2024年3月25日发(作者：数学试卷比值是什么意思)

第1章 实数集与函数

1.1 复习笔记

一、实数

1

实数的性质

封闭性、有序性、大小的传递性、阿基米德性、稠密性、与数轴上的点一一对应。

2

三角不等式

二、确界原理

设S为非空数集。若S有上界必有上确界；若S有下界必有下确界。

三、函数概念

1

函数的表示法

主要有三种，即解析法（或称公式法）、列表法和图像法。

2

复合函数

设有两函数

y＝f（u），u∈D

u＝g（x），x∈E

式中的u为中间变量，函数f和g的复合运算也可简单地写作 。

3

反函数

设

y＝f（x），x∈D

对于任意的一个y∈f（D），D中存在唯一的x，使得f（x）＝y。则按此对应法则得到的函数称为反函

数，记作

x＝f

－

1

（y），y∈f（D）

4

初等函数

图1-1-1

四、具有某些特性的函数（见表1-1-1）

表1-1-1 具有某些特性的函数

1.2 课后习题详解

§1 实 数

1

设a为有理数，x为无理数。证明：

（1）

a＋x是无理数；

（2）

当a≠0时，ax是无理数。

证明：（1）用反证法。假设a＋x是有理数，那么（a＋x）－a＝x也是有理数。这与x是无理数矛盾。故

a＋x是无理数。

（2）用反证法。假设ax是有理数，因为a是不等于零的有理数，所以ax/a＝x是有理数。这与x是无理数矛

盾。故ax是无理数。

2

试在数轴上表示出下列不等式的解：

（1）x（x

2

－1）＞0；

（2）|x－1|＜|x－3|；

（3） 。

解：（1）由原不等式得

或

不等式组① 的解是x＞1，不等式组② 的解是－1＜x＜0。故x（x

2

－1）＞0的解集是{－1＜x＜0或x＞

1}。在数轴上表示如图1-2-1所示。

图1-2-1

（2）

原不等式同解于不等式（x－1）

2

＜（x－3）

2

。由此得原不等式的解为x＜2。在数轴上表示如图1-

2-2所示。

图1-2-2

（3）

原不等式的解x首先必须满足不等式组

解得x≥1。原不等式两边平方得

即

当x≥1时， 不可能成立，故原不等式无解。

3

设a，b∈R。证明：若对任何正数ε有|a－b|＜ε，则a＝b。

证明：用反证法。假设a≠b，那么a－b≠0。设|a－b|＝η，则η＞0。取ε＝η/2，因为|a－b|＝η＞ε，那么|a－

b|＜ε不成立。这与题设矛盾，故a＝b。

4

设x≠0，证明：|x＋1/x|≥2，并说明其中等号何时成立。

证明：由于

因此，|x＋1/x|≥2当且仅当x

2

＝1/x

2

，即x＝±1时，原不等式中的等号成立。

5

证明：对任何x∈R有

（1）|x－1|＋|x－2|≥1；

（2）|x－1|＋|x－2|＋|x－3|≥2。

并说明等号何时成立。

证明：（1）由三角不等式|a|＋|b|≥|a＋b|可知，|x－1|＋|x－2|＝|x－1|＋|2－x|≥|（x－1）＋（2－x）|＝

1，

当且仅当x∈[1，2]时，等号成立。

（2）|x－1|＋|x－2|＋|x－3|≥|x－1|＋|x－3|＝|x－1|＋|3－x|≥|（x－1）＋（3－x）|＝2，当且仅当x＝2时，

等号成立。

6

设a，b，c∈R

＋

（R

＋

表示全体正实数的集合）。证明

几何意义吗？

证明：由于∀x∈R，|－x|＝|x|，故只需对b≥c＞0的情形进行证明。

当b≥c＞0时，原不等式化为

，你能说明此不等式的

上式等价于

两边平方，得

即

由于b、c∈R

＋，所以上式等价于

即c

2

≤b

2

，当b≥c＞0时，这个不等式是成立的。所以原命题成立。

题中不等式的几何意义如图1-2-3所示，其中AB＝a，BD＝b，BC＝c。其几何意义表示△ACD的两边之

差小于第三边。

图1-2-3

7

设x＞0，b＞0，a≠b。证明（a＋x）/（b＋x）介于1与a/b之间。

证明：

由题设x＞0，b＞0，a≠b可知－x（a－b）

2

/[b（b＋x）]

