【校本教材】人教版(2019)新教材高一数学校本教材

2024年3月16日发(作者：高分高一数学试卷图片)

人教版（2019）高一数学校本教材

集合与容斥原理

集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数

学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程

而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数

量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)

的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。

一、学习集合要抓住元素这个关键

例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。

分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、

16、25……，n2，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个

这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z

证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)

＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2

又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A

练习:

1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。

2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证：（1）一切奇数属于M;

（2）4k-2(k∈Z)不属于M;

（3）M中任意两个数的积仍属于M。

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3.已知函数f（x）=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.

(1)求证:AB;

(2)若A={-1，3}时，求集合B.

二、集合中待定元素的确定

例2．已知集合M＝{X，XY，lg(xy)}，S＝{0，∣X∣，Y}，且M＝S，则(X＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)

＋……＋(X2002＋1/Y2002)的值等于( ).

分析：解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。这一类根据集合

的关系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集

合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解，对于两个相等的有限集合(数集)，

还会用到它们的简单性质：(a)相等两集合的元素个数相等；(b)相等两集合的元素之和相等；(c)相

等两集合的元素之积相等.

解：由M＝S知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和

负数没有对数，所以XY≠0，故X，Y均不为零，所以只能有lg(XY)＝0，从而XY＝1.∴M＝{X，1，

0}，S＝{0，∣X∣，1/X}.再由两集合相等知

当X＝1时，M＝{1,1，0}，S＝{0,1，1}，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故X＝1不满足

题目要求；

当X＝－1时，M＝{－1,1，0}，S＝{0,1，－1}，M＝S，从而X＝－1满足题目要求，此时Y＝－

1，于是X2K＋1＋1/Y2K＋1＝－2(K＝0,1，2，……)，X2K＋1/Y2K＝2(K＝1,2，……),故所求代数式

的值为0.

练习:

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