河南省2021年中考数学试卷(含详细解析)

2024年4月1日发(作者：新年小学生的数学试卷评语)

河南省2021年中考数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题

1

．实数

2

的绝对值是（

）

A

．

2

B

．

2 C

．

2

1

1

D

．



2

2

．河南人民济困最

“

给力！

”

，据报道，

2020

年河南人民在济困方面捐款达到

2.94

亿元

数据

“

2.94

亿

”

用科学记数法表示为（

）

A

．

2.9410

7

B

．

2.9410

8

C

．

0.29410

6

D

．

0.29410

9

3

．如图是由

8

个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（

）

A

．

B

．

C

．

D

．

4

．下列运算正确的是（

）

A

．

(a)

2

a

2

B

．

2a

2

a

2

2

C

．

a

2

aa

3

D

．

(a1)

2

a

2

1

5

．如图，

a//b

，

160

，则

2

的度数为（

）

A

．

90

B

．

100

C

．

110

D

．

120

6

．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（

）

．．．

A

．四条边相等

B

．对角线相等

C

．对角线互相垂直

D

．是轴对称图形

7

．若方程

x

2

2xm0

没有实数根，则

m

的值可以是（

）

A

．

1

B

．

0

C

．

1

D

．

3

8

．现有

4

张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这

4

张卡片背面朝

上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是

“

天问

”

和

“

九章

”

的概率是（

）

1

A

．

6

1

B

．

8

C

．

1

10

D

．

1

12

9

．如图，

OABC

的顶点

O(0,0)

，

A(1,2)

，点

C

在

x

轴的正半轴上，延长

BA

交

y

轴于

点

D

．将

ODA

绕点

O

顺时针旋转得到

△OD



A



，当点

D

的对应点

D

落在

OA

上时，

D



A



的延长线恰好经过点

C

，则点

C

的坐标为（

）

A

．

(23,0)

B

．

(25,0)

C

．

(231,0)

D

．

(251,0)

10

．如图

1

，矩形

ABCD

中，点

E

为

BC

的中点，点

P

沿

BC

从点

B

运动到点

C

，设

B

，

P

两点间的距离为

x

，

PAPEy

，图

2

是点

P

运动时

y

随

x

变化的关系图象，则

BC

的

长为（

）

A

．

4

二、填空题

11

．若代数式

B

．

5

C

．

6

D

．

7

1

有意义，则实数

x

的取值范围是

____

．

x1

12

．请写出一个图象经过原点的函数的解析式

__________

．

13

．某外贸公司要出口一批规格为

200

克

/

盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它

们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取

15

盒进行检测，测得它

们的平均质量均为

200

克，每盒红枣的质量如图所示，则产品更符合规格要求的厂家是

__________

．（填

“

甲

”

或

“

乙

”

）

14

．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为

1

，点

A

，

B

，

D

均在小正方形的顶

点上，且点

B

，

C

在

AD

上，

BAC22.5

，则

BC

的长为

__________

．

15

．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图

1

，在

Rt△ABC

中，

ACB90

，

B30

，

AC1

．第一步，在

AB

边上找一点

D

，将纸片沿

CD

折叠，点

A

落在

A



处，

如图

2

，第二步，将纸片沿

CA



折叠，点

D

落在

D

处，如图

3

．当点

D

恰好在原直角三

角形纸片的边上时，线段

A



D



的长为

__________

．

三、解答题

1

(33)

0

；

9



1



2x2

（

2

）化简：



1





．

x



x

2



16

．（

1

）计算：

3

1



17

．

2021

年

4

月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确

要求初中生每天睡眠时间应达到

9

小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本

校学生中随机抽取

500

名进行卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．

调查问卷

1

．近两周你平均每天睡眠时间大约是

小时．

如果你平均每天睡眠时间不足

9

小时，请回答第

2

个问题

2

．影响你睡眠时间的主要原因是

．（单选）

A

．

校内课业负担重

B

．

校外学习任务重

C

．

学习效率低

D

．

其他

①

5x6

；

②

6x7

；

③

7x8

；

④

8x9

；平均每天睡眠时间

x

（时）分为

5

组：

⑤

9x10

．

根据以上信息，解答下列问题：

（

1

）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第

（填序号）组，达到

9

小时的学生人数占被调查人数的百分比为

；

（

2

）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．

18

．如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点

O

重合，边分别与坐

标轴平行，反比例函数

y

的顶点

B

．

k

的图象与大正方形的一边交于点

A(1

，

2)