2

＜0。

于是原命题得证。

8

设p为正整数。证明：若p不是完全平方数，则

证明：反证法。假设

使得

是无理数。

是有理数。由于p不是完全平方数，于是存在两个互质的正数m，n，且n＞1，

是无理数。

，于是p＝m

2

/n

2

，m

2

＝n

2

p＝n（pn），由此得n|m

2

。由于n＞1，所以存在质数r|n。于是r|m

2

，

r|m。这与m，n互质矛盾，所以

9

设a，b为给定实数。试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：

（1）|x－a|＜|x－b|；

（2）|x－a|＜|x－b|；

（3）|x

2

－a|＜b。

解：（1）因为x＝b不是原不等式的解，原不等式可化为|（x－a）/（x－b）|＜1，即

－1＜（x－a）/（x－b）＜1。

由此得不等式组

即

或

故当a＞b时，原不等式的解是x＞（a＋b）/2。

当a＜b时，原不等式的解是x＜（a＋b）/2。

当a＝b时，原不等式的解集是∅。

（2）

原不等式可化为

即

故当a＞b时，原不等式的解是x＞（a＋b）/2。

当a≤b时，原不等式的解集是∅。

（3）

当b≤0时，原不等式的解集是 。当b＞0时，原不等式可化为－b＜x

2

－a＜b。即

（i）

当b＞0，a＋b≤0时，原不等式的解集是 。

（ii）

当b＞0，a＋b＞0，a－b＜0时，原不等式的解是

（iii）

当b＞0，a＋b＞0，a－b≥0时，原不等式的解是

。

或

§2 数集·确界原理

1

用区间表示下列不等式的解：

（1）|1－x|－x≥0；

（2）|x＋1/x|≤6；

（3）（x－a）（x－b）（x－c）＞0（a，b，c为常数，且a＜b＜c）；

（4）

。

解：（1）原不等式可化为|1－x|≥x。显然，当x≤0时，原不等式总成立。当x＞0时，原不等式可化为（1

－x）

2

≥x

2

，即1－2x＋x

2

≥x

2

，解得x≤1/2。综上，原不等式的解为x≤1/2，用区间表示为（－∞，1/2]。

（2）

显然，当一个数是|x＋1/x|≤6的解时，它的相反数也是不等式的解。于是先求解不等式组 。

即

，解得 ，于是原不等式的解集为

（3）

由于a＜b＜c，故可将不等于a、b、c（它们不是原不等式的解）的实数划分为4个部分（－∞，

a）、（a，b）、（b，c）、（c，＋∞）。当x在其中任一部分中变化时，（x－a）、（x－b）、（x－

c）都不变号，由此可得原不等式的解集为（a，b）∪（c，＋∞）。

（4）

由单位圆中的正弦线可得 的解集是[2kπ＋π/4，2kπ＋3π/4]，k为整数。

2

设S为非空数集。试对下列概念给出定义：

（1）

S无上界；

（2）

S无界。

解：（1）设S为非空数集，若对任意的正数M，总存在x

0

∈S，使得x

0

＞M，则称数集S无上界。

（2）设S为非空数集，若对任意正数M，总存在x

0

∈S，使得|x

0

|＞M，则称数集S无界。

3

试证明S＝{y|y＝2－x

2

，x∈R}有上界而无下界。

证明：数集S＝（－∞，2]。对任意的x∈S，x≤2＜3，故3是数集S的一个上界。S无下界，因为对于任意

一个正数M，令x

0

＝－（M＋1）∈S，而x

0

＜－M。

4

求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：

（1）S＝{x|x

2

＜2}；

（2）S＝{x|x＝n！，n∈N

＋

}；

（3）S＝{x|x为（0，1）内的无理数}；

（4）S＝{x|x＝1－1/2

n

，n∈N

＋

}。

解：（1）

。S的上、下确界分别为 和

，取

。这里只证明

