2022-2023学年全国高中高二上数学北师大版月考试卷(含解析)

2022-2023

学年全国高二上数学月考试卷

考试总分：

110

分

考试时间：

120

分钟

学校：

__________

班级：

__________

姓名：

__________

考号：

__________

注意事项：

1

．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

;

2

．请将答案正确填写在答题卡上

;

卷

I

（选择题）

一、

选择题

（本题共计

8

小题

，每题

5

分

，共计

40

分

）

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

1.

点

P(x,y,z)

满足

√

(x−1)

2

+(y−1)

2

+(z+1)

2

=2

，则点

P

在（　　）

A.

以点

(1,1,−1)

为圆心，以

2

为半径的圆上

B.

以点

(1,1,−1)

为中心，以

2

为棱长的正方体上

C.

以点

(1,1,−1)

为球心，以

2

为半径的球面上

D.

无法确定

2.

德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点

A

、

B

是∠

MON

的

ON

边上

的两个定点，

C

是

OM

边上的一个动点，当

C

在何处时，

∠

ACB

最大？问题的答案是：当且仅当

△

ABC

的外接圆与边

OM

相切于点

C

时，

∠

ACB

最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点

D

、

E

的

坐标分别是

(0,1),(0,3)

，

F

是

x

轴正半轴上的一动点，当

∠

DFE

最大时，点

F

的横坐标为

( )

A.1

B.√

–

2

C.√

–

3

D.2

x

2

y

2

3.

如图，双曲线

C

：

2

−

2

=1(a>0,b>0)

的左，右焦点分别是

F

1

(−c,0),F

2

(c,0)

，直线

ab

bcπ

y=

与双曲线

C

的两条渐近线分别相交于

A

，

B

两点．若

∠

BF

1

F

2

=

，则双曲线

C

的离心率为

(

2a3

)

A.2

4√

–

2

B.

3

C.√

–

2

2√

–

3

D.

3

−→−−−

3

−→

1

−→

4.

对空间任意一点

O

，

OP=OA+OB+

48

A.

一定不共面

B.

一定共面

C.

不一定共面

D.

无法判断

x

2

y

2

5.

设直线

x−3y+m=0(m≠0)

与双曲线

C:

2

−

2

=1(a>0,b>0)

的两条渐近线分别交于点

A,

ab

B

．若点

P(m,0)

满足

|PA|=|PB|

，则该双曲线的渐近线方程为（

）

A.y=±2x

1

B.y=±x

2

C.y=±√

–

3x

√

–

3

D.y=±x

3

6.

已知方程

ax

2

+by

2

=ab

和

ax+by+c=0

，其中，

ab≠0

，

a≠b

，

c>0

，它们所表示的曲线可能

是下列图象中的（　　）

−

1

−→

OC

，则

P

、

A

、

B

、

C

四点（　　）

8

A.

B.

C.

D.

x

2

y

2

7.

已知

F

1

,F

2

分别为双曲线

2

−

2

=1(a>0,b>0)

的左，右焦点，过右焦点

F

2

倾斜角为

30

∘

的直线

ab

与双曲线的两支分别相交于

A

，

B

两点，且点

A

在右支上，

AB

⊥

BF

1

，则此双曲线的离心率

（

）

e=

A.√

–

3+1

B.√

–

3

√

–

3+1

C.

2

D.2

y

2

x

2

8.

已知

F

2

，

F

1

是双曲线

2

−

2

=1(a>0,b>0)

的上、下焦点，点

F

2

关于渐近线的对称点恰好落

ab

在以

F

1

为圆心，

|OF

1

|

为半径的圆上，则双曲线的离心率为

()

A.3

B.√

–

3

C.2

D.√

–

2

二、

多选题

（本题共计

4

小题

，每题

5

分

，共计

20

分

）

9.

在四棱锥

P−ABCD

中，底面

ABCD

是正方形，

PD

⊥平面

ABCD

，点

E

是棱

PC

的中点，

PD=AB

，则

()

⊥

PB

√

–

3

B.

直线

AE

与平面

PAB

所成角的正弦值是

6

π

C.

异面直线

AD

与

PB

所成的角是

4

2√

–

3

D.

