2024年3月10日发(作者：广东高中数学试卷成绩)

大学数学期末复习专题：微积分问题经典

例题解析

微积分作为数学的一个重要分支，是大学数学课程中的核心内

容之一。在期末复中，重点理解和掌握微积分的经典例题是非常重

要的。本文将对一些微积分经典例题进行解析，帮助同学们加深对

这些题目的理解。

1.定积分问题

例题1：

已知函数 $f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$，求 $f(x)$ 在区间 $[0.2]$ 上

的定积分 $int_0^2 f(x) dx$。

解析

通过积分的定义，我们可以得到：

int_0^2 f(x) dx = F(2) - F(0)$$

其中 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 的原函数。根据函数的求导规则，求

得 $F(x)$ 的表达式为：

F(x) = frac{1}{2}x^4 - x^3 + x + C$$

将 $x$ 的取值代入 $F(x)$ 中，我们可得：

F(2) - F(0) = (4 - 8 + 2 + C) - (0 - 0 + 0 + C) = -2$$

所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0.2]$ 上的定积分为 $-2$。

例题2：

已知函数 $f(x) = sqrt{x+1}$，求 $f(x)$ 在区间 $[0.3]$ 上的定

积分 $int_0^3 f(x) dx$。

解析

首先，我们可以直接计算函数 $f(x)$ 的原函数 $F(x)$ 如下：

F(x) = frac{2}{3}(x+1)^{frac{3}{2}} + C$$

将 $x$ 的取值代入 $F(x)$，可得：

F(3) - F(0) = frac{2}{3}(4^{frac{3}{2}} - 1)$$

经过计算，得出定积分 $int_0^3 f(x) dx$ 的值为

$frac{2}{3}(4^{frac{3}{2}} - 1)$。

2.导数和极值问题

例题3：

已知函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$，求函数 $f(x)$ 的极值点

和极值。

解析

首先，我们需要求函数 $f(x)$ 的导数 $f\'(x)$：

f\'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$

令 $f\'(x) = 0$，可以解得 $x = 1$ 和 $x = 3$。我们将这两个解

带回原函数 $f(x)$ 中，可得：

f(1) = 6$$

f(3) = 14$$

所以，函数 $f(x)$ 的极值点为 $x = 1$ 和 $x = 3$，对应的极值

分别为 $6$ 和 $14$。

例题4：

已知函数 $f(x) = e^x - x^2$，求函数 $f(x)$ 的最大值和最小值。

解析

首先，我们需要求函数 $f(x)$ 的导数 $f\'(x)$：

f\'(x) = e^x - 2x$$

令 $f\'(x) = 0$，可以解得 $x = frac{1}{2}$。我们将这个解带回

原函数 $f(x)$ 中，可得：

f(frac{1}{2}) = e^{frac{1}{2}} - frac{1}{4}$$

所以，函数 $f(x)$ 的最大值为 $e^{frac{1}{2}} - frac{1}{4}$，

最小值为负无穷小。

以上是一些微积分经典例题的解析，希望能帮助同学们更好地

复习微积分知识。在解题过程中，同学们要熟练掌握积分的定义和

导数计算的方法，灵活运用数学公式，并注意数值计算的准确性。

通过深入理解例题的解答方法，同学们可以提高解题能力，从而在

期末考试中取得好成绩。加油！


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