2024年4月18日发(作者：南通中考原题数学试卷答案)

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2.5 平面向量应用举例

2.5.1 平面几何中的向量方法

整体设计

教学分析

1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方

法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向

量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些

向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结

果.代数方法的流程图可以简单地表述为:

则向量方法的流程图可以简单地表述为:

这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.

2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括:

综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论;

解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;

向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;

分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等.

前三种方法都是中学数学中出现的内容.

有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或

点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量

的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点

的选取,选取得当可使计算过程大大简化.

三维目标

1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.

2.明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性

运算及数量积表示.

3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思

维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.

教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.

重点难点

教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.

教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平

面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何

研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.

思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何

图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表

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示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量

方法在平面几何中的运用.

推进新课

新知探究

提出问题

图1

①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边

形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？

②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方

法?

③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？

活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利

用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条

对角线的平方和等于四条边的平方和.

②教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的

重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,

有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方

法、解析方法、向量方法.

图2

证明:方法一:如图2.

作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.

∴AD=BC,AF=BE.由于AC

222222222

AE+CE=(AB+BE)+CE=AB+2AB·BE+BE+CE=AB+2AB·BE+BC.

2222222222222

BD=BF+DF=(AB-AF)+DF=AB-2AB·AF+AF+DF=AB-2AB·AF+AD=AB-2AB·BE+BC.∴AC+BD

222

=2(AB+BC).

图3

方法二:如图3.

以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.

设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).

222222

∴|AC|=(a+b)+c=a+2ab+b+c,

222222

|BD|=(a-b)+(-c)=a-2ab+b+c.

2222222

∴|AC|+|BD|=2a+2(b+c)=2(|AB|+|AD|).

用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决

涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量

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