八年级数学《极差、方差和标准差》知识点

2024年3月13日发(作者：小学生数学试卷卷面)

八年级数学《极差、方差和标准差》知识点

极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指

标．

一、定义理解

1、极差

极差是用来反映一组数据变化范围的大小．我们可以用一组数据中的最大值减去最小

值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差．

极差＝最大值－最小值

极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多

的意义．

2、方差

方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的

平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况．

求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均．”通常用

S

表示一组数据的方差，用

x

表示一组数据的平均数，

x

1

、

x

2

、…

x

n

表示各数据．

2

1

方差计算公式是：

1

s

2

=

n

[(x

1

-

x

)

2

+(x

2

-

x

)

2

+…+(x

n

-

x

)

2

]；

3、标准差

2

S

在计算方差的过程中，可以看出的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时

常常将求出的方差再开平方，这就是标准差．

标准差＝

方差

，方差＝标准差

2

．

222

1



Sx

1

xx

2

x…x

n

x







，

n



一组数据的标准差计算公式是其中

x

为

n

个数据



x

1

，x

2

，…，x

n

的平均数．

方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动

大小．方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标

准差的单位与原数据的单位相同．在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方

法去考察总体的波动情况．

二、例题讲析

例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：

甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100

2

乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102

（1） 求甲、乙两队的平均分和极差？

（2）计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？

1

x

甲

＝（100979996102103104101101100）＝100.3

10

解：（1）

1

x

乙

＝（97979995102100104104103102）＝100.3

10

甲队的极差＝104－96＝8； 甲队的极差＝104－95＝9

1

[(100100.3)

2

(99100.3)

2

(100100.3)

2

]＝5.61

10

（2）

S

甲



2

S

乙



2

1

[(97100.3)

2

(97100.3)

2

(102100.3)

2

]＝9.21

10

5.612.37

； 乙队的标准差：

9.213.03

甲队的标准差：

所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥

更为稳定一些．

例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，

记录其花期：

3

甲组：25，23，28，22，27

乙组：27，24，24，27，23

（1）10盆花的花期最多相差几天？

（2）施用何种花肥，花的平均花期较长？

（3）施用哪种保花肥效果更好？

分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组

数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越

好！

解：（1）28－22＝6（天） 所以，10盆花的花期最多相差6天．

1

x

甲

＝(2523282227）＝25

5

（2）由平均数公式得：

1

x

乙

＝(2724242723）＝25

5

得

x

甲

＝x

乙

，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等．

（3）由方差公式得：

1

[(2525)

2

(2325)

2

(2825)

2

(2225)

2

(2725)

2

]＝5.2

10

4

S

甲



2

1

2

S

乙

[(2725)

2

(2425)

2

(2425)

2

(2725)

2

(2325)

2

]＝2.8

5

22

S

甲

S

乙

得故施用乙种花肥，效果比较可靠

三、反馈练习

1.一组数据5，8，

x

，10，4的平均数是2

x

，则这组数据的方差是________．

2.五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下（单位：cm）：2，－2，－1，

1，0，

则这组数据的极差为______cm．方差是_______，标准差是______

3.若样本1，2，3，

x

的平均数为5，又样本1，2，3，

x

，

y

的平均数为6，

则样本1，2，3，

x

，

y

的极差是_______，方差是_______，标准差是______．

4.已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为

_____，

标准差为________．

5.一组数据－8，－4，5，6，7，7，8，9的极差是______，方差是_____，标准差是______．

6.若样本

x

1

，

x

2

，……，

x

n

的平均数为

＝5，方差S

2

＝0.025，则样本4

x

1

，4

x

2

，……，

4

x

n

的平均数x

＇＝_____，方差S＇

2

＝_______．

5