“用数学的眼光看世界”的思考

2024年4月4日发(作者：2021高职单招数学试卷)

2019

年第

4

期

欽学救学

4-35

“

用数学的眼光看世界

”

的思考

余继光

（浙江省柯桥中学

，

浙江绍兴

312030

）

2017

年

《

普通高中数学课程标准

》

把数学

应用的两大支柱

“

数学建模

、

数据分析

”

作为数

学学科的核心素养

,

“

用数学眼光看世界

”

的理

念将成为数学基础教育落实的现实需要

，

为

此

，

重新审视

“

用数学眼光看世界

”

的内涵与外

延,从而为提升中学生的数学应用素养提供有

效支撑.

1

为什么数学教育要

“

用数学眼光看世界

”？

1.1

站在世界数学基础教育的视野里思考

2018

年狗年春节即将到来之际

，

一位退休

的数学特级教师同学从澳大利亚悉尼发来两

条微信

，

他展示了在澳大利亚辅导学生用的教

材

11

CAMBRIDGE

—

Mathematics

（

12

年级学生教

科书

）

”

，

看到目录

，

高三学生已经在学高等数

学中的

“

级数

”

内容了

；

“

澳大利亚教材内容选

取与国内很大不同

，

注重与大学数学接轨

，

注

重应用

，

强调数学的工具性

，

基础内容没有繁

、

深

、

难•上大学就会忘记的

、

用不上的无用功坚

决不去练

”

，

这两条信息可以给我们的启示有

三点:一是国外高中数学教育非常关注与大学

继续学习的有效衔接;二是国外高中数学教学

中注重应用

，

强调数学的工具性

；

三是强调数

学学习的基础性•所以用数学眼光看世界的教

学理念是与世界同步的.

1.2

站在现代科技人工智能的视野里思考

阿尔法电子狗与九段棋手对垒后

，

人工智

能进入人们的视野

,2017

年国家把

“

人工智能

”

作为重大科技与教育工程来实施

，

用数学的眼

光看人工智能

，

就是数学应用

、

数据处理与数

学建模•在基础教育阶段就培养学生的数学应

用意识是非常重要的

，

用数学眼光看世界的数

学应用意识对掌握人工智能数学基础的意念

越早越好,因为建立一种意识是需要较长时间

的•所以用数学眼光看世界是与时代同步的.

1.3

站在数学核心素养的视野里思考

2017

年版

《

普通高中数学课程标准

》

中数

学学科核心素养之一就是数学建模素养

，

用数

学眼光看世界就是要培养学生的数学建模素

养

，

这一点不仅得到课程专家的认同

,

而且也将

成为基础教育一线教师的自觉行动

，

教师的数

学教学理念的根本转变是数学教育教学的关

键

，

从培养学生核心素养的角度来认识,用数学

眼光看世界将会成为教师和学生的自觉意识.

2

什么是

“

用数学眼光看世界

”

？

2.1

“

用数学眼光看世界

”

理念的描述

数学眼光是指应用数学的思想和方法去

寻求对科学事实和现实世界现象的认识和理

解的过程,是指用数学的知识去解决生产乃至

学习中的各种实际问题的过程,它包括数与式

的运算

、

推理

、

分析

、

选择

、

制表

、

绘图

、

估计

、

符

号变换

、

优化方案等诸多方面•古代的田忌赛

马

、

韩信点兵

、

诸葛亮布阵等都是运用数学眼

光解决实际问题的典型范例

，

现代的股票分

析

、

贷款购房

、

商业决策以及生活中乘车路线

的选择等也都离不开用数学眼光去解决它.数

学眼光实际上是一种意识

，

一种手段

，

一种思

想方法

，

一种综合能力

，

一种思维习惯•在数学

教育中

，

数学眼光就是一种教学理念,用数学

眼光看世界的

“

世界

”

是指大千世界

，

即可以是

周围环境下的人与事

，

也可以是通过新闻媒介

所接收的信息世界

，

只要是人们能接触的一切

环境或能探知的领域.

