2024年4月17日发(作者：今年中考数学试卷题目江西)
2023-2024学年江苏省盐城市高三三模数学模拟试题
一、单选题
1．已知复数
13iz3i
，其中
i
为虚数单位，则
z
（
A．
）
D．2
1
4
B．
2
1
C．1
【正确答案】
C
【分析】根据复数的除法运算求解出
z
，然后根据复数模的计算公式求解出
z
.
【详解】由题知
z
故选：
C.
2
．如图所示的
Venn
图中，
A
、
B
是非空集合，定义集合
AB
为阴影部分表示的集合．若
A
xx2n1,nN,n4
，
B
2,3,4,5,6,7
，则
AB
（
3
i
1
3i
3
i
1
3i
4i
i
，所以
z
4
1
3i1
3i
0
2
1
2
1
，
）
A．
2,4,6,1
【正确答案】
D
B．
2,4,6,9
C．
2,3,4,5,6,7
D．
1,2,4,6,9
【分析】分析可知
ABxx
AB
,x
AB
，求出集合
A
、
AB
、
AB
，即可
得集合
AB
.
【详解】由韦恩图可知，
ABxx
AB
,x
AB
，
因为
A
xx2n1,nN,n4
1,3,5,7,9
，
B
2,3,4,5,6,7
，
则
AB
1,2,3,4,5,6,7,9
，
AB
3,5,7
，因此，
AB
1,2,4,6,9
.
故选：
D.
3．已知公差不为零的等差数列
a
n
满足：
a
2
a
7
a
8
1
，且
a
2
,a
4
,a
8
成等比数列，则
a
2023
（）
A
．
2023
【正确答案】A
B
．
2023
C
．
0
D
．
1
2023
【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.
【详解】设等差数列
a
n
的首项为
a
1
，公差为
d
，
则
a
2
a
7
a
8
12a
1
7da
1
7d1
，
a
1
1
，
2
a
2
a
8
，即
13d
1d
17d
，
因为
a
2
,a
4
,a
8
成等比数列，所以
a
4
2
因为
d0
，所以
d1
，
所以
a
2023
a
1
20231
d2023
.
故选：A
BC2
，且点
D
满足
BDDC
，则
AD
（
4
．在△
ABC
中
ABAC4
，
A
．
5
【正确答案】A
B
．
6
C
．
3
D
．
3
2
）
1
2
【分析】由
AD
(
ABAC
)
、
BC(ACAB)
2
，结合向量数量积的运算律转化求模长即
2
可.
1
【详解】由题设，
D
为
BC
中点，则
AD
(
ABAC
)
，
2
2
1
2
1
2
2
所以
|
AD
|
(
ABAC
)
(
AB
2
ABACAC
)
，
44
2
2
2
2
2
又
BC(ACAB)
2
AC2ACABAB4
，即
ACAB42ACAB12
，
2
1
所以
|
AD
|
(12
8)
5
，故
|AD|5
.
4
故选：A
4
3
1
已知函数
f
x
的导函数
f
x
x
，
a
f
log
2
，
b
f
2
4
，
c
f
2
3
，则（
5
．
3
3
）
A．
bac
B．
b C． abc D． acb 【正确答案】A 【分析】由题，写出原函数 f x ，讨论其奇偶性、单调性，再结合 log 2 围即可比较大小 3 【详解】 f x x ，则 f x 1 3 3 、 2 4 、 2 4 的范 3 1 4 xc ， f x 为偶函数，且在 (0,) 单调递增， 4 3 4 3 1 1 log 2 log 2 3 2,-1 ， 2 4 (2 1 ,2 0 ) ，即 2 4 ,1 ， 2 3 4,2 ， 3 2 4 3 3 4 f2 flog3 f2 2 ，∴ cab ，所以 故选：A 6．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对 1 2 方多 2 分或打满 6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为， 3 3 且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 E 为（ A ． 241 81 ） D ． 670 243 B ． 266 81 C ． 274 81 【正确答案】B 【分析】设每两局比赛为一轮，若该轮结束比赛停止则某一方连赢两局，概率为 4 215 () 2 () 2 ；若比赛继续，则甲、乙各得一分，概率为，且对下一轮比赛是否停止无 9 339 影响.由此可计算 为2，4的概率， 为6时，可能被迫中止，只需计算前两轮比赛不停止 的概率即可. 