2024年3月28日发(作者：广西桂林上册数学试卷)

5．直线与圆

1．已知圆心为

C

的圆，满足下列条件：圆心

C

位于

x

轴正半轴上，与直线3

x

－4

y

＋7＝0

相切，且被

y

轴截得的弦长为23，圆

C

的面积小于13.

(1)求圆

C

的标准方程；

(2)设过点

M

(0,3)的直线与圆

C

交于不同的两点

A

，

B

，以

OA

，

OB

为邻边作平行四边形

OADB

.

是否存在这样的直线

l

，使得直线

OD

与

MC

恰好平行？如果存在，求出

l

的方程；若不存在，

请说明理由．

解 (1)设圆

C

：(

x

－

a

)＋

y

＝

r

(

a

＞0)，

222

|3

a

＋7|

＝

r

，

22

3＋－4

由题意知

a

2

＋3＝

r

，

又

S

＝π

r

＜13，∴

a

＝1，

2

2

13

解得

a

＝1或

a

＝，

8

∴圆

C

的标准方程为(

x

－1)＋

y

＝4.

(2)当斜率不存在时，直线

l

为

x

＝0，不满足题意．

当斜率存在时，设直线

l

：

y

＝

kx

＋3，

A

(

x

1

，

y

1

)，

B

(

x

2

，

y

2

)，

y

＝

kx

＋3，

又

l

与圆

C

相交于不同的两点，联立得

22

x

－1＋

y

＝4，

2

消去

y

得(1＋

k

)

x

＋(6

k

－2)

x

＋6＝0.

∴Δ＝(6

k

－2)－24(1＋

k

)＝12

k

－24

k

－20＞0，

2626

解得

k

＜1－或

k

＞1＋.

33

222

22

x

1

＋

x

2

＝－

6

k

－22

k

＋6

2

，

y

1

＋

y

2

＝

k

(

x

1

＋

x

2

)＋6＝

2

，

1＋

k

1＋

k

→→→→

OD

＝

OA

＋

OB

＝(

x

1

＋

x

2

，

y

1

＋

y

2

)，

MC

＝(1，－3)，

→→

假设

OD

∥

MC

，则－3(

x

1

＋

x

2

)＝

y

1

＋

y

2

，

3

26



26

解得

k

＝∉

－∞，1－

∪

1＋

，＋∞

，

4

3



3

假设不成立，

∴不存在这样的直线

l

.

2.如图，在平面直角坐标系

xOy

中，已知圆

C

：

x

＋

y

－4

x

＝0及点

22

A

(－1,0)，

B

(1,2)．

(1)若直线

l

∥

AB

，与圆

C

相交于

M

，

N

两点，

MN

＝

AB

，求直线

l

的方程；

(2)在圆

C

上是否存在点

P

，使得

PA

＋

PB

＝12？若存在，求点

P

的个数；若不存在，请说明

理由．

解 (1)圆

C

的标准方程为(

x

－2)＋

y

＝4，

所以圆心

C

(2,0)，半径为2.

因为

l

∥

AB

，

A

(－1,0)，

B

(1,2)，所以直线

l

的斜率为

2－0

＝1，设直线

l

的方程为

x

－

1－－1

22

22

y

＋

m

＝0，

|2－0＋

m

||2＋

m

|

则圆心

C

到直线

l

的距离为

d

＝＝.

22

因为

MN

＝

AB

＝2＋2＝22，

2＋

m

MN

2

而

CM

＝

d

＋



，所以4＝＋2，

2

2

22

2

22

解得

m

＝0或

m

＝－4，

故直线

l

的方程为

x

－

y

＝0或

x

－

y

－4＝0.

(2)假设圆

C

上存在点

P

，设

P

(

x

，

y

)，则(

x

－2)＋

y

＝4，

22

PA

2

＋

PB

2

＝(

x

＋1)

2

＋(

y

－0)

2

＋(

x

－1)

2

＋(

y

－2)

2

＝12即

x

2

＋

y

2

－2

y

－3＝0，即

x

2

＋(

y

－1)

2

＝4.

因为|2－2|<2－0＋0－1<2＋2，

所以圆(

x

－2)＋

y

＝4与圆

x

＋(

y

－1)＝4相交，

所以点

P

的个数为2.

3．在平面直角坐标系

xOy

中，已知椭圆

C

：＋＝1的左顶点为

A

，右焦点为

F

，

P

，

Q

为

43

椭圆

C

上两点，圆

O

：

x

＋

y

＝

r

(

r

＞0)．

(1)若

PF

⊥

x

轴，且满足直线

AP

与圆

O

相切，求圆

O

的方程；

3

(2)若圆

O

的半径为3，点

P

，

Q

满足

k

OP

·

k

OQ

＝－，求直线

PQ

被圆

O

截得的弦长的最大值．

4

解 (1)因为椭圆

C

的方程为＋＝1，

43

所以

A

(－2,0)，

F

(1,0)．

3



如图，因为

PF

⊥

x

轴，所以

P

1，±

，

2



222

2222

22

x

2

y

2

x

2

y

2

3

根据对称性，可取

P

1，

，

2

1

则直线

AP

的方程为

y

＝(

x

＋2)，

2

即

x

－2

y

＋2＝0.