2.2

“

用数学眼光看世界

”

理念的解读

“

用

”

是一种智慧

，

智慧与知识不一样

，

知

识是说知道的某一样东西

，

而智慧是怎么样把

知道的东西和日常的生活结合起来

，

犹太圣贤

这样教导犹太人

，

“

读过很多书的人

，

如果他不

会用书上的知识,仍可能是只驮着很多书本的

4-36

欽学敦学

2019

年第

4

期

骡子

，

没有创新的学习只是一种模仿

，

学习应

该是以思考为基础

，

要敢于怀疑

，

随时提问.

”

“

数学眼光

”

内涵非常丰富

，

它是你所拥有

的数学知识

、

数学能力

、

数学应用意识

、

数学建

模方法

，

是指应用数学的思想和方法去寻求对

科学事实和现实世界现象的认识和理解的过

程,是指用数学的知识去解决生产乃至学习中

的各种实际问题的过程

，

它包括数与式的运

算

、

推理

、

分析

、

选择

、

制表

、

绘图

、

估计

、

符号变

换

、

优化方案等诸多方面.

“

看

”

是落脚点

，

任何知识与能力高高在

上

，

不用

，

不实践

，

不能学会

“

看

”

都是无用的

，

学会

“

看

”

正是数学教育工作者教给学生的

本领.

“

世界

”

既可以是物质世界

，

也可以是精

神世界

，

还可以是量子力学描述的新的世界

，

具体地说

，

是周围你所见的任何一种环境

，

是

指大千世界

，

即可以是周围环境下的人与事

，

也可以是通过新闻媒介所接收的信息世界

，

只要是人们能接触的一切环境或能探知的

领域.

2.3

“

用数学眼光看世界

”

教学理念的核心

在数学教育教学中

，

“

用数学眼光看世界

”

教学理念的核心有两点

：

一是教育学生必须掌

握

“

用数学眼光看世界

”

的工具

—

—

数学基础

知识

、

基本技能

、

基本思想

、

基本的生活体验

；

二是教育学生必须具有

“

用数学眼光看世界

”

的意识与能力.两者缺一不可

，

两者之间的联

系是一个非常值得思考的问题.

2.4

“

用数学眼光看世界

”

教学理念的外延

学会用数学眼光看世界

，

这不仅仅是一种

方法

、

一种观念

、

一种技术

，

推而广之

，

学会用

研究者眼光看世界

，

学会用创新者眼光看世

界,这样培养岀来的学生

，

在潜意识里就具备

一种素养,正像耶鲁大学校长理查德莱文所言

“

教育不教知识和技能却能让人胜任任何学科

和职业

”

，

“

大学成为一个每一个人都有机会充

分实现自己潜力的地方

”

，

大学如此

，

没有上大

学的中学生也可以.

3

怎样在数学教学中体现

“

用数学眼光看世

界

”

？

3.1

在问题情境的创设中体现

案例

1

教室黑板的学生视角盲区

每天站在教室三尺讲台前,一边教学一边

观察学生,经常看到教室前排左右两端学生的

头常低下不看黑板

，

一问才知道处在教室前排

的学生看不见黑板两端的板书

，

这样教室内就

形成了黑板的视角盲区,这直接影响着教学效

果.用数学眼光看周围现象

，

可以提出问题

“

在

宽

8

米的矩形教室

MEFN

正前方有一块长

6

米的黑板

AB,

学生座位区域

CEFD

距黑板最近

1

米

，

如图

1,

在教室左侧边

CE

上寻找黑板

的最大视角点

P(

即使

AAPB

最大

)

，

4P

交

CD

于点

Q,

区域

CPQ

为教室黑板的学生视角左盲

区

，

求此区域面积.

