韩信点兵数学题

2023年12月30日发(作者：批改初中生的数学试卷)

韩信点兵数学题

公元前202年，刘邦率军攻打楚国，而楚王项羽听信谗言，派遣将领韩信前去抢夺荆州，此时刘邦已经率领大部分军队前往攻打襄阳，只留下3万人守卫荆州，而韩信率领20余万楚军进攻荆州。刘邦听说此事，便让将军邹阳前去协助抵抗，但荆州城仅半日便被攻陷，荆州守将伍翕只身逃脱。面对强大的楚军，邹阳决定出奇制胜，派出间谍韩信前去窃听楚军军情。

韩信前往楚军营地，偷听得到楚王项羽的点兵数：三人一排、四人余二、五人余三、六人一排。韩信把数目记在腰带上，趁夜回到刘邦军营。

当韩信向邹阳报告楚军的点兵数时，邹阳很快就弄明白了他是怎么记下这些数字的，并看出了楚军的实力。邹阳决定利用这些信息来计算出楚军的兵力，以制定有效的作战计划，但他并不知道楚军的精确人数，所以他请求韩信帮他解决这个难题。

于是，韩信开始思考这个数学问题，他的计算依据4个方程式：

1. 三人一排，余x，当排数为n时，总人数为3n+x。

2. 四人余二，当排数为m时，总人数为4m+2。

3. 五人余三，当排数为p时，总人数为5p+3。

4. 六人一排，当排数为q时，总人数为6q。

韩信想到了用这些方程来求解楚军的人数，他认为：每个方程都是一个线性同余方程，可以直接通过计算求解x的值，再带入相应的方程式即可求出楚军的人数。韩信迅速解出了4

个余数分别是2、3、0和5，这些余数分别对应第1、2、3、4个方程式，于是他可以通过计算5p+3和4m+2的公倍数，来确定原有的战士人数。其他3个方程式的余数并不需要用到。

韩信解算后得出，楚军的人数为：20×3+2=62×4+2=26×5+3=113×6=66。

邹阳看到计算结果后，深感惊讶，因为楚军的最终人数比他预料的要少得多。他感慨万分，这说明了韩信不仅智谋非凡，而且数学能力也非常突出，这是一个完美的将领应该具备的优秀素质。

本题的解法，可以通过解线性同余方程的方法来解决。套用韩信解题的公式，我们可以写出：

3n+x ≡ 2(mod 4)

3n+x ≡ 3(mod 5)

3n+x ≡ 0(mod 6)

根据同余原理，我们可以将最后一行转化为：

3n ≡ -x(mod 6)

然后，代入第二个方程式中，得到：

x ≡ 3n+3(mod 5)

再代入第一个方程式中，得到：

3n+3 ≡ 2(mod 4)

将上式化简得到：

n ≡ 3(mod 4)

然后将n的值代入上面的方程中，可以解得x的值为2。因此，我们可以得到楚军的总人数为：

3n+2 = 3(4k+3)+2 = 12k+11

4m+2 = 4k+2

5p+3 = 5(5k+2)+3 = 25k+13

6q = 6k

因此，我们可以得到:

12k+11 = 25k+13 = 6k + x

将上述等式组合在一起，可以得到：

12k-6k = 11-x

25k-6k = 13+x

因此，x = 2，k=5，楚军总人数为12×5+11=25×5+13=6×5+2=62+113+66=241。

这样，我们就用解线性同余方程的方法解决了韩信点兵的数学问题。在计算过程中，需要注意余数的求法，以及各个方程式之间的关系，才能得到正确的答案。此外，由于本题只涉及4个方程，计算量并不大，而对于更多的方程式，可能需要采用其他更加复杂的方法来求解。

总之，韩信点兵是一道经典的数学题目，在解决这个问题的过程中，我们不仅可以深入理解同余方程及其相关的数学知识，还可以提高我们的计算能力和逻辑思维水平。在学习数学的过程中，我们应该不断挑战自我，勇于探索，这样才能在数学的领域里获得更多的成就。