
+），再由题意可得
x
1
+
x
2
=
=
，
0
）可得
φ
值，进而可得
f
，代入计算可得．
，解得
ω
=2
，
【解答】解：由图象可得
A=1
，
∴
f
（
x
）
=sin
（
2x
+
φ
），
代入点（
∴
，
0
）可得
sin
（+
φ
）
=0
，
k
∈
Z
+
φ
=k
π
，∴
φ
=k
π
﹣
，∴
φ
=
，
），
又|
φ
|＜
∴
f
（
x
）
=sin
（
2x
+
∴
sin
（
2
×
又
∴
x
1
+
x
2
=
×
2=
+）
=1
，即图中点的坐标为（，
1
），
，且
f
（
x
1
）
=f
（
x
2
）（
x
1
≠
x
2
），
，
8 / 23
∴
f
（
x
1
+
x
2
）
=sin
（
2
×+）
=
，
故选：
D
8
．现有
12
张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各
3
张，从中任取
3
张，要求
这
3
张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多
1
张．则不同的取法的共有（ ）
A
．
135 B
．
172 C
．
189 D
．
216
【考点】计数原理的应用．
【分析】不考虑特殊情况，共有
蓝色卡片，共有
由此可得结论．
【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有
种取法，两种蓝色卡片，共有
故所求的取法共有﹣
4
﹣
种取法，
=189
种．
种取法，其中每一种卡片各取三张，有
4
种取法，
种取法，其中每一种卡片各取三张，有
4
种取法，两种
故选：
C
．
9
．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A
．
2 B
．
C
．
4 D
．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，
ABCD
的面积为
2
×
=2
，
△
SAD
中，
SD=AD=
，
SA=2
，
∴
cos
∠
SDA=
∴
sin
∠
SDA=
，
∴
S
△
SAD
==2
=2
，
=
，
设
S
到平面
ABCD
的距离为
h
，则
9 / 23
∴
h=
=
，
所以几何体的体积是
故选：
B
．
10
．已知变量
x
，
y
满足约束条件，若，则实数
a
的取值范围
是（ ）
A
．（
0
，
1
]
B
．[
0
，
1
）
C
．[
0
，
1
]
【考点】简单线性规划．
D
．（
0
，
1
）
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出
a
的取值范围即可．
【解答】解：表示区域内点（
x
，
y
）与定点
A
（
2
，
0
）连线斜率
K
，
由图易观察到
BC
与
y
轴重合时，
当
BC
向右移动时，
故选：
C
．
，
，综上，
a
∈[
0
，
1
]．
10 / 23
11
．在三棱锥
A
﹣
BCD
中，底面
BCD
为边长为
2
的正三角形，顶点
A
在底面
BCD
上的射
影为△
BCD
的中心，若
E
为
BC
的中点，且直线
AE
与底面
BCD
所成角的正切值为
2
，
则三棱锥
A
﹣
BCD
外接球的表面积为（ ）
A
．
3
π
B
．
4
π
C
．
5
π
D
．
6
π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正
方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥
A
﹣
BCD
外接球的表面积．
【解答】解：∵定点
A
在底面
BCD
上的射影为三角形
BCD
的中心，
而且底面
BCD
是正三角形，
∴三棱锥
A
﹣
BCD
是正三棱锥，∴
AB=AC=AD
，
令底面三角形
BCD
的重心（即中心）为
P
，
∵底面
BCD
为边长为
2
的正三角形，
DE
是
BC
边上的高，
∴
DE=
，∴
PE=
，
DP=
，即
∵直线
AE
与底面
BCD
所成角的正切值为
2
∴
AP=
，
∵
AD
2
=AP
2
+
DP
2
（勾股定理），∴
AD=2
，于是
AB=AC=AD=BC=CD=DB=2
，
∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为
∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为
，
∴外接球的表面积
=4
π
r
2
=6
π
．
故选：
D
．
12
．若函数
则
m
+
n
的值为（ ）
A
．
1 B
．
3 C
．
5
有唯一零点
x
0
，且
m
＜
x
0
＜
n
（
m
，
n
为相邻整数），
D
．
7
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】构造函数，由函数有
唯一零点
x
0
，则
y
1
，
y
2
有公切点，由此求
x
0
的解析式，即可求出
m
、
n
的值．
【解答】解：令，
11 / 23
则，
在（
0
，
1
）上
y
1
为减函数，在（
1
，+
∞
）上
y
1
为增函数，
所以
y
1
为凹函数，而
y
2
为凸函数；
∵函数
∴
y
1
，
y
2
有公切点（
x
0
，
y
0
），
有唯一零点
x
0
，
则，
消去
a
，得
构造函数
则
g
（
1
）
=3
+﹣
2
（﹣）
lnx
0
=0
；
，
，
欲比较
5
与
7ln2
大小，可比较
e
5
与
2
7
大小，
∵
e
5
＞
2
7
，∴
g
（
2
）＞
0
，
，
∴
x
∈（
2
，
e
）；
∴
m=2
，
n=3
，∴
m
+
n=5
．
二、填空题
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