2023年12月30日发(作者：广东东莞高考数学试卷2017)

鸽巢问题

教学目标:

1．经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢问题”,会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。

2．通过操作发展 的类推能力,形成抽象的数学思维。

3．通过“鸽巢问题”的灵活应用,感受数学的魅力。

教学重难点:

重点：经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢问题”,会用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。

难点：引导学生通过猜想、操作、推理和交流等活动,经历“鸽巢问题”的探究过程

教学方法与过程：

一、 创设情境，游戏导入

同学们,在上课之前,我们玩个小游戏吧:请四位同学,谁愿意来?(出示:智力大比拼----你躲我猜!)

师:游戏规则是这样的:四位同学任意站在这3个圈子里,每个人都必须站进去。我来猜你们站的情形, 1.师:站好了吗?我要开始猜咯~猜有一个圈子里至少站着2个人!

A生回答若说:错了。则:

师:错了吗?都认为是我猜错了吗？想想,至少2个人是什么意思?

B生回答若说:对了。则:

师: “至少2个人”是什么意思?

生:不少于两个,可能是2个,也可能是多于2个。

2.师:调整下，我还要再猜!

我还是猜有一个圈子里至少站着2个人!

3.猜对的感觉真好，你们再调整，我还要再猜。

师:为什么我每次都能猜对?其实这里蕴含着一个有趣的数学问题。(板书:鸽巢问题)这节课我们就一起来研究这个问题。

二、自主操作，建立概念

刚才猜了3次，我的猜法都对，那是不是可以这么说：4个人站进3个圈子里。不管怎么站总有一个圈子至少站了2个人。

1.这句话有你不理解的词语吗？我想请问你们：“总有”，“至少”什么意思？

2.赞同这句话吗？

3.小组讨论验证： 这是你们的猜想，我们需要用事实来说话。待会你们可以拿出杯子和小棒来摆一摆，小棒代表人，杯子代表圈子。

操作要求：

（1）摆：4个人站进3个圈子里有几种不同的站法

（2）记： 用简洁的方式把你们的站法记录下来。

（3）老师友情提示:不考虑站的顺序哦。

（4）摆完后思考：这句话对吗?

4.生讨论后汇报

（4，0,0） （3，1,0） （2，2,1） （2，1,1）

我想请问你：

（1） 还有别的摆法吗？

（2） 通过实际操作，那你觉得这句话对吗？

（3） 第一种摆法满足这句话？可是这里有个0？（只要有一个圈子有2根或大于2根就可以）第二种摆法也有一个圈子里至少有2个人。第三种也是，第四种也是。

（4） 那能不能说总有一个圈子里至少有4个人？对吗？总有一个圈子里至少有4、3个人？

（5） 我们说只要一个圈子满足2个或2个以上就可以，3个圈子都看吗？看哪个？（只要看最多的圈子，师把最多的都圈出来）

（6）通过列出每一种情况，我们得到这个结论是正确的。我们把这种方法叫做列举法。这个结论比较难上口，我们一起把这句话再读一遍：4个人站进3个圈子里。不管怎么站总有一个圈子至少站了2个人。

5.假设法（平均分）

这是我们通过实际操作、观察发现的结论,这种方法很直观。那么,我们能不能不摆,也能得到这个结论呢?

（1）小组互相交流

（2）学生汇报：哪一组同学先汇报你们的想法?

假设法：如果每个圈子里站1个人,3个圈子共站了3人,还剩下1人,不管站进哪个圈子里,总有一个圈子至少站了2人。

（3）你能用一个算式把刚才证明的方法表示出来?

4÷3=1……1

（4）师: 4÷3表示什么？（让每个圈子里都站进1个人，也就是先把4个人平均分）为什么要平均分？

（5）师:这种推理方法,实际上是刚才放法的第几种?(2,1,1)板书展示这种分法的摆放过程。

（6）根据实际操作解释为什么要平均分？

A、也就是说这种方法我们只考虑了第四种情况，为什么只要考虑第四种情况？刚才我们说只要看最多的圈子，第一种站法，最多的4人，第2种3人，第3种2人。那如果这种最少的满足了，还要看最多的吗？所以只要考虑最少的。这个最少的就是我们最不利的情况。

B、我再来看下最多的，怎么样才能站最多？（让所有人都站进同一个圈子就最多）怎么样才能站最少呢？（让每个圈子都站进人，就最少。）

C、3、4两种哪一个是让每个圈子里都站进人了（第4种）

D、现在明白为什么只要考虑第四种了吗？

E、那让每个人圈子都有人就是要先（平均分）

F、你知道为什么要平均分了吗？谁来说说。

G、我们就把这种方法叫做平均分

（7）这个1表示什么，余数1表示什么？结果怎么表示：1+1=2 第一个1表示什么？第2个1表示什么?