，且经过小正方形

x

（

1

）求反比例函数的解析式；

（

2

）求图中阴影部分的面积．

19

．开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大

的佛像．某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量

点

A

与佛像

BD

的底部

D

在同一水平线上．已知佛像头部

BC

为

4m

，在

A

处测得佛像

头顶部

B

的仰角为

45

，头底部

C

的仰角为

37.5

，求佛像

BD

的高度（结果精确到

0.1m

．参考数据：

sin37.50.61

，

cos37.50.79

，

tan37.50.77

）

20

．在古代，智慧的劳动人民已经会使用

“

石磨

”

，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定

长度的

“

连杆

”

，推动

“

连杆

”

带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具

为

“

曲柄连杆机构

”

．小明受此启发设计了一个

“

双连杆机构

”

，设计图如图

1

，两个固定

长度的

“

连杆

”

AP

，

BP

的连接点

P

在

O

上，当点

P

在

O

上转动时，带动点

A

，

B

分

别在射线

OM

，

ON

上滑动，

OMON

．当

AP

与

O

相切时，点

B

恰好落在

O

上，如

图

2

．

请仅就图

2

的情形解答下列问题．

（

1

）求证：

PAO2PBO

；

（

2

）若

O

的半径为

5

，

AP

20

，求

BP

的长．

3

21

．猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中

A

，

B

两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：

类别

价格

进货价（元

/

个）

销售价（元

/

个）

A

款玩偶

B

款玩偶

40

56

30

45

（

1

）第一次小李用

1100

元购进了

A

，

B

两款玩偶共

30

个，求两款玩偶各购进多少个；

（

2

）第二次小李进货时，网店规定

A

款玩偶进货数量不得超过

B

款玩偶进货数量的一

半．小李计划购进两款玩偶共

30

个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利

润是多少？

（

3

）小李第二次进货时采取了（

2

）中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请

从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？

（注：利润率



利润

100%

）

成本

22

．如图，抛物线

yx

2

mx

与直线

yxb

交于点

A(2

，

0)

和点

B

．

（

1

）求

m

和

b

的值；

（

2

）求点

B

的坐标，并结合图象写出不等式

x

2

mxxb

的解集；

（

3

）点

M

是直线

AB

上的一个动点，将点

M

向左平移

3

个单位长度得到点

N

，若线段

MN

与抛物线只有一个公共点，直接写出点

M

的横坐标

x

M

的取值范围．

23

．下面是某数学兴趣小探究用不同方法作一角的平分线的讨论片段．请仔细阅读，并

完成相应的任务．

小明：如图

1

，（

1

）分别在射线

OA

，

OB

上截取

OCOD

，

OEOF

（点

C

，

E

不重合）；

（

2

）分别作线段

CE

，

DF

的垂直平分线

l

1

，

l

2

，交点为

P

，垂足分别为点

G

，

H

；（

3

）

作射线

OP

，射线

OP

即为

AOB

的平分线．简述理由如下：

由作图，

PGOPHO90

，

OGOH

，

OPOP

，所以

Rt△PGO≌Rt△PHO

，

则

POGPOH

，即射线

OP

是

AOB

的平分线．

小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图

2

．（

1

）

分别在射线

OA

，

OB

上截取

OCOD

，

OEOF

（点

C

，

E

不重合）；（

2

）连接

DE

，

CF

，

交点为

P

；（

3

）作射线

OP

，射线

OP

即为

AOB

的平分线．

……

任务：

（

1

）小明得出

Rt△PGO≌Rt△PHO

的依据是

．（填序号）

①

SSS

；

②

SAS

；

③

AAS

；

④

ASA

；

⑤

HL

．

（

2

）小军作图得到的射线

OP

是

AOB

的平分线吗？请判断并说明理由；

OB

上，

F

分别在射线

OA

，（

3

）如图

3

，已知

AOB60

，点

E

，且

OEOF31

．点

C

，

D

分别为射线

OA

，

OB

上的动点，且

OCOD

，连接

DE

，

CF

，交点为

P

，当

CPE30

时，直接写出线段

OC

的长．

参考答案

1

．

B

【分析】

根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．

【详解】

解：实数

-2

的绝对值是

2

，

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数，非负数的绝对值是它本身．

2

．

B

【分析】

先将

1

亿写成

10

8

，再乘以

2.94

即可．

【详解】

解：因为

1

亿

=

10

8

，

所以

2.94

亿

=2.94×

10

8

；

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了科学记数法的应用，解决本题的关键是牢记科学记数法的表示方法，同时理解