【详解】解：依题意知， 的所有可能值为2，4，6， 2 2 1 2 5 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 () () ． 339 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮 比赛是否停止没有影响． 从而有 P ( 2) 5 4520 ， P ( 4)()() ， 9 9981 为6时，即前两轮比赛不分输赢，继续比第三轮 416 P ( 6) () 2 ， 981 52016266 故 E 2 4 6 ． 9818181 故选：B 设函数 f x 的定义域为 R ，其导函数为 f x ，若 f x f x ,f 2x f 22x 3 ， 7 ． 则下列结论不一定正确的是（ A ． f 1x f 1x 3 C ． f f 1x f f 1x 【正确答案】C 3 【分析】根据题意令 x2x 可得 f x f 2x 3 ，即函数 f(x) 图象关于 1, 对称，即可 2 ） B ． f 2x f 2x D ． f f x2 f f x 判断 A ；根据抽象函数的奇偶性和对称性可得函数 f x 的周期为 2 ，即可判断 BD ；由 f (2x)f (2x) 知函数 f (x) 图象关于直线 x2 对称，举例说明即可判断 C. 【详解】 A ： f 2x f 22x 3 3 令 x2x ，得 f x f 2x 3 ，则函数 f(x) 图象关于点 1, 对称 . 2 3 若 f(1x)f(1x)3 ，则函数 f(x) 图象关于点 1, 对称，符合题意，故 A 正确； 2 B ：由选项 A 的分析知 f x f 2x 3 ，等式两边同时求导， 得 f x f 2x 0 ，即 f x f 2x ①， 又 f x f (x) ， f x 为偶函数，所以 f 2x f (x2) ②， 由①②得 f (x)f (x2) ，所以函数 f x 的周期为 2. 所以 f (2x)f (x)f (2x) ，即 f (2x)f (2x) ，故B正确； C ：由选项 B 的分析知 f (2x)f (2x) ，则函数 f (x) 图象关于直线 x2 对称 . 3333 Δ x , f 1 x Δ x ，若 f ( Δ( x )) f (+Δ( x )) ， 2222 3 则函数 f (x) 图象关于直线 x 对称，不符合题意，故 C 错误； 2 令 f 1 x D ：由选项 B 的分析可知函数 f x 的周期为 2 ，则 f (x)f (x2) ， 所以 f(f (x))f(f (x2)) ，故D正确. 故选：C. x 2 y 2 x 2 y 2 8 ．已知 A 、 B 是椭圆 2 2 1 a b 0 与双曲线 2 2 1 a 0, b 0 的公共顶点， P abab 是双曲线上一点， PA ， PB 交椭圆于 M ， N . 若 MN 过椭圆的焦点 F ，且 tanAMB3 ， 则双曲线的离心率为（ A．2 【正确答案】 D 【分析】设出点 P ， M 的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得 MNx 轴， 再利用和角的正切公式求出 a ， b 的关系作答 . 【详解】如图，设 P(x 0 ,y 0 ) ，点 P,M,A 共线，点 P,B,N 共线，所在直线的斜率分别为 k PA , k PB ， ） C． 2 D． 23 3 B． 3 22 y 0 y 0 b 2 x 0 y 0 b 2 点 P 在双曲线上，即 2 2 1 ，有，因此 k PA k PB 2 ， x 0 ax 0 aa 2 aba y 1 y 1 b 2 2 ，直线 MA,MB 的斜率 k MA , k MB ，点 M(x 1 ,y 1 ) 在椭圆上，即 2 2 1 ，有 ab x 1 ax 1 aa x 1 2 y 1 2 有 k MA k MB b 2 2 ， a b 2 即 k PA k MB 2 ，于是 k MB k PB k BN ，即直线 MB 与 NB 关于 x 轴对称， a x c 又椭圆也关于 x 轴对称，且 M,N 过焦点 F ，则 MNx 轴，令 F(c,0) ，由 x 2 y 2 得 1 2 b 2 a b 2 | y | ， a a ca 2 aca ca 2 ac tan AMF 2 tan BMF 2 显然 bb b 2 ， b 2 ， aa a 2 aca 2 ac 2 22 tan AMF tan BMF 2 a bb tan AMB 2 3 ， 2a 2 aca 2 ac b 1 tan AMF tan BMF a 1 b 2 b 2 b 2 1 解得 2 ，所以双曲线的离心率 e a 3 a 2 b 2 b 2 123 . 