谈高中数学新课程的人文价值之“数学的和谐美”

2024年4月9日发(作者：数学试卷及其答案解析高中)

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２４・　数学教育研究　２００８年第３期　

谈高中数学新课程的人文价值之“数学的和谐美＂　

张　敏　（江苏省太仓高级中学２１５４００）　

和谐性是数学美的特征之一，和谐即雅致，亦即严　

谨或形式结构的无矛盾性．在数学中常表现为各种数　

学形式在不同层次上互相协调和统一或数学系统的完　

整性．数学的和谐美也具有普遍性，美学家高尔泰曾经　

指出“所谓数学的和谐不仅是宇宙的特点，原子的特　

点，也是生命的特点，人的特点．”数学是一门相当严谨　

的科学，对其概念、公式等都流露出它的和谐的要求，　

为了追求其中和谐，数学家们一直在努力以消除其中　

不和谐的东西，从而导致数学更进一步的发展．在高中　

数学教育中，我们也在培养学生对数学和谐美的体验　

和感悟，提高他们的数学素养和问题的解决能力．　

能、生活节奏及新陈代谢水平也都处于最佳状态，而　

３７。Ｃ与２３。Ｃ的比值也正好是０．６１８左右．生物在进化　

的过程中，也存在着“存优淘劣，和谐完美”的法则，蜂　

房的构造便是一个完美的体现．　

３和谐指导数学教育　

我国数学家徐利治教授认为：“数学教学的目的之　

是使学生获得对数学的审美能力，即能增进学生对数　

学美的主观感受能力．”数学从表面上看来是枯燥乏味　

的，然而却具有一种隐蔽的、深邃的和谐美，数学教育的　

任务就是将数学科学的和谐美自觉地反映出来，并不断　

地感染学生，不断地给学生以美的熏陶和训练．如在等　

比数列的前　项和的教学中，我们注意引导学生发现　

一

１和谐孕育数学发展　

在数学的发展史中，共有三次数学危机．他们分别　

是无理数的发现、微积分的产生、罗素悖论引出的数学　

基础研究．　

古希腊的毕达哥拉斯学派认为世间的一切事物都　

可以归结为整数或整数的比例，这是世界所以美好的　

源泉．但学派的希帕索斯却发现了直线三角形弦和勾　

（股）不可通约这一不和谐的现象，直接导致了一类新　

数无理数的发现．虽然在十八世纪人们借助微积分成　

功解决了众多问题（如切线问题、最值问题、力学中的　

速度问题、变力做功问题等），但是成功获得的光环掩　

盖不了其建立之初基础不牢所致的不和谐之音．从古　

希腊学者芝诺的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯悖　

论、箭的悖论、操场悖论）到英国大主教贝克莱的贝克　

莱悖论，均体现了无穷小量在定义上的不和谐性．在法　

国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的努力下，　

通过“￡＿艿”的方法将无穷小量定义在算术概念的基础　

上，从而暂时结束了数学的混乱的局面．在１９０２年，数　

学家罗素提出了“理发师悖论”，引发了集合论中自相　

矛盾的结果，从此，数学家们就开始为这场危机寻找解　

决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，　

以回避悖论．首先进行这个工作的是德国数学家策梅　

罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合　

论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成　

了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ＺＦ公理系　

统），这场数学危机终于缓和下来．　

Ｓ—Ｓ＋　Ｓ　一　这个公式蕴涵的和谐性．在我们进行复　

数教学时，同学对ｅ　十１—０惊叹不已，Ⅱ，ｅ，ｉ，ｌ这四个　

数学中的常数被和谐地统一在这个公式中，甚至有同　

学说到“太完美了，这一定是数学中最美的定理”．　