”

教学备注

：

(1)

此问题情境最贴近学生

，

引导学生提

岀问题

，

实际测量

，

数据处理

，

规范表述

；

(2)

学生在此问题的数学测试中遇到的

障碍

，

一是数学建模,二是数学解模

，

得分率还

不高

，

说明学生在数学应用能力上还非常

欠缺

；

(3)

此问题情境类似的很多

，

如下变式

：

变式

1

巨幅壁画最高点离地面

14

米

，

最

低点离地面

2

米

，

若从离地面

1.

5

米处观赏此

画

，

问离墙多远时

，

视角最大

？

变式

2

足球场宽

68

米

，

球门长

8

米

，

左

前锋沿左路边线进攻射门

，

若射手对球门的视

角越大

，射门进球的可能性越大

，

问离底线多

远时

，

射门进球的可能性最大

？

变式

3

在底面边长为

6

米

，

高为

3

米的

正六棱柱

ABCDEF-A/G6E

”

教室内

，宽

为

1

米的黑板

MNOP

处在教室正前方中间

，

如

图

2.

(1)

求证:平面

MNOP

丄平面

B|F,FB

；

(2)

AF

上某学生

Q

看黑板的纵向视角

(即

厶

PQM

)

最大

，

此时

PQ

与黑板平面所成角

为多少

？

2019

年第

4

期

3.2

在问题探究的体验中体现

案例

2

高考数学题中的问题探究

2017

年高考数学命题专家提供了一个具

有探究价值的高考数学题

—

—

“

圆内三角形折

叠成三棱锥问题

”

.改变

“

圆内三角形图形

”

为

正\"边形

，

学生在对几何图形的代数分析中

，

不仅需要空间概念

，

而且对代数限制条件的思

考和最值计算也相当复杂

，

学生在此问题的探

索过程中体验研究性学习的思考方法,感悟逻

辑推理思维的乐趣.

问题

（

2017

年高考全国卷

1

数学题

）

如

图

3,

圆形纸片的圆心为

0,

半径为

5cm,

该纸片

上的等边三角形

ABC

的中心为

0,

D

、

E

、

F

为

圆

。

上的点

,

HDBC

、

AECA

、

AFAB

分别是以

BC

、

为底边的等腰三角形

，

沿虚线剪开

后

，

分别以

BC,

CA,

MB

为折痕折起

403:

△

EC/1

、

△

FAB,

使得点

D

、

E

、

F

重合

，

得到三

棱锥

，

当

AABC

的边长变化时

，所得三棱锥体

积

（

单位:

cm

3

）

的最大值为

_______

•

变式

1

如图

4,

圆形纸片的圆心为

0,

半

径为

5cm,

该纸片上的正方形儿仏仏九的中心

为

0

,

色

、

禺

、

禺

、

乩为圆

。

上的点,

△

AB

2

4

2

A

3

,

AB

3

4

3

4

4>

LB.A.A,

分

别是以人仏

、

仏生

、

仏九

、

九缶为底边的等腰

三角形

，

沿虚线剪开后

，

分别以

4^2

、

仏生

、

4-37

也

、

心|为折痕折起

△

^也

、

^B

2

A

2

A^

△耳仏人

、

.

使得点

B

］

、

B2

、

B3

、

B4

重

合

，

得到四棱锥

，

当正方形儿血力

3

九的边长变

化时

，

所得四棱锥体积

（

单位

：

cn?

）

的最大值

为

________

•

图

4

变式

2

如图

5,

圆形纸片的圆心为

0,

半

径为

5cm,

该纸片上的正

n

边形

A

}

A

2

A

3

-A

n

的

中心为

0,

艮

、

％

、

弘

、

…

、

B

”

为圆

。

上的点

，

AB

l

A

l

A

2s

/B

2

A

2

A

3

,

AB

3

A

3

A

4

,

…

、

AB„A„A,

分别是以

A/

、

血仏

、

虫九

、

…

、

人儿为底边

的等腰三角形

，

沿虚线剪开后

，

分别以£人

2

、

仏虫

、

^九

、

…

、

力

”

右为折痕折起

△

耳缶心

、

AB

2

4

2

A

3a

AB

3

^3^4

\'

…

、

使得点

0

、

民

、

禺

、

…

、

B

”

重合,得到正\"棱锥

，

当正

n

边形

A

}

A

2

A

3

---A

n

的边长变化时

，

所得正

n

棱

锥体积

（

单位:

cm

3

）

的最大值为

_______

.