1 2 1 aa 33 故选： D 方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法： 定义法：通过已知条件列出方程组，求得 a,c 得值，根据离心率的定义求解离心率 e ； 齐次式法：由已知条件得出关于 a,c 的二元齐次方程，然后转化为关于 e 的一元二次方程求 解； 特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 二、多选题 9 ．已知 a,b,c 0,1 , 随机变量 的分布列为 : P 1 a 2 b 3 c 则 () B ． D 2 D 2 D． D[ 2 ]D 2 A ． E 2 E C． E 2 [E ] 2 【正确答案】 BC 2 D(X) ，以及 【分析】根据期望方差的相关公式 E(aXb)aE(X)b,D(aXb)a D(X)EX 2 [E(X)] 2 判断 ABC ,再举特例判断D即可. 【详解】因为 E( 2)E( )2 , 所以 A 错， 因为 D( 2)D( ) , 所以 B 对， x n E ( X ) p 因为 D ( X ) x 1 E ( X ) p 1 x 2 E ( X ) p 2 x i E ( X ) p i x i 2 p i E X ， i 1 i 1 n 222 n 2 n 2 所以 D E 2 [E( )] 2 0 ,所以 E 2 [E( )] 2 ,所以 C 对， 1 ， 3 举特例来说明 D 错,取 abc 1112 2222 ( 2) (1 2) (2 2) (3 2) ，则 E 3333 D 1 ( 2) 2 2 1 0 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 12 ， 3 39 2 11114 E 2 1 4 9 ， 3333 2 D 14 1 14 1 14 1 1 4 9 3 3 3 3 3 3 222 8 2 D ( 2) , 所以 D 错 . 272727279 xx 4 故选:BC 10 ．已知曲线 C : y 2 1 ，则（） A．曲线C关于原点对称 B ．曲线 C 上任意点 P 满足 OP1 （ O 为坐标原点 ) C ．曲线 C 与 x 2 4y 2 0 有且仅有两个公共点 D．曲线C上有无数个整点（整点指横纵坐标均为整数的点） 【正确答案】BC 【分析】选项A，取特殊点 (2,0) ， (2,0) 验证即可判断； 选项 B ，由 OP x 2 y 2 x 2 1 x | x | ，分 x0 ， x0 讨论，即可判断； 4 xx y 2 1 选项 C ，联立 4 ，分 x0 ， x0 讨论，即可判断； x 2 4 y 2 0 选项D，分 x0 ， x0 讨论，分析即可判断 【详解】选项 A ， (2,0) 满足 xx 4 y 2 1 ，故点 (2,0) 在曲线上，但 (2,0) 不满足 xx 4 y 2 1 ， 故点 (2,0) 不在曲线上，故曲线C不关于原点对称，错误； 选项 B ，令 P(x,y) 在曲线上，故 OP x 2 y 2 x 2 1 x | x | 4 x 2 3 x 2 当 x0 时， O P x 1 1 1 44 2 当 x0 时， O P x 2 5 x 2 x 1 1 1 44 2 故曲线 C 上任意点 P 满足 OP1 （ O 为坐标原点 ) ，正确； xx y 2 1 选项 C ，联立 4 ，故 x|x|x 2 4 x 2 4 y 2 0 当 x0 时， 2x 2 4 ，解得 x2 ，故有两个交点 (2, 当 x0 时， 04 ，无解 故曲线 C 与 x 2 4y 2 0 有且仅有两个公共点，正确； x 2 选项 D ，当 x0 时，曲线 C 为 y 2 1 4 22 ),(2, ) 22 x 2 x 2 2 若为整点，则 1 ， y 0 或 0 ， y 2 1 44 故有 (2,0),(0,1),(0,1) 三个整点 x 2 当 x0 时，曲线 C 为 y 2 1 4 若为整点，则 x2k,kZ ， y1k 2 若 y1k 2 Z ，则 k0 ，与 x0 矛盾 故曲线C上只有三个整点，不正确 故选：BC 11 ．已知正方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ， H 为棱 AA 1 （包含端点）上的动点，下列命题 正确的是（ A． CHBD B ．二面角 D 1 AB 1 C 的大小为 ） 3 323 , C ．