介绍中国最早的数学专著

2024年3月27日发(作者：江苏高三数学试卷资料书)

介绍中国最早的数学专著《筭数书》

1983年12月，考古人员从湖北江陵张家山247号汉墓发掘出一批竹简，随后从中整理出一部不见于著

录、早已失传的古代数学专著——《筭数书》。

与《筭数书》同时整理出来的古代文献还有《二年律令》《奏谳书》《盖庐》《脉书》《引书》“历谱”

等。“历谱”所记最后一年是西汉吕后二年，即公元前186年，估计墓主死亡不会距此太远。所以，考古人

员认定《筭数书》成书年代的下限是西汉吕后二年，实际成书时间应当早于此年，可能是秦代或先秦的著作。

《筭数书》的出土，引起国际数学史界的注意。2002年8月15日至18日在西安举行的数学史国际会

议上，来自美国的数学史专家道本（）做了“关于《筭数书》的初步研究”的报告，美国

加州大学圣迭戈分校的美籍华人科学史专家程贞一做了“《筭数书》和盈不足方法”的报告，中国的几位学

者也做了有关《筭数书》的研究报告。《筭数书》的研究成为这次大会的一个讨论热点。

《筭数书》是一部数学问题集。全书有近七十个题名。题名有的以计算方法命名，如“相乘”、“分乘”、

“约分”、“合分”、“径分”等；也有的以该题正文中的主题词命名，如“共买材”、“狐出关”、“息

钱”、“饮漆”、“税田”、“贾盐”、“粟求米”、“负炭”、“分钱”、“方田”、“囷盖”、“以圜

材方”、“以方材圜”、“里田”等。该书依“题——答——术”的体例编写。“题”，指命题，即数学问

题；“答”，指解答，即对例题的解答；“术”，指由例题的解答归纳出该类问题的一般算法。全书按照内

容可以分为两类：一类是整数和分数的四则运算法则；另一类是跟当时生产、生活实际密切相关的各种应用

题及解法。如“羽矢”是有关造箭的应用题、“旋粟”是有关农业估产的应用题、“息钱”是有关借贷的应

用题。依现代数学分类法，这些应用题有的属于算术问题，有的属于几何问题。考古人员认为，《筭数书》

可能是秦汉官吏，尤其是负责经济管理工作的官吏学习数学知识的课本和工具书。

《筭数书》涉及的算术知识包括整数、分数、比例、盈不足等问题。书中没有完整地叙述整数的运算，

只是专门提出了整数的进位，“一乘一，十也；一乘十万，十万也；十乘十万，百万。十乘千，万也；十乘

万，十万也；十乘十万，百万；十乘百万，千万。百乘万，百万；千乘万，千万。半乘百，五十；半乘千，

五百；半乘万，五千。”其间各数全都是十进位制。十进位值制记数法简捷、明快、实用，运算方便。马克

思称之为人类“最美妙的发明之一”。中国是世界上最早使用“十进位值制”记数法的国家。古代埃及采用

的是“十进累计制”记数法；古巴比伦采用的是“六十进位值制”记数法；印度虽然采用的是“十进位值制”

记数法，但已到了了公元6世纪。“十进位值制”记数法是中国对世界数学的卓越贡献。商周的甲骨文和钟

鼎文中已有了系统的个位、十位、百位乃至万位的自然数数字，大于十的自然数都用十进位制。从殷商到战

国时期，整数的加减乘除应当是很普通的算术知识，所以《筭数书》中不必再叙述了。但在“里田”的标题

下，该书提出了以平方里为单位面积的土地折合成顷亩的整数简便运算方法。按照一般算法，求一平方里所

合顷亩数，须先将一里化作300步，然后相乘，得若干平方步，再除以240平方步，得到亩数，计算很复杂。

“里田术”提出两种解法，其一是：“里乘里，里也；广从（纵）各一里，即直一，因而三之，有（又）三

五之，即为田三顷七十五亩。”用算式表示为：

1里×1里＝1平方里 （里乘里，里也。）

1平方里×3＝3 （即直一，因而三之。）

3×5×5×5＝375亩 （有（又）三五之。）

＝3顷75亩

其二是：以第一种解法的结果为基础，即一平方里等于3顷75亩，根据乘法分配律，与任何数值的平

方里相乘即得顷亩数。这种“里田术”应当是秦汉管理赋税的官吏必须掌握的算术知识。

《筭数书》全面介绍了分数的性质和运算法则，包括通分、约分、分数的括大、缩小及四则运算。有关

比例的计算题约占全书内容的一半，有正比例、反比例，分配比例、连比例、复比例，包含了现代数学全部

的比例类型。《筭数书》中还有三道盈不足的问题。典型例题是“分钱”，“分钱人二而多三，人三而少二，

问几何人，钱几何？得曰：五人，钱十三。术曰：嬴（盈）不足五乘母，并之为实，子相从为法。皆赢若不

足，子互乘母而各异直之，以子少者除子多者，余为法，以不足为实。”其解法为：（1）根据题目所给条件