高考数学应试技巧之黎曼几何

2024年4月6日发(作者：今年南昌三模数学试卷)

高考数学应试技巧之黎曼几何

作为高中数学必修的一部分，几何学在高考数学考试中占有相

当的分量。其中，黎曼几何是不可忽视的一个部分，它对于考生

掌握数学基础知识以及解题能力有着重要作用。在这篇文章中，

我们将讨论一些高考数学应试技巧，以帮助考生更好地应对黎曼

几何这道难点题目。

一、黎曼几何基础

黎曼几何是现代数学中的一部分，它研究的是非欧几何、曲线

曲面的性质。在高考中，黎曼几何主要考察题目有：空间坐标系

变化、曲率半径、测地线等。

在应对黎曼几何问题时，首先需要掌握的是三维空间直角坐标

系的变换。空间坐标系的变换可以分为平移变换、旋转变换、伸

缩变换、镜面反射变换等，其中平移变换和旋转变换是最常见的。

平移变换的形式为(x,y,z)→(x+a,y+b,z+c)，表示将点(x,y,z)移动到

(x+a,y+b,z+c)的位置；旋转变换的形式为(x,y,z)→(x′,y′,z′)，表示将

点(x,y,z)绕着某个轴旋转一定角度得到的变换。

此外，还需要掌握曲率半径和测地线的相关知识。曲率半径表

示了空间曲线在某一点处的曲率大小，它的数值越小，则曲线的

弯曲程度越大；测地线则是在黎曼几何中的一种特殊的曲线，它

在空间中具有“直线”的特性，但与欧式几何中的直线不同，它是

沿着曲率最小的方向前进的。掌握这些基本概念之后，可以更好

地解决黎曼几何中的各种问题。

二、解题技巧

（一）审题重要，掌握考点

针对黎曼几何题目，考生首先需要仔细审题，明确题目中的要

求和考点。例如，一道典型的黎曼几何题目：

已知三角形ABC，其中∠B=90°，AC=8，BC=6，点D在边

AC上，使得CD=2，BD的垂线交边AC于点E，连BE，求BE

的长度。

这道题涉及了三角形和直角三角形的知识，在解题过程中需要

运用到曲线曲面的相关知识点。通过仔细分析题目中的条件和要

求，可以发现它主要考察的是曲率半径的概念和平移旋转变换的

知识。明确了考点之后，就可以更有针对性、更加准确地解答题

目。

（二）画图重要，辅助理解

在解题过程中，画图是非常重要的辅助手段。通过画出几何图

形，可以更加直观地理解题目中涉及到的几何概念和变换方式。

例如，对于上述题目，要求求出BE的长度，我们可以先画出三角

形ABC及其高BE，然后通过平移旋转等变换方式求出点E的坐

标，进而得出BE的长度。画图能够帮助考生更加清晰地理解问题，

减少错误的机率。

（三）善用公式，搞清楚思路

在应对黎曼几何问题时，一些基本的公式也是不可或缺的。例

如，对于已知曲线的一些基本性质来说，我们可以使用曲率半径

的公式来求出曲率半径值，并通过此值进行推断出一些其他的信

息。同时，测地线的概念也可以通过公式很好地理解。

总的来说，在解题过程中，善用公式是有助于掌握思路和推进

整个解题过程的重要方法。

三、总结

黎曼几何考题在高考数学中属于难点题目，但通过掌握基础知

识和合理运用解题技巧，同学们也可以更好地应对这一部分内容。

在解题时，我们可以通过审题明确考点，画图直观理解题目，善

用公式并搞清思路，辅助解题。同时，多做黎曼几何考题，并结

合教材、参考书等资料进行模拟实战演练，也是提高技巧和能力

的重要途径。相信通过这些技巧和方法的运用，同学们可以在高

考中取得好成绩。