点 H 到平面 B 1 CD 1 距离的取值范围是 33 32 , D ．若 CH 平面 ，则直线 CD 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 32 【正确答案】ACD 【分析】根据几何体为正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，求出 CH,DB 的坐标后利 用数量积可判断 A 的正误，求出平面 AB 1 C 的法向量和平面 AB 1 D 1 的法向量可利用数量积计 算夹角的余弦值后可判断B的正误，利用点到平面的距离的公式计算后可判断C的正误， 最后利用直线 CD 和平面 的法向量计算线面角的正弦值后可判断 D 的正误 . 【详解】 由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 则 D 0,0,0 ,B 1,1,0 ,C 0,1,0 ,A 1,0,0 ,D 1 0,0,1 ,C 1 0,1,1 ,B 1 1,1,1 ， 设 H 1,0,h ，其中 0h1 ， 对于A： CH 1,1,h ,DB 1,1,0 ，故 CHDB0 即 CHBD ， 故 A 正确 . 对于B： AB 1 0,1,1 ， AD 1 1,0,1 ,AC 1,1,0 ， ABD m 设平面 11 的法向量为 x,y,z ， y z 0 m AB 1 0 则 ，即 ，取 z1 ，则 x1,y1 ， x z 0 m AD 1 0 故 m 1,1,1 . 设平面 AB 1 C 的法向量为 n a,b,c ， b c 0 n AB 1 0 则 ，即 ，取 b1 ，则 a1,c1 ， a b 0 n AC 0 n 故 1,1,1 . 故 cos m , n 11 ，而二面角 D 1 AB 1 C 为锐二面角， 3 3 3 π 1 1 故其余弦值为，不为 2 ，故二面角 D 1 AB 1 C 的平面角不是，故B错误. 3 3 对于C： D 1 B 1 1,1,0 ， D 1 C 0,1,1 ， CBD k 设平面 11 的法向量为 p,q,r ， p q 0 k D 1 B 1 0 则 ，即 ，取 q1 ，则 p1,r1 ， q r 0 k DC 0 1 k 故 1,1,1 . 而 B 1 H 0,1,h1 ， 2 h 2 h 323 BH k , 故 H 到平面 CB 1 D 1 的距离为 BH ， 3 33 3 BH k 故C正确. 对于D：设直线 CD 与平面 所成的角为 . 因为 CH 平面 ，故 CH 1,1,h 为平面 的法向量， sin cos DC , CH 而 DC 0,1,0 ，故 1 h 2 2 1 h 2 2 ， 而 h 0,1 , 故选：ACD. 32 , ，故 D 正确 . 2 32 h 2 1 思路点睛：空间中位置关系的判断、角的计算或范围的判断，可结合几何体的规则性建立合 适空间直角坐标系，通过向量的共线、向量的数量积等来判断位置关系，通过平面的法向量、 直线的法向量等来处理相关角的计算或范围问题. x 12 ．已知函数 f x x e 1 ， g x x1 lnx ，则（） A ．函数 g x 在 0, 上存在唯一极值点 B ． f x 为函数 f x 的导函数，若函数 h x f x a 有两个零点，则实数 a 的取值范围 1 是 1 2 ,1 e 2 C ．若对任意 x0 ，不等式 f ax f lnx 恒成立，则实数 a 的最小值为 D ．若 f x 1 g x 2 t t0 ，则 【正确答案】BCD ln t 1 的最大值为 x 1 x 2 1 e 2 e 【分析】对于 A ：利用导数推出 g x 在 0, 单调递增，可得 A 错误；对于 B ：利用导数 研究函数 yf x 的性质，得其图象，根据函数 yf x 的图象与直线 ya 有两个交点， 可得B正确；对于C：根据 f x 在 0, 单调递增，将不等式化为 a 2lnx 恒成立，右边 x 构造函数求出最大值，可得C正确；对于D：根据 f x 1 g x 2 t t0 以及指对同构得 x 2 e x 1 ，将 ln t lnt 化为，再求导可求出最大值，可得D正确. x 1 x 2 1 t 1 111x 1 x 2 2 ， lnx ，令 g 1 (x) 1 lnx ，则 g 1 xxxx x 【详解】对于A： g x 1 x 0 ，解得： x1 ，令 g 1 x 0 ，解得： 0x1 ，故 g x 在 1, 单调递增，在令 g 1 0,1 单调递减， 故 g x g 1 20 ，故 g x 