四棱锥

P−ABCD

的体积与其外接球的体积的比值是

27π

10.

已知圆

O:(x−3)

2

+(y+4)

2

=25

及直线

1:(3−a)x+(2+a)y−1+2a=0

A.

直线

l

恒过定点

(1,−1)

B.

直线

l

与圆

O

的位置，随着

a

的改变，可以相切、相交也可以相离

C.

直线

l

与圆

O

恒有

2

个公共点

D.

过圆

O

外一点

B(2,3)

作圆的两条切线，切点分别为

C

、

D

两点，则直线

CD

的方程为

x−7y−6=0

x

2

y

2

x

2

y

2

11.

若椭圆

C

1

:

2

+

2

=1(a

1

>b

1

>0)

和椭圆

C

2

:

2

+

2

=1(a

2

>b

2

>0)

a

1

b

1

a

2

b

2

a

1

>a

2

，则下列结论正确的是（

）

A.

椭圆

C

1

和椭圆

C

2

一定没有公共点

B.

a

1

b

1

=

a

2

b

2

的离心率相同，且

，则（

）

222

C.a

2

1

−a

2

1

−b

2

D.a

1

−a

2

1

−b

2

12.

如图，已知在棱长为

2

的正方体

ABCD−A

1

B

1

C

1

D

1

中，

P

为

AD

1

上的动点．则下列结论正确的

有（

）

√

–

5

A.

当

P

运动到

AD

1

中点时，直线

BP

与平面

ABCD

所成角的正切值为

5

B.

当

P

在直线

AD

1

上运动时，三棱锥

A

1

−BPC

1

的体积不变

C.

当

P

在直线

AD

1

上运动到某一点时，直线

B

1

C

与平面

BPC

1

所成角为

D.

当

P

在直线

AD

1

上运动时，

△

A

1

P

B

1

的面积存在最小值

√

–

2

π

3

卷

II

（非选择题）

三、

填空题

（本题共计

4

小题

，每题

5

分

，共计

20

分

）

13.

在空间直角坐标系

O−xyz

中，已知点

P

在

x

轴上，点

A

的坐标为

(0,0,4)

，

PA=5

，则点

P

的坐标

是

________

．

14. 3

个班分别从

5

个景点中选择一处游览，共有

________

种不同的选法（填数字）．

15.

设抛物线

C:y

2

=4x

的焦点为

F

，过点

F

的直线与抛物线

C

交于

A

，

B

两点，过

AB

的中点

M

作准线

3

的垂线与抛物线交于点

P

，若

|PF|=

，则弦长

|AB|

等于

________

．

2

16.

过抛物线

y

2

=mx(m>0)

的焦点

F

作斜率为

2√

–

2

的直线交抛物线于

A

，

B

两点，以

AB

为直径的

–

圆与准线

l

有公共点

M

，若

|MF|=√2

，则

|AB|=

________.

四、

解答题

（本题共计

6

小题

，每题

5

分

，共计

30

分

）

21

17.

解方程

A

3

x

+A

x

=12A

x−1

．

18.

已知抛物线

C:y

2

＝

2px(p>0)

，焦点为

F

，准线为

l

，抛物线

C

上一点

A

的横坐标为

3

，且点

A

到焦

点的距离为

4

．

（

1

）求抛物线的方程；

（

2

）设过点

P(6,0)

的直线

l

与抛物线交于

A

，

B

两点，若以

AB

为直径的圆过点

F

，求直线

l

的方程．

19.

在

△

ABC

中，

a

，

b

，

c

分别为

A

，

B

，

C

的对边，且

sinA=2sinB

，

3π9√

–

2

（

1

）若

C=

，△

ABC

的面积为，求

a

的值；

44

（

2

）求

sin(C−A)

C

−8sin

2

的值．

sinB2

20.

如图，在四棱锥

P−ABCD

中，

AB//DC

，

DC=2AB

，

AP=AD

，

PB

⊥

AC

，

BD

⊥

AC

，

E

为

PD

的中点．求证：

(1)AE//

平面

PBC

；

(2)PD

⊥

平面

ACE

．

21.