在数学的教育中，我们还可以通过对数学概念、公　

式的不和谐现象的分析来深化学生对知识的理解．在　

简单多面体欧拉公式　＋Ｆ—Ｅ一２的探究中，有一位　

同学发现对其他类型的多面体也应该有类似的和谐公　

式，他通过自己的努力钻研，通过引进同胚的概念，将　

＋Ｆ—Ｅ一２推广为Ｖ＋Ｆ—Ｅ—　，其中　取决于胚的　

个数（事实上，　就是欧拉示性数）．　

有些不和谐的数学现象我们无法使之和谐，但也　

能激发起学生对数学学习的兴趣和热情．在新课标实　

验教材中，有一个关于“雪花曲线”的例子，　

我们让学生进一步探究研究　

曲线的边界长Ｌ和它的面积Ｓ并　

０

（下转第２３页）　

２和谐应用于学科交叉　

数学的和谐美不仅能从美学、艺术、音乐、建筑、生　

物、自然等诸领域得到验证，而且能够解释这些领域的　

和谐现象．　

这些领域中，最负盛名应该是黄金分割０．６１８，我　

们日常生活中的像书籍、国旗、桌面、电视屏幕等物品　

都很协调，其主要原因就是它们的长宽比例符合黄金　

分割，我们人类也是一样，身材各部的比例也与黄金比　

相近．我们知道人的正常体温是３７。ｃ左右，但在外界　

温度是２３口Ｃ时会感到最舒适，这个时候人体的生理功　

得到了Ｌ＝３ａ（÷）ｎ－１　

（鲁）一　．同学们发现了　

～　

个非常奇怪的现象——边界长无限，但其围成的面　

积却是有限的．一位同学给出了这个数学现象的初等　

解释：雪花曲线在三角形的外接圆内，面积比有限，但　

曲线的长度无限（如右图）．　

一

４和谐启迪数学思维　

在数学问题的解决中，关键在于把原问题转化为　

个更容易的问题，而实现转化的依据就在于前后问　

一

２００８年第３期　数学教育研究　・　２３　・　

２．这个实际问题若从数学角度去观察分析，同学　

们认为可转化为什么问题？（让学生探索、讨论）学生　

甲：重新画一个与原来相等的圆形镜．学生乙：把玻璃　

残片补成一个圆．……　

３．要重新画一个与原来相等的圆，必须知道什么？　

这样图文并茂的数学情境能使学生探索的欲望油然而　

生，促使他们集中精力，开动脑筋，尝试探寻各种积极　

的解决方法，创造的灵感和顿悟很可能由此产生．　

实践证明，创设问题情境的教学一旦运用于数学　

教学，就会进发出无穷的魅力，极大地吸引着学生，就　

会使学生全身心地投入到学习中，从而促进学生有效　

地学习．　

互动；不仅是师生的互动，也是生生之间的互动，有价　

值的互动教学应该是心灵与心灵的交流，是思想火花　

的碰撞，是学习方法的模仿与借鉴，是正确与错误的交　

锋！但是，在现实的教学实践中，要想达到如此高境界　

的互动，需要具备一个前提，即让学生充分认识到自已　

才是学习的主人．如：在开始学“二元一次方程组”时，　

我提出“鸡兔同笼”问题，一些学生迫切想知道鸡兔各　

有几只，我找～位同学谈谈他的看法，看得出，他此时　

很紧张，于是，我面带微笑风趣地说了一句“某同学，我　

没有不让你看课本”，此语一出，立刻引起了学生们的　

笑声．开始时的那种沉闷、寂静、鸦雀无声的课堂氛围　

２．３结束语中的精彩　

精彩的结束语会有“余音绕梁，三日不绝”的独特　

效果．因而，会让学生对你的课充满期待，更会促使学　

生持续学习数学这门课程．如在学习“黄金分割”后，我　

以下面的话作为结束语：０．６１８…这是被中世纪学者、　

艺术家达・芬奇誉为“黄金数”的重要数值，它也曾被　

德国科学家开卜勒赞为几何学中的两大“瑰宝”之一．　

古埃及的第一座金字塔古萨金字塔气势雄浑，经测量　

发现，它的正方形底边边长与塔高的比例近乎黄金分　

割比例．这种设计使塔看上去挺拔秀美，十分舒服．古　

罗马的斗兽场、德国柏林会议厅、上海体育场等中外建　

下子就被冲到九霄云外去了，学生的回答积极了，思　

维活跃了，甚至出现了激烈的争辩．因此，这节课上起　

一

来高潮迭起，如行云流水，畅快自然．可见，心情愉快，　

师生关系和谐对有效的互动教学是多么的重要１　

４教学结束后“有笑”　

