数学归纳法基础

2024年4月9日发(作者：乐至初中数学试卷答案)

一、基础知识：

1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：特殊→一般

2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.

3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.

完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举

法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多

时，采用完全归纳法.

4．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：

先证明当n取第一个值n

0

时命题成立；然后假设当n=k(k包含于N，k≥n

0

)时命题成立，证明当n=k+1

时命 题也成立。

这种证明方法就叫做数学归纳法。

5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n

0

，如果当n=n

0

时，命题成立，

再假设当n=k(k≥n

0

，k∈N)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能

推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n

0

的正整数n

0

+1，n

0

+2，„，命题

都成立.

6．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

（1）验证n取第一个值n

0

时命题的正确性。（递推基础）

（2）证明“由n＝k时命题正确可推得n＝k＋1时命题也正确”。（递推的依据）

（3）由以上两步骤得出结论。

以上的第一步与第二步缺一不可。如果只有第一步证明，缺少第二步的证明，那么就只能保证当n＝

n

0

时，命题成立，至于n取其他自然数的情形，则并未证明，这种“以一代全”的证明显然有误；而如果

只证明第二步，而不证明第一步，乍看似乎能由递推的特性把n取所有自然数的情形都证明了。但细细想

来，还是有问题的，试想，当n＝n

0

时命题成立与否并未确认，那么第二步涉及的递推的基础又去哪儿寻找

呢？即便有第二步的递推关系成立，则因缺少递推的基础，就使得第二步的证明尤如“空中楼阁”，很不

可靠，

*

*

二、数学归纳法疑难点归纳

难点1：对象的无限性。数学归纳法所证明的是无穷个命题 P（1）、P（2）、P（3）、„„、P（n）、„„

为真，无法一一检验，需要寻找一种好的办法来解决。

难点2：作为认识这个抽象“对象”的必要基础，学生本身递归方法的知识不够，往往把“不完全归

纳法”作为“数学归纳法”，用有限来说明无限，不能理解数学归纳法所渗透的数学思想。

难点3：对数学归纳法第二步的真实作用不够明确，学生面临的心理困难主要是：①n=k时，命题P（k）

到底成立还是不成立？怎样证明？②既然成立，何必用假设两个字呢？用“已知”不就得了；③假设n=K

时命题成立不就是假设原命题成立吗？把n=K时的假设P（k）与原命题P（n）混淆起来。

难点4：对数学归纳法的真实性表示困惑。为什么证明了“两个步骤”就可以断言命题对一切自然数

都成立呢？为什么只须验证“n=n

0

”的情况呢？为什么可以“假设n=K时结论正确”呢？

难点5：具体使用数学归纳法是一种全新的证明格式，它的掌握需要一个过程，尤其到第二步的证明

更感陌生，不知道如何使用（甚至不使用）归纳假设，不能自觉的寻找P（k+1）与P（k）的递推关系。

三、学法探秘

数学归纳法是证明有关自然数n的命题的一种方法，应用非常广泛，它是一种完全归纳法。

用数学归纳法证明一个命题必须分为两个步骤：第一步验证n取第一个允许值n

0

时命题成立；第二步

从n=k(k≥n

0

)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。其中第一步是验证命题的起始正确性，

是归纳的基础；第二步则是推证命题正确性的可传递性，是递推的依据。两个步骤各司其职，缺一不可。

证明步骤与格式的完整与规范是数学归纳法的一个鲜明特征。

需要注意的是：在第二步证明“当n=k+1时命题成立”的过程中，必须利用“归纳假设”，即必须用

上“当n=k时命题成立”这一条件。因为“当n=k时命题成立”实为一个已知条件，而“当n=k+1时命题

成立”只是一个待证目标。

“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证

明结论的正确性。这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点。

四、证明过程中的注意要点

1、证明三步骤，加强规范化

数学归纳法证题格式应分三步，要使学生在理解的基础上记忆。

第一步是正确性的基础，验证P（n

0

）真；

第二步是传递性的依据，核心和关键，证明从前一号命题P（K）到后一号命题P（K +1）有传递性；

第三步是一个递推的过程与结论。即根据第一第二步可得P（n）对一切自然数n都成立。

第三步不是对数学归纳法的证明，但直接地说明了数学归纳法的递推过程，当中传递过程的具体化：

P(1)真 P(2)真

P(3)真

„„

上式能使我们清楚地看到第一步与第二步在功能上有不同的分工，但又缺一不可，服务于同一目的。

上述证明三步骤中关键是第二步，学生理解上的障碍主要集中在对第二步的理解上，学生常常会问，第二

步中P（k）真是假设的条件，假设一旦不真，其推出来的结论P（k+1)岂不是毫无依据。所以，教学中应

想方设法从各个方法突破这个教学难点，真正使学生感觉到“假设不假”这一道理，达到认识上的飞跃。

2、“假设”作条件，关键要把握

正确使用数学归纳法去论证，关键之一是掌握好第二个步骤，只有运用了“假设”作为条件去推证，

才能保证命题的正确性能无限地传递下去。否则，即使证明正确，其证明方法也不是数学归纳法。

3、题型巧分类，要点要记清

利用数学归纳法来证明某些与自然数n有关的数学命题，核心问题是用n=k时命题成立这个假设条件

来证明n=k+1时命题成立。用数学归纳法证题题型主要有五类，笔者通过摸索与学习，在教学过程中对这

五种类型证法加以小结，收到较好效果，这五类题型证题的关键步骤列表如下：

题型

恒等式类命题

不等式类命题

数列类命题

几何类命题

“一凑一变”，突出“变”

“一凑一证”，常用放缩法，比较法完成证明

先用递推式，后利用归纳假设

从p(k+1)命题成立的结论中，分解出p(k)命题成立的部分，然后去证余下的部

分

证题要点