，则

是上确界。显然有

是集合S的一个上界。对任意的ε＞0，不妨设

即x

0

∈S，且 。因此， 是S的上确界。

（2）

S＝{x|x＝n！，n∈N

＋

}＝{1，2，6，…}的上、下确界分别为＋∞和1。1是S的一个下界，并且任何

大于1的数都不是S的下界，所以1是S的最大下界，即1是S的下确界。对任意的M＞0，取n＝[M]＋1∈N

＋，则x＝n！≥n＞M，故S无上界，即S的上确界为＋∞。

（3）

S＝{x|x为（0，1）内的无理数}的上、下确界分别为1和0。这里只证明1是S的上确界。设a＜1，不

妨设a＞0。由无理数的稠密性可知，存在无理数x

0

∈（a，1）。于是x

0

∈S，并且x

0

＞a。因此，1是S的

上确界。

（4）

S＝{x|x＝1－1/2

n

，n∈N

＋

}的上确界为1，下确界为1/2。因为S中的最小元素为1/2，所以1/2是S的

最大下界，即1/2是S的下确界。由于1－1/2

n

＜1（n∈N

＋

），所以1是S的一个上界，对任意的ε＞0。存

在n

0

∈N

＋

，使得 ，于是取 ，且满足不等式x

0

＞1－ε。因此，1是S的上确界。

5

设S为非空有下界数集。证明：inf S＝ξ∈S⇔ξ＝min S。

证明：必要性，设inf S＝ε∈S，因为ξ是S的下确界，所以ξ是S的一个下界。于是，对于S的任一元素x，

x≥ξ。又因为ξ∈S，所以ξ是S中最小的数。即ξ＝minS。

充分性，设ξ＝min S，则ξ∈S，并且对于S中的任意元素x，x≥ξ。即ξ是S的一个下界。对于任意a＞ξ，

取x

0

＝ξ∈S，则x

0

＜a。所以ξ是S的下确界，即inf S＝ξ∈S。

6

设S为非空数集，定义S

－

＝{x|－x∈S）。证明：

（1）

infS

－

＝－supS；

（2）

supS

－

＝－infS。

证明：（1）设supS＝η，则任意x

0

∈S

－，－

x

0

∈

S

，则－

x

0

≤η

，即

x

0

≥

－

η

。故－

η

是

S

－的一个下界。又有对于任意正数

ε

，存在

x

0

∈

S

，

使得

x

0

＞

η

－

ε

。于是，－

x

0

∈

S

－，－

x

0

＜－

η

＋

ε

。故－

η

是

S

－的下确 界，即

infS

－

＝－supS。

（2）同理可证。

7

设A、B皆为非空有界数集，定义数集A＋B＝{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}。证明：

（1）

sup（A＋B）＝supA＋supB；

（2）

inf（A＋B）＝infA＋infB。

证明：（1）对任意的c∈A＋B，存在a∈A，b∈B，使得c＝a＋b，则设supA＝η

1

，supB＝η

2

，于是

a≤η

1

，b≤η

2

，c≤η

1

＋η

2

，因此η

1

＋η

2

是A＋B的一个上界。

对于任意正数ε，存在a∈A，b∈B，使得a＞η

1

－ε/2，b＞η

2

－ε/2，于是，a＋b∈A＋B，并且a＋b＞（η

1

＋η

2

）－ε，故sup（A＋B）＝η

1

＋η

2

，即sup（A＋B）＝supA＋supB。

（2）同理可证。

§3 函数概念

1

试作下列函数的图像：

（1）y＝x

2

＋1；

（2）y＝（x＋1）

2

；

（3）y＝1－（x＋1）

2

；

（4）

y＝sgn（sinx）；

（5）

。

解：各函数的图像如图1-2-4～图1-2-8所示。

图1-2-4


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