教学备注

：

（

1

）

此问题探究过程是一个递进过程

，

由

特殊到一般

，

让学生在发散性思维的引导下,

不断地去发现新知识

、

新天地

，

拓展新空间

，

养

育新能力

；

4-38

欽学款学

2019

年第

4

期

(2)

用数学的眼光看此问题

，

数学基础是

非常重要的

，

它涉及平面几何

、

立体几何

、

代数

最值等基础,缺少这些知识

，

无法探究下去

；

(3)

用数学的眼光看此问题

，

它的实际背

景可以是企业制造过程中多余材料的利用问

题

，

比如

，

如果此圆为纸板

，

可以制作形状各异

的包装盒

，

使其容积最大.

3.3

在数学建模的体验中体现

案例

3

看新闻

，

学建模

新闻素材

:2001

年

6

月

3

日进行抚仙湖水

下考古

，

潜水员身背氧气瓶潜入湖底进行

考察.

提出问题:氧气瓶形状如图

6,

其结构为一

个圆柱和一个圆台的组合(设氧气瓶中氧气已

充满

，

所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸

)

，

潜水员

在潜入水下

a

米的过程中

，

速度为

v

米

/

分,每

分钟需氧量与速度平方成正比(当速度为

1

米

/

分时,每分钟需氧量

0.

2L)

；

在湖底工作时

,

每分钟需氧量为

0.

4L

；

返回水面时

，

速度也为

v

米

/

分

，

每分钟需氧量为

0.

2L,

若下潜与上浮时

速度不能超过

P

米

/

分

，

试问潜水员在湖底最多

能工作多少时间

？

(氧气瓶体积计算精确到

IL,

a

、

p

为常数)

图

6

解

：

氧气瓶中氧气的体积为

V

=

柱

+

Vgjz

；

=

TT

X

io

2

X

50

+

TT

x

10

X

y(4

+

20

+

100)

~

5413m

=

16997(

cm

3

)

=

17(L).

设潜入水下

a

米过程中的每分钟需氧量

为

Q,

则

<2-0.

2/,

故来回途中需氧量为

a x

0.2

”

+aX-H

”

w

(0,p]),

则在湖底的工作时

V

间为

[17

—

[

0.

2av

+

1.

因为

0.

2av

+

0.4

L

q

/」

—

>0.

4a,

当且仅当

1

时取等号,所以当

V

心时

，

右

17

-

(

0.

lav

+

~

的最大值

是

42.

5

-

a

；

当

p

<

1

时,

qw

(0,

p)

,

[

17

-

0.

门小

2av

+

0.

----

2a

1

v

0.4

17

(

0.

2ap

+

°\'

2a

)

]

=

才

(p

_

u)

vp

-

P

vp

因为

t>

W

p

<

1

,

up

W

p2

<

1

,

所以才

(p

-

。

)(备丄)

wo,

即当

v=p

时

，

在湖底的工作时

间的最大值为了壬

17

-

(

0.

lap

+

----

)

.

因此

，

当

p

M

1

时

，

潜水员在湖底最多能工

作

42.

5

-

a

分钟;

当卩<

1

时

，

潜水员在湖底最多能工作

訝

17-

(

0.2

矽+竽

)

］

分钟.

教学备注

：

(1)

2001

年

6

月

3

日中央电视台对抚仙

湖水下考古进行现场转播

，

电视画面上的气泡

和潜水员身上氧气瓶给人们许多思考,敬一丹

在介绍潜水员下潜

20

米时

,

在水下工作二十几

分钟就要上来更换氧气瓶,在上述结论中

，

令

a

=

20

米

，

只要

p

M

1,

潜水员在湖底最多能工

作

42.