由圆

O

与直线

AP

相切，得

r

＝

4

22

所以圆

O

的方程为

x

＋

y

＝.

5

(2)易知，圆

O

的方程为

x

＋

y

＝3.

3

2

①当

PQ

⊥

x

轴时，

k

OP

·

k

OQ

＝－

k

OP

＝－，

4

3

y

＝

2

x

，

33

＝±，不妨设

OP

：

y

＝

x

，联立

22

xy

4

＋

3

＝1，

22

22

2

5

，

所以

k

OP

解得

x

＝2，

y

＝

6

6



，即

P

2，

，

2

2



此时得直线

PQ

被圆

O

截得的弦长为2.

②当

PQ

与

x

轴不垂直时，

设直线

PQ

的方程为

y

＝

kx

＋

b

，

P

(

x

1

，

y

1

)，

Q

(

x

2

，

y

2

)(

x

1

x

2

≠0)，

3

由

k

OP

·

k

OQ

＝－，得3

x

1

x

2

＋4

y

1

y

2

＝0，

4

即3

x

1

x

2

＋4(

kx

1

＋

b

)(

kx

2

＋

b

)＝0，

所以(3＋4

k

)

x

1

x

2

＋4

kb

(

x

1

＋

x

2

)＋4

b

＝0.(*)

22

y

＝

kx

＋

b

，

22

联立

xy

＋＝1

43

22

消去

y

，

得(3＋4

k

)

x

＋8

kbx

＋4

b

－12＝0，

8

kb

4

b

－12

将

x

1

＋

x

2

＝－

2

，

x

1

x

2

＝

2

代入(*)式，

3＋4

k

3＋4

k

得2

b

＝4

k

＋3.

由于圆心

O

到直线

PQ

的距离为

d

＝

|

b

|

22

2

2

k

2

＋1

，

2

，故当

k

＝0时，

l

有最大值6.

k

＋1

2

所以直线

PQ

被圆

O

截得的弦长为

l

＝23－

d

＝

2

4＋

综上，因为6＞2，所以直线

PQ

被圆

O

截得的弦长的最大值为6.

4．如图，某市有一条东西走向的公路

l

，现欲经过公路

l

上的

O

处铺设一条南北走向的公

路

m

.在施工过程中发现在

O

处的正北1百米的

A

处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决

定以

A

为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路

l

，

m

，欲再建一条公路

PQ

，点

P

，

Q

分别在公路

l

，

m

上，且要求

PQ

与圆

A

相切．

(1)当

P

距

O

处2百米时，求

OQ

的长；

(2)当公路

PQ

长最短时，求

OQ

的长．

解 以

O

为原点，直线

l

，

m

分别为

x

轴，

y

轴建立平面直角坐标系．

设

PQ

与圆

A

相切于点

B

，连结

AB

，以1百米为单位长度，则圆

A

的方程为

x

＋(

y

－1)＝1.

22

(1)由题意可设直线

PQ

的方程为＋＝1，

2

q

即

qx

＋2

y

－2

q

＝0(

q

＞2)，

∵

PQ

与圆

A

相切，

|2－2

q

|8

∴

2

＝1，解得

q

＝，

2

3

q

＋2

8

故当

P

距

O

处2百米时，

OQ

的长为百米．

3

(2)设直线

PQ

的方程为＋＝1，

即

qx

＋

py

－

pq

＝0(

p

＞1，

q

＞2)，

∵

PQ

与圆

A

相切，

|

p

－

pq

|

q

2

∴

2

＝1，化简得

p

＝，

q

－2

q

＋

p

2

则

PQ

＝

p

＋

q

＝

222

xy

xy

pq

＋

q

，

q

－2

q

2

令

f

(

q

)＝＋

q

(

q

＞2)，

q

－2

2

q

2

22

q

－1

q

－3

q

＋1

∴

f

′(

q

)＝2

q

－(

q

＞2)，

2

＝

2

q

－2

q

－2

3＋5

3＋5

当2＜

q

＜时，

f

′(

q

)＜0，即

f

(

q

)在

2，

上单调递减；

2

2



3＋5

3＋5

当

q

＞时，

f

′(

q

)＞0，即

f

(

q

)在

，＋∞

上单调递增，

2

2

3＋5

∴

f

(

q

)在

q

＝时取得最小值，

2

3＋5

故当公路

PQ

长最短时，

OQ

的长为百米．

2


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存在,直线,古迹