（8）谁再把这种方法说一说。

6.刚才我们用操作和平均分等方法解决了这个问题，还有别的方法吗？

反证法：假设没有一个圈子里站有2个人或2个人以上，也就是说每一个圈子最多有一个人或一个人也没有，那么3个圈子最多只能站3个人，这与题设要站4个人矛盾。

7.下面还有几个问题,请用你们喜欢的方法解决它们吧!出示题目（一题一题出示）

（1）5个人站进4个圈子中。不管怎么站，总有一个圈子里至少站了2个人。

（2）6个人站进5个圈子里呢?

（A、6÷5=1……1，能不能说说这个过程什么意思？每个圈子站一个人，剩一人不管站进哪个圈子都总有一个圈子至少有2人。

B、这2人，可以用式子表示出来吗？1+1=2）

（3）10个人放进站进9个圈子里呢? （10÷9=1……1， 每个圈子站一个人，剩一人不管站进哪个圈子都总有一个圈子至少有2人。1+1=2）

（4）100个人放进站进99个圈子里呢?

随学生回答板书。

8.小结

（1） 方法法的对比。

师:老师发现同学们回答这些问题的时候都是用假设（平均分）的方法,为什么不用一一列举的方法。 小结: 数据较小时可以列举也可以用假设法,但数据较大时,列举就比较麻烦。

（2）导学生发现规律：观察这几道题，你发现了什么？（人和圈子的数量有什么关系，结果怎么样呢？只要人比圈子的数量多1,不管怎么站,总有一个圈子里至少站进2人。）

三、提升思维，构建模型

变式思考:如果人比圈子的数量多2或多3这个规律还存在吗?

1.课件出示:“7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有（ ）只鸽子要飞进同一鸽舍，为什么？

（1）用自己喜欢的方法来解释。

7÷5=1……2 1+1=2 这个1表示什么？这个1表示什么？

（先把7只鸽子平均分在5个鸽舍，剩下2只，要考虑最不利情况，也就是最多的鸽舍里最少，所以只能把剩余的2只再平均分到2个鸽舍里，这样鸽舍就又多了一只， 1+1=2。不管飞进哪个鸽舍，至少有 2只鸽子要飞进同一鸽舍。）

2. 课件出示: 8只鸽子飞回3个鸽舍,至少有( )只鸽子要飞进同一鸽舍,为什么?

生汇报：8÷3=2……2 2+1=3 2表示什么？1表示什么？

（先把8只鸽子平均分在3个鸽舍里，剩下2只怎么办呢？要最少所以还要再平均分到2个鸽舍里。所以至少有3只鸽子要飞进同一鸽舍。）

3.思考:11只鸽子飞回3个鸽舍,至少有( )只鸽子要飞进同一鸽舍,为什么?

4.导学生发现规律：观察这几道题，你发现了什么？（人和圈子的数量有什么关系，结果怎么样呢？）

能不能把刚才的结论再修改。（课件出示：只要人比圈子的数量多1,不管怎么站,总有一个圈子里至少站进2人。）

小结:当“人”的数量比“圈子”多又不能平均分时，总有一个圈子至少站了（商+1）个人。

当“鸽子”的数量比“鸽巢”多又不能平均分时，总有一个鸽巢至少飞进（商+1）只鸽子。

5、同学们，有了这个结论，那我们以后遇到鸽巢问题这类型的题目，就可以用“商+1”才解决了。

6、介绍鸽巢问题小知识

鸽巢问题是组合数学中的一个重要原理，它最早由德国数学家狄利克雷（Dirichlet）提出并运用于解决数论中的问题，所以该原理又称“狄利克雷原理”。它有两个经典案例，一个是把10个苹果放进9个抽屉里，总有一个抽屉里至少放了2个苹果，所以这个原理又称“抽屉原理”；另一个是6只鸽子飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子，所以也称为“鸽巢原理”。

四、巩固练习,运用模型

那下面我们就赶紧来练一练。 在这两道题里有没有鸽巢问题的影子。

1、随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？

2、 小张参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。小张至少有一镖不低于9环 。为什么？

五、全课总结、课外延伸

同学们,这节课大家研究了鸽巢问题,大家有什么收获?

其实这些问题只是鸽巢原理的开始,生活中处处有数学,往往简单的生活现象中蕴含着深奥的道理,希望大家能做个生活的有心人,去发现和创造。

板书设计：

鸽巢问题

列举法 平均分 猜想

（4，0,0） 4÷3=1（人）……1（人） 1+1=2

（3，1,0） 7÷5=1（人）……2（人） 1+1=2 验证

（2，2,1） 8÷3=2（人）……2 （人） 2+1=3

（2，1,1） 11÷3=3（人）……2（人） 3+1=4

最不利的情况

商+1

结论


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