2024年4月6日发(作者：浙江职高数学试卷答案)

第一章

4.在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四脚的连线呈

正方形改为长方形，其余不变。试构造模型并求解。

答：相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为

f(a)和g(a)

。

f

和

g

都是连续函

数。椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的

a

，

f(a)和g(a)

中至少

有一个不为零。不妨设

g(0)0,f(0)0

。当椅子旋转90°后，对角线互换，

f(π/2)0,g(π/2)0

。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地。就归结为证

明如下的数学命题：

已知

f(a)和g(a)是a

的连续函数，对任意

a,f(a)g(a)0,且g(0)f(π/2)0

，

f(0)0,g(π/2)0

。证明存在

a

0

，使

f(a

0

)g(a

0

)0

证：令

h(a)f(a)g(a),则h(0)0和h(π/2)0

，

由

f和g

的连续性知h也是连续函数。

根据连续函数的基本性质，

必存在

a

0

（0＜

a

0

＜π/2）使

h(a

0

)0

，即

f(a

0

)g(a

0

)0

因为

f(a

0

)•g(a

0

)0

，所以

f(a

0

)g(a

0

)0

8

第二章

7.

10.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便有效的排列方

法，使加工出尽可能多的圆盘。

第三章

5.根据最优定价模型 考虑成本随着销售量的增加而减少，则设

q(x)q

0

kx

(1)k是产量增加一个单位时成本的降低 ，

销售量x与价格p呈线性关系

xabp,a,b0

(2)

收入等于销售量乘以价格p :

f(x)px

(3)

利润

r(x)f(x)q(x)

(4)

将（1）（2）（3）代入（4）求出

r(x)bp

2

pakbpq

0

ka

当

a,b,q

0

,k

给定后容易求出使利润达到最大的定价

p

*

为

p

*

q

0

ka

a

22kb2b

6.根据最优定价模型

f(x)px

x是销售量 p是价格，成本q随着时

间增长，

qq

0

t,

为增长率，

q

0

为边际成本（单位成本）。销售量

与价格二者呈线性关系

xabp,a,b0

.

利润

u(x)f(x)q(x)

.假设前一半销售量的销售价格为

p

1

，后一半销售

量的销售价格为

p

2

。

前期利润

u(p

1

)

0

[p

1

q(t)](abp

1

)dt

后期利润

u(p

2

)

T/2

[p

2

q(t)](abp

2

)dt

总利润

Uu(p

1

)u(p

2

)

由

UU

0,0

可得到最优价格:

p

1

p

2

T

T/2

p

1

1

T13

T

[ab(q

0

)]

P

2

[ab(q

0

)]

2b42b4

前期销售量

后期销售量

T、2

0

T

（abp

1

)dt

(ap

2

)dt

T/2

总销售量

Q

0

=

aT

bT

(p

1

p

2

)

2

在销售量约束条件下U的最大值点为

a

Q

T

~

a

Q

T

~

,

P

2



0

p

1



0

bbT8bbT8

7.

(1)雨水淋遍全身，

s2(abbcac)2*(1.5*0.50.5*0.21.5*0.2)2.2m

2

以最大速度跑步，所需时间

t

min

d/v

m

1000/5200s

(2)顶部淋雨量

Q

1

bcdwcos

/v

雨速水平分量

usin

,水平方向合速度

usin

v

迎面淋雨量

Q

2

abdw(usin

v)/uv

总淋雨量

QQ

1

Q

2

，Q1.55L

当

vv

m

时，Q最小，

0，Q1.15

L;

30

。

(3)合速度为

|usin

v|

总淋雨量

bdwcucos

u(usin

v)bdwu(ccos

asin

)av

,vusin

uvuv

Q

bdwcucos

a(vusin

)

bdwu(ccos

asin

)av

,vusin

vuv

u

若

ccos

asin

0

,即

tan

c/a

,则

vusin

时Q最小，

否则

vv

m

时Q最小，当

30

。

，

tan

2/15,v2m/s,Q0.24L

最小

）

（4）雨从背面吹来，满足

tan

c/a(a1.5m,c0.2m,

7.6

。

，

vusin

,Q

最小，人体背面不淋雨，顶部淋雨。

（5）侧面淋雨，本质没有变化

第四章

1.（1）设证券A B C D E的金额分别为

x

1

,x

2

,x

3

,x

4

,x

5

Max0.043x

1

0.027x

2

0.025x

3

0.022x

4

0.045x

5

s.t.x

2

x

3

x

4

4

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

10

2x

1

2x

2

x

3

x

4

5x

5

1.4,即6x

1

6x

2

4x

3

4x

4

36x

5

0

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

9x

1

15x

2

4x

3

3x

4

2x

5

5,即4x

1

10x

2

x

3

2x

4

3x

5

0

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

1

,x

2,

x

3

,x

4

,x

5

0

(2)由（1)可知，若资金增加100万元，收益增加0.0298百万元，大于以2.75%

的利润借到100万元资金的利息，所以应该借贷。投资方案需要将上面模型第二

个约束右端改为11，求解得：证券A，C，E分别投资2.40百万元，8.10百万元，

0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。

(3)由（1）可知，证券A的税前收益可增加0.35%，若证券A的税前收益增加为

4.5%，投资不应改变。证券C的税前收益可减少0.112%，故若证券C的税前收

益减少为4.8%，投资应该改变。

6.设

y

1,

z

1

分别是产品A是来自混合池和原料丙的吨数，

y

2

,z

2

分别是产品B中是

来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲乙丁所占的比例分别为

x

1

,x

2

,x

4

,

优化目标是总利润最大，

7.记b=(290,315,350,455)为4种产品的长度，n=(15,28,21,30)为4种产品的

产品的需求量，设第i种切割模式下每根原料钢管生产4种产品的数量分别为

r

1

,r

2

,r

3

,r

4

,

该模式使用

x

i

次，即使用该模式切割

x

i

根原料钢管（i=1,2,3,4)且切

割模式次序是按照使用频率从高到低排列的。

第五章

di

si

i,i(0)i

0

dt

1、（1）SIR模型

,s(t)曲线单调递减。

ds



si,s(0)s

0

dt

若

s

0

1

,当

1

ss

0

时，

1

di

0

,i(t)增加；

dt

di

0

,i(t)达到最大值；

dt

1di

当

s

时，

0

,i(t)减少，且

i

0

dt

1di

(2)若

s

0

,0,i(t)

单调递减至0

dt

当

s

时，

9.（1）提倡一对夫妻只生一个孩子：总和生育率

（t)1

;（2）提倡晚婚晚育：

(rr

1

)e

生育模式

h(r)

(

)

1

rr

1

,

,rr

1

取

2，

n

得

r

c

r

1

n2

，

r

1

意味着晚

2

婚，

n

增加意味着晚育，这里的

r

1

,r

c

增大（3）生育第二胎的规定：

(t)1

,生育

模式

h(r)

曲线更加扁平。


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销售量,增加,原料,成本,价格,模式