5

-

20

=

22.5(

分钟)

，

与电视报道基本

吻合

；

(2)

面对新闻素材

，

引导学生用数学眼光

提出问题

，

用数学语言表达问题,建立数学模型

解决问题

，

此过程正是数学建模素养的养育过程.

参考文献

［

1

］

余继光•国外数学应用题一束

［

J

］

.

上

海中学数学

,2002(6)

：

43-47.

2019

年第

4

期

4-39

从一个中学生数模竞赛题想起的

刘永明

(华东师范大学数学科学学院

，

上海

200241)

在一个中学生的数模竞赛题中

，

要求根据

B

，

(c

,

0

,

0)

,

C\'

{

bcos

A

,

6sin

A

,

0)

.

其中

a,

b,

c

为三角形

5ABC

的

一]

b

2

+

c

2

-

a

23

二边长

，

cos

A

=

----------------

,

sin

A

=

26c

卫星测量到的卫星到地球上的若干已知坐标

的点的距离来求出卫星的坐标•学生在做这题

时普遍感觉困难很大

，

本文介绍一个简单的求

解方法•我们先把这问题抽象为一个几何题

：

已知在空间直角坐标系

Oxyz

上不共线的

y

(

6

2

-

(a

-

c)

2

)

(

(

a

+

c)

2

-6

2

)

2S

2bc

S

>

0

为三角形的面积.

be

\'

三个点

4

、

B

、

C

的坐标

4(x

o

y

A

,

zj

、

Z

b

)

、

C(%c,

y

c

»

Zc)

，

在

zXABC

所在的平面

在上述变换下

，

点

P(

g

y,

z)

变换到点

Pg

,

/,

z\')

，

容易得其分量的表达式为

外有一点

P,

从

P

点看

4430

是沿着三角形的

周边从

4

到

B

到

C

回到

A

是逆时针的

，

已知

P

点到这三个点

4

、

B

、

C

的距离分别为

/,

、

*

、

人

，

求点

P

的坐标

(

％

,

y,

z).

对于此问题

，

求解的自然想法是列出

P

到

：

-£

+

¢2

X

2c

t

+

2

e

2

-

ex\'{b

1

+

C

4cS

a

2

)

力

、

B

、

C

的三个距离的平方的等式

，

即三个三

元二次方程的方程组来求解.通过消元法

，

可

y

Z

‘

x

,2

化为一个变元的二次方程

，

但是一般有两个

解

，

不容易确定哪个解是正确的.

以下我们利用对

AABC

的平移变换和旋

y

①

其中

r

取正号是由于题设条件.

现在我们来求反变换

T

”

，

使得点

\"

、

B\'

、

C

，

分别变换为点

A

、

B

、

C,

则这个反变换就

转变换来解这个题.

本文规定

，

点的坐标也可表示为列向量

，

例如字母

”

既表示图形

一一

点\"

，

也表示

3

维列

l

X

r

可把点

P\'

的坐标

(％\',

/,

z\')

变换为点

P

的坐

标

(

％

,

y,

z).

向量

----

点

”

的坐标

y

v

•

首先把

A/IBC

平移,使得三角形的

4

点平

设该反变换为

”

=4

+

Mv\'.

.......................

②

移到坐标原点上

，

然后通过旋转

，

使得

AABC

的边

4B

在％轴上

，

ZUBC

在

Oxy

坐标平面上.

于是

，

三个顶点的坐标分别为川(

0,

0,

0),

其中矩阵

M=

叫

m

2

皿

22

m?3

含有三个

m

32

®1

叫

3[

[2]

余继光.用

“

数学眼光

”

看世界

[J].

[4]

余继光.一道数学应用问题测试后的

数学通讯

,1998(7):22-23.

[3]

余继光.一道

2017

年高考数学题引起

反思

[J]

•数学教学

,2013(11):11

-

13.

[5]

余继光.高考数学应用问题十年回顾

的研究性学习

[J]

•数学教学

,2018(

1):31

-33.

[J].

数学通报

,2005(2)

:53-56.