1

亿的概念及表示等．

3

．

A

【分析】

根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．

【详解】

解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层最左边两个小正方形，第三层最左边一个小正

方形，

故选：

A

．

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．

4

．

C

【分析】

直接利用幂的运算性质和完全平方公式分别判断得出答案．

【详解】

解：

A

、

(a)

2

a

2

，原计算错误，不符合题意；

B

、

2a

2

a

2

a

2

，原计算错误，不符合题意；

C

、

a

2

aa

3

，正确，符合题意；

D

、

(a1)

2

a

2

2a1

，原计算错误，不符合题意；

故选：

C

．

【点睛】

本题主要考查了幂的运算性质和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．

5

．

D

【分析】

先利用

“

两直线平行，同位角相等

”

求出

∠3

，再利用邻补角互补求出

∠2

．

【详解】

解：如图，

∵a∥b

，

∴∠1=∠3=60°

，

∴∠2=180°-∠3=120°

，

故选：

D

．

【点睛】

本题考查了平行线的性质和邻补角互补的性质，解决本题的关键是牢记相关概念，本题较基

础，考查了学生的基本功．

6

．

B

【分析】

根据菱形的性质判断即可．

【详解】

解：

A

、菱形的四条边都相等，

A

选项正确，不符合题意；

B

、菱形的对角线不一定相等，

B

选项错误，符合题意；

C

、菱形的对角线互相垂直，

C

选项正确，不符合题意；

D

、菱形是轴对称图形，

D

选项正确，不符合题意；

故选：

B

．

【点睛】

本题主要考查了对菱形的性质的理解，关键是根据菱形的性质解答．

7

．

D

【分析】

直接利用根的判别式进行判断，求出

m

的取值范围即可．

【详解】

解：由题可知：

“△

＜

0”

，

∴



2



4m0

,

∴

m1

,

故选：

D

．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当

“△

＜

0”

时，该方程无实数

根，本题较基础，考查了学生对基础知识的理解与掌握．

8

．

A

【分析】

画树状图，共有

12

种等可能的结果，所抽取的卡片正面上的图形恰好是

“

天问

”

和

“

九章

”

的

结果有

2

种，再由概率公式求解即可．

【详解】

解：把印有

“

北斗

”

、

“

天问

”

、

“

高铁

”

和

“

九章

”

的四张卡片分别记为：

A

、

B

、

C

、

D

，

画树状图如图：

2

共有

12

种等可能的结果，所抽中的恰好是

B

和

D

的结果有

2

种，

∴

所抽取的卡片正面上的图形恰好是

“

天问

”

和

“

九章

”

的概率为

故选：

A

．

【点睛】

21



．

126

本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出

n

，再从

中选出符合事件

A

或

B

的结果数目

m

，然后根据概率公式求出事件

A

或

B

的概率．

9

．

B

【分析】

连接

A



C

,

由题意可证明

△ADO∽△OD



C

，利用相似三角形线段成比例即可求得

OC

的长，

即得点

C

的坐标．

【详解】

如图，连接

A



C

，因为

ADy

轴，

ODA

绕点

O

顺时针旋转得到

△OD



A



，

所以

CD



O90

，

OD





OD

DOAD



OCD



COD



OC

DOAD



CO

△ADO∽△OD



C



ADOD





AOOC

A(1,2)

AD1,OD2

AO1

2

2

2

5

,

OD



OD2

OC25

故答案为

B

．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，找到

△ADO∽△OD



C

是解

题的关键．

10

．

C

【分析】

先利用图

2

得出当

P

点位于

B

点时和当

P

点位于

E

点时的情况，得到

AB

和

BE

之间的关系

以及

AE5

，再利用勾股定理求解即可得到

BE

的值，最后利用中点定义得到

BC

的值．

【详解】

解：由图

2

可知，当

P

点位于

B

点时，

PAPE1

，即

ABBE1

，

当

P

点位于

E

点时，

PAPE5

，即

AE05

，则

AE5

，

∵

AB

2

BE

2

AE

2

,

∴



BE1



BE

2

AE

2

,

即

BE

2

BE120

,

∵

BE0

∴

BE3

,

∵

点

E

为

BC

的中点，

∴

BC6

,

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了学生对函数图像的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定

义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图像中提取相关信息，能利用勾股定理

建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．

11

．

x1

【分析】

根据分式分母有意义的条件，解答即可．

【详解】

根据分式有意义的条件，要使

x-1≠0

∴x≠1

．

2

1

在实数范围内有意义，必须

x1