已知圆

O:x

2

+y

2

＝

a

2

(a>0)

，点

A(0,4)

，

B(2,2)

．

（

1

）若线段

AB

的中垂线与圆

O

相切，求实数

a

的值；

（

2

）过直线

AB

上的点

P

引圆

O

的两条切线，切点为

M

，

N

，若

∠

MPN

＝

60

∘

，则称点

P

为

“

好点

”

．

若直线

AB

上有且只有两个

“

好点

”

，求实数

a

的取值范围．

x

2

y

2

22.

已知双曲线

·

：

F

2

−

2

=1(a>0,b>0)

ab

(1)

求双曲线的标准方程；

上一动点

P

，左、右焦点分别为

F

1

,F

2

，且

(2)

若直线

l

0

的斜率

k=1

，且

l

0

过双曲线右焦点与双曲线右支交于

A

，

B

两点，求

△

ABF

1

的外接圆方

程．

参考答案与试题解析

2022-2023

学年全国高二上数学月考试卷

一、

选择题

（本题共计

8

小题

，每题

5

分

，共计

40

分

）

1.

【答案】

C

【考点】

空间两点间的距离公式

【解析】

通过表达式的几何意义，判断点

P

的集合特征即可得到选项．

【解答】

解：式子

√

(x−1)

2

+(y−1)

2

+(z+1)

2

2

的点的集合．

故选

C

．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

=2

的几何意义是动点

P(x,y,z)

到定点

(1,1,−1)

的距离为

2.

【答案】

C

【考点】

直线与圆的位置关系

【解析】

无

【解答】

解：因为点

D

、

E

是

y

轴正半轴上的两个定点，点

F

是

x

轴正半轴上的一个动点，

根据米勒定理可知，△

DEF

的外接圆与

x

轴相切时，∠

DFE

最大，

由垂径定理可知，弦

DE

的垂直平分线必过

△

DEF

的外接圆圆心，如下如所示：

过

D

点作

GF

的垂线交于点

H

，

所以

GF=GD=2

，

GH=GF−HF=GF−OD=1

，

由勾股定理可得

H

横坐标为

√

–

3

即点

F

的横坐标为

√

–

，

3

.

故选

C

．

3.

【答案】

A

【考点】

双曲线的渐近线

双曲线的离心率

【解析】

求出

A

，

B

坐标，得到四边形

ABF

1

O

为平行四边形，得到

b

a

=tan60

∘

=√

–

3

心率．

【解答】

x

2

−

y

2

解：双曲线

=1(a>0,b>0)

的两条渐近线方程为

bx±ay=0

把

y=

bc

a

2

b

2

，

代入

bx±ay=0

可得

x=±

c

，

∴

A(

c

2a

,

bc

)

，

B(−

c

,

bc

2

)

∴

AB

2

=

2a

c=OF

22a

．

AB//OF

1

，

又

∴四边形

AB

1

，

F

1

∵∠

BF

1

F

2

=

π

O

为平行四边形．

3

，

∴∠

BF

1

O=

∠

AOF

2

=

π

3

.

∴直线

OA

的倾斜角为

π

3

．

∴

b

=tan

π

3

=

−−−−−

√

–

a

3

−

．

−−−−−−−

∴

e=

ca

2

+b

2

a

=

√

a

2

=

√

1+(

b

a

)

2

=2

．

故选

A

．

，进而求出双曲线的离

4.

【答案】

B

【考点】

共线向量与共面向量

【解析】

−→−−−−

3

−→

1

−→

1

−→

由已知中对于空间任意一点

O

，

OP=OA+OB+OC

，根据四点共面的向量表示方法，我

488

−→−−→−−→−−→−

们判断出

OP

分解后，

OA

，

OB

，

OC

向量系数和是否为

1

，即可得到答案．

【解答】

−→−−−

3

−→

1

−→

解：∵

OP=OA+OB+

48

311

++=1

488

故

P

，

A

，

B

，

C

四点共面

故选

B

5.

【答案】

−

1

−→

OC

，

8

B

【考点】

双曲线的渐近线

【解析】

此题暂无解析

【解答】

x

2

y

2

解：双曲线

−=1(a>0,b>0)

22

ab

依题意联立方程组

bb

的渐近线方程分别为

y=x

和

y=−x

，

aa