此时的“有笑”，是学生对老师崇拜之情的自然流　

露，是学生在知识的海洋里畅游后的一种快感，是学生　

对一些数学问题的更深入的思考，是师生之间自然产　

生的情感的共鸣，更是学生对下一节课的无限向往！　

广大的数学教师，如果你的课达到这种境界，你这个教　

师就是有效的教师，你的课堂就是有效的课堂，你的学　

生就是学习有效率的学生！　

当然，“教育是一门遗憾的艺术”，值得我们广大的　

线数学教师挖掘的东西还很多很多．但是，只要我们　

一

筑都在变幻的曲线中焕发出了迷人的魅力；这充分显　

示了数学的美．数学美是科学美的一种，但数学美又有　

其独特的个性，也许我们是该多留心一下身旁的数学　

美．教师在课堂教学中做到语言形象生动，通俗易懂，　

富于启发，激活联想，可以最大限度地激发学生人情、　

入思、人理的思考，提高学生感知的效应和情感智慧的　

水平．　

有“捧着一颗心来，不带半根草去”对教育无私奉献的　

精神，在“有笑”上狠下功夫，我相信，数学课堂就是充　

满阳光的课堂，是学生无限向往的课堂，是有效的　

课堂！　

３教学互动中“有笑”　

“有效的互动教学不仅是知识的互动、还是情感的　

［责任编校王蓓］　

＋一”—・　一”－－｝一・・——＋一一—－　・・—＋一・・——＋一　

（上接第２４页）　

题在其本质上是完全统一的，数学的和谐美能透露出　

这方面的信息，为我们实现这种统一指引了方向，为找　

到解题的途径奠定了基础．一个和谐的命题往往可以　

启迪我们的数学思维，找到解决问题的捷径，　

．

＃　＾卫　一？　

如在方程南

一

＋南＋　＋　

１（　一１，２，３，４）中，欲求ｚ　＋　＋ｚ　＋叫　的值．四个　

方程存在完全类似的结果，给人以和谐的美感，于是凭　

直觉能感受到，如果通过通分，分别求出ｚ　，　，　，　

的值，就会破坏了这种美的形式，同时运算繁冗，这就　

启发我们要另觅捷径．通过认真观察、对比，可以从方　

程有序的规律之中发现四个方程只有２。，４　，６　，８　四　

２　

．

２　

个常数，且可以看成是关于　的方程　

…

＋　＋　ｔ

２５　

６　＋８。，求得　＋　。＋ｚ。十Ｗ　一３６．　

从命题的结构美感中得到启示，找到了美的解法，　

这绝非是偶然的巧合，而是在和谐美的指引下的必然　

结果．希腊数学家斐安说：“和谐美是杂多的统一，是对　

立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美．”用和　

谐美的观点看，解题过程就是一个和谐地协调各种关　

系，即沟通已知和未知、条件和结论、部分和整体等对　

立面之间的相互联系，使其转化统一而达到结论的　

过程．　

高中新课程标准把“突出数学的人文价值”作为基　

本理念之一，要求在教学的过程中，体现的数学的社会　

需要，数学家创新精神和数学的美学价值，使得学生形　

成正确的数学观．和谐美作为数学美的一部分，在新课　

程中处处存在，当我们拨动这个和谐之弦时，它必定奏　

出美丽的音符，感染着我们和我们的学生！　

２　

＋　一１的四个根，把这个方程去分母，整理得ｔ　一　

（　＋Ｙ　＋≈　＋　＋１＋９＋２５＋４９）　＋…一０，由韦达　

定理，得　＋Ｙ　＋　＋　＋１＋９＋２５＋４９—２　＋４　＋　

［责任编校王蓓］