2023年新高考数学创新题型微专题10 解析几何专题(新定义)(解析版)_百

2024年4月14日发(作者：高考数学试卷怎么写)

专题10 解析几何专题（新定义）

一、单选题

1

．（

2023

春

·

浙江

·

高三校联考开学考试）

2022

年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，

定义在平面直角坐标系

xOy

中（

O

为坐标原点），把到定点

F

1

(−c,0)

和

F

2

(c,0)

距离之积等于

c

2

(c0)

的点的

轨迹称为双纽线，记为

Γ

，已知

P

(

x

0

,

y

0

)

为双纽线

Γ

上任意一点，有下列命题：

①双纽线

Γ

的方程为

(

x

2

+y

2

)

=2c

2

(

x

2

−y

2

)

；

1

2

②

△F

1

PF

2

面积最大值为

c

；

2

2

③

−

cc

y

0



；

22

④

PO

的最大值为

2c

．

其中所有正确命题的序号是（

）

A

．①②

C

．②③④

【答案】

D

B

．①②③

D

．①②③④

2

【分析】由已知

PF

1

PF

2

=c

，代入坐标整理即可得出方程，判断①；根据正弦定理，结合已知条件，即

可判断②；根据面积公式，结合②的结论，即可判断③；根据余弦定理，以及向量可推得

|PO|

2

=c

2

+c

2

cos



F

1

PF

2

2c

2

，即可判断④

.

2

22

(x

0

−c)

2

+y

0

=c

2

，

【详解】对于①，由定义

PF

1

PF

2

=c

，即

(x

0

+c)

2

+y

0

2222224

即

(

x

0

+y

0

+c+2cx

0

)



(

x

0

+y

0

+c−2cx

0

)

=c

，

22

整理可得

(

x

0

+y

0

)

=2c

2

(

x

0

2

−y

0

2

)

，

2

所以双纽线

Γ

的方程为

(

x

2

+y

2

)

=2c

2

(

x

2

−y

2

)

，故①正确；

对于②，

S

F

1

PF

2

2

=

111

PF

1

PF

2

sin



F

1

PF

2

=c

2

sin



F

1

PF

2

c

2

，故②正确；

222

=

11cc

F

1

F

2

y

0

=cy

0

c

2

，所以

−y

0



，故③正确；

2222

222

对于③，因为

S

F

1

PF

2

对于④，

△F

1

PF

2

中，由余弦定理可得

F

1

F

2

=PF

1

+PF

2

−2PF

1

PF

2

cosF

1

PF

2

，

所以

PF

1

+PF

2

=4c

2

+2c

2

cos



F

1

PF

2

.

uuur

又因为

2PO=PF

1

+PF

2

，所以

2PO

22

()(

2

uuuruuur

=PF

1

+PF

2

)

2

uuur

2

uuur

2

uuuruuur

=PF

1

+PF

2

+2PF

1

PF

2

uuur

2

uuur

2

uuuruuur

=PF

1

+PF

2

+2PF

1

PF

2

cosF

1

PF

2

.

所以，

(

2PO

)

+F

1

F

2

=PF

1

+PF

2

+2PF

1

PF

2

cosF

1

PF

2

+PF

1

+PF

2

−2PF

1

PF

2

cosF

1

PF

2

2

2

22

22

=2PF

1

+PF

2

2

(

22

)

，

222

即

4PO+4c=2

(

4c+2ccos



F

1

PF

2

)

，

2222

整理可得

|PO|=c+ccos



F

1

PF

2

2c

，所以

|PO|2c

，故④正确

.

故选：

D.

x

2

y

2

2

．（

2023

春

·

四川达州

·

高二四川省宣汉中学校考开学考试）定义：

椭圆

2

+

2

=1(ab1)

中长度为整数

ab

x

2

y

2

的焦点弦

(

过焦点的弦

)

为

“

好弦

”

．

则椭圆

+=1

中所有

“

好弦

”

的长度之和为（

）

259

A

．

162

【答案】

B

【分析】根据题意分类讨论结合韦达定理求弦长的取值范围，进而判断

“

好弦

”

的长度的取值可能，注意椭

圆对称性的应用

.

【详解】由已知可得

a=5,b=3

，

所以

c=a

2

−b

2

=4

，

B

．

166 C

．

312 D

．

364

x

2

y

2

即椭圆

+=1

的右焦点坐标为

(

4,0

)

，对于过右焦点的弦

AB

，则有：

259

当弦

AB

与

x

轴重合时，则弦长

AB=2a=10

，

当弦

AB

不与

x

轴重合时，设

AB:x=my+4,A

(

x

1

,y

1

)

,B

(

x

2

,y

2

)

，