2021年奥林匹克数学竞赛试题

2023年12月6日发(作者：自贡高考数学试卷及答案)

奥林匹克数学竞赛试题（几何某些）

Mathematics Olympic test

{geometric part）

1.

已知在梯形

ABCD

中，AD//BC, ZB=40° , ZC=50° ,点

E, F, M, N

分别为四条边中点，求证：BC=EF+MN.【简朴】

2.

已知在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0, P为平

行四边形ABCD外一点，且ZAPC=ZBPD=90° ,求证：平行四边形

ABCD为矩形.【简朴】 3.

已知在三角形ABC中，AB=AC, CD丄AB于D, P为BC上一点，PE丄AB

于E, PF丄AC于F.求证：PE+PF二CD.【简朴】

4.

已知在等腰三角形ABC中，AB=AC, CD丄AB, AH丄FH, EF丄AB,求

证：EF=CD+FH.【简朴】

5.

已知三角形ABC和三角形BDE都是等腰直角三角形，连结AD,延 长CE交AD与F,求证：CF丄AD.【简朴】 6.

已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，连结AD交BE于F,

连结CE交AB于G,连结FG,求证：FG/7CD.【简朴】

7.

已知三角形ABC为正三角形，内取一点P,向三边作垂线，交AB

于D, BC于E,AC于F,求证：PD+PE+PF二三角形高.【简朴】 A

&已知三角形ABC为正三角形，AD为高，取三角形外一点P,向三边

（或边延长线）作垂线，交AB延长线AE于M,交AC延长线AF于N,

交BC于Q,求证：PM+PN-PQ二AD.【中档】

A

9.已知在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于0, DE平分ZADC交AC

于F,若ZBDE=15° ,求ZC0E度数.【中档】

10•已知三角形ABC是直角三角形，ZBAC=90° , AD丄BC, AE平分

ZCAD, BF平分ZABC,交AD于G,交AE于H,连结EG,求证：EG#AC.

【中档】

11.

已知三角形ABC和三角形BDE都是正三角形，连结AE, CD,取AE

中点N,取CD中点M,连结BM, BN, MN.求证：三角形BMN是等边三角

形.【中档】

12.

已知在正方形ABCD中，作对角线AC平行线EG,作BC=CH,连结

BE,延长HG交BE于F,连结CF,求证：BC=CF.【中档】

13.

已知在直角梯形ABCD中，AD/7BC, AD=3, BC=5,将腰CD绕点D

逆时针旋转90°至DE,连结AE,求三角形ADE面积.【中档】

14.

已知在任意四边形ABCD中,AB=CD, P, Q, R分别为AD, BC, BD中点,

ZABD=25° , ZBDC=65°

,求ZPQR度数.【中档】

15.

已知在梯形ABCD中,AD〃BC,E为AB中点,求证:S三角形CDE=S

三角形ADE+S三角形BCE.【较难】

A --------- DB C

16.

已知矩形ABCD,在CD延长线上取一点E,在BC延长线上取一点

F,使得ZDAE=ZDAF,AF和CD交于G,求证：S矩形ABCD=S三角形

AEF.【较难】

17.

已知在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90° , AD=AE, AF±BE交

BC于F,过F作FG丄CD交BE延长线于G,

求证：BG=AF+FG.

【很难】【提示：过C点作AC垂线，延长AF,交垂线于H.】

C

H

18.

已知在正九边形ABCDEFGHI中，连结AE, AE=1,求AH+AI长.【很

难】【提示：延长AH使HK=HG,连结KG.】

19.

已知正方形ABCD内有一点P,且PB： PC： PD=3： 2： 1,求证:

ZCPD=135°・【超难】【提示：过C作PC垂线CP\',使CP=CP,.]

20.已知在任意四边形ABCD中，点E, F分别将AD, BC提成m： n两某

些，AF和BE交于P, CE和DF交于Q,求证：S四边形EPFQ二S三 角形CDQ+S三角形ABP.【超难】