2023年12月23日发(作者：台州小升初分班数学试卷)

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、填空题(本题共8小题，每题8分，共64分)1集合A={n|n3<2022<3n,n∈Z}的所有元素之和为.x2+x+162设函数f(x)=(2≤x≤a),其中实数a>2,若f(x)的值域为[9,11],则a的取值范x围是.3一枚不均匀的硬币,若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的9倍,则随机抛掷它两次得到正面,反面各一次的概率为4若复数z满足:..z−3z−3i为负实数(i为虚数单位),为纯虚数,则z的值为z+iz+1√5若四棱锥P−ABCD的棱AB,BC的长均为.2,其他各棱长均为1,则该四棱锥的体积为6已知函数y=f(x)的图像既关于点(1,1)中心对称,又关于直线x+y=0轴对称.若x∈(0,1)时,f(x)=log2(x+1),则f(log210)的值为.x27在平面直角坐标系中,椭圆Ω:+y2=1,P为Ω上的动点,A,B为两个定点,其中B的坐标4为(0,3),若△PAB的面积的最小值为1,最大值为5,则线段AB的长为.8一个单位方格的四条边中,若有两条边染了颜色i,另两条边分别染了异于i色的另两种不同颜色,则称该单位方格是“i色主导”的.如图,一个1×3方格表的表格线共含10条单位长线段,现要对这10条线段染色,每条线段染为红,黄,蓝三色之一,使得红色主导,黄色主导,蓝色主导的单位方格各有一个.这样的染色方式数为(答案用数值表示).1

二、解答题(第9题16分,第10,11题各20分,共56分)9.(本题满分16分)若△ABC的内角为A,B,C满足sinA=cosB=tanC,求cos3A+cos2A−cosA的值.10.(本题满分20分)给定正整数m(m≥3).设正项等差数列{an}与正项等比数列{bn}满足:{an}的首项等于{bn}的公比,{bn}的首项等于{an}的公差,且am=bm.求am的最小值,并确定当am取到最小值时a1与b1的比值.x211.(本题满分20分)在平面直角坐标系中,双曲线Γ:−y2=1.对平面内不在Γ上的任意一点3P.记ΩP为过点P且与Γ有两个交点的直线的全体.对任意直线ℓ∈ΩP,记M,N为ℓ与Γ的两个交点.定义fP(ℓ)=|PM|·|PN|.若存在一条直线ℓ0∈ΩP满足:ℓ0与Γ的两个交点位于y轴异侧,且对任意直线ℓ∈ΩP,ℓ=ℓ0,均有fP(ℓ)>fP(ℓ0),则称P为“好点”.求所有好点所构成的区域的面积.2

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2022年全国高中数学联合竞赛

加试试题（A卷）

一、（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD中，ABC=ADC=90对角线线段AP上两点X,Y，满足AXB=2ADB,BD上一点P满足APB=2CPD，AYD=2ABD，证明：BD=2XY

二、（本题满分40分）设整数n(n1)恰有k个互不相同的素因子，记n的所有正约数之和为(n)，证明：(n)(2n−k)!.

三、（本题满分50分）设a1,a2,a100是非负整数，同时满足以下条件：

ak，而当i>k时ai=0； （1）存在正整数k100，使得a1a2（2）a1+a2+a3（3）a1+2a2+3a3求a1+22a2+32a3+a100=100；

+100a100=2022

+1002a100的最小可能值.

四、（本题满分50分）求具有下述性质的最小正整数t：将100100的方格纸的每个小方格染为某一种颜色，若每一种颜色的小方格数目均不超过104,则存在一个1t或t1的矩形，其中t个小方格含有至少三种不同颜色．

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