在 0, 单调递增，函数 g x 在 0, 上无极值点，故A 错误； x 对于B： f ( x ) e x 1 x e x (1 x )e x 1 ，令 f 1 ( x ) (1 x )e 1 ，则 f 1 ( x ) e x (1 x )e x (2 x )e x ， 当 x< 2 时， f 1 (x)0 ，当 x2 时， f 1 (x)0 ，故 f 1 (x) 在 ,2 上为减函数，在 (2,) 上为增函数，故 f 1 ( x ) min f 1 ( 2) 1 1 1 f ( x ) 1 ，即， min e 2 e 2 又 x1 时， f (x)1 ，作出函数 yf x 的图象，如图： 若函数 h x f x a 有两个零点，得 f x a 有两个实根，得函数 yf x 的图象与直 线 ya 有两个交点， 由图可知， 1 1 a 1 ，故B正确； e 2 对于C：由B得： f (x)0 在 (0,) 上恒成立，则 f x 在 0, 单调递增，则不等式 f ax f lnx 2 恒成立，等价于 axlnx 2 恒成立，故 a 2lnx ， x 设 h x 2lnx 2 1 lnx ，则 h x ， 2 x x 令 h x 0 ，解得： 0xe ，令 h x 0 ，解得： xe ， 故 h x 在 0,e 上单调递增，在 e, 上单调递减， 故 h ( x ) max h (e) 2 2 2 ，故 a ，则实数 a 的最小值为，故 C 正确； e e e x 对于 D ：若 f x 1 g x 2 t t0 ，则 x 1 e 1 1 x 2 1 ln x 2 t ， xx 即 e 1 1 lne 1 x 2 1 ln x 2 t ， ∵ t0 ，∴ x 1 >0 ， e x 1 0 ， x 2 1 ， x 由 A 知， g x (x1)lnx 在 0, 上单调递增，故 x 2 e 1 ， 所以 ln t ln t ln t ， x 1 x 1 x 2 1 x 1 (e 1) t ln t 1 lnt ，则 t ， t t 2 设 ( t ) 令 t 0 ，解得： 0te ，令 t 0 ，解得： te ， 故 t 在 0,e 上单调递增，在 e, 上单调递减， 故 t max e 1 x ，此时 e x 1 e 1 1 x 2 1 ln x 2 ， e ln t 1 故的最大值是，故 D 正确； x 1 x 2 1 e 故选：BCD 结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数 yf x ,x a,b ， （ 1 ）若 x a,b ，总有 f x k 成立，故 f x max k ； （ 2 ）若 x a,b ，总有 f x k 成立，故 f x min k ； （ 3 ）若 x a,b ，使得 f x k 成立，故 f x min k ； （ 4 ）若 x a,b ，使得 f x k ，故 f x max k . 三、填空题 13．6人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 ______ 种． 【正确答案】 216 ． 【分析】分最左端排甲、乙两类，结合分步计数，求最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲 的排法 . 【详解】（1）当最左端排甲的时，排法的种数为 A 5 ； （2）当最左端排乙的时，排法种数为 C 4 A 4 ． 514 ∴不同的排法的种数为 A 5 C 4 A 4 12096216 ． 14 5 故 216 14． P x,y 为圆 C ： x2 y1 5 上任意一点，且点 P 到直线 l 1 ： 2xy40 和 l 2 ： 22 2xym0 的距离之和与点 P 的位置无关，则 m 的取值范围是 _______. 【正确答案】 (,8] 【分析】作出图形，结合图形可知当圆 C 位于直线 l 1 与 l 2 之间时即为所求，根据直线与圆相 切时是临界值即可求解 . 【详解】由图可知当圆 C 位于两直线 l 1 与 l 2 之间时， 点 P 到两直线 l 1 和 l 2 的距离之和即为 l 1 与 l 2 两平行直线间的距离， 即点 P 到直线 l 1 和 l 2 的距离之和与点 P 的位置无关， 当直线 l 2 与圆相切时， 4 1 m 5 5 ，解得 m8 或 m2 （舍去），所以 m8 ， 即 m 的取值范围是 (,8] ， 故答案为 . (,8]
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