中考数学二次函数综合题解题技巧

2024年1月18日发(作者：奥赛排名中学数学试卷)

压轴题解题技巧练习

引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

一、 动态：动点、动线

1．(2010年辽宁省锦州)如图，抛物线与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点，且x1＞x2，与y轴交2于点C(0，4)，其中x1、x2是方程x－2x－8＝0的两个根．

(1)求这条抛物线的解析式；

y

(2)点P是线段AB上的动点，过点P作

PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE

C

的面积最大时，求点P的坐标；

(3)探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，

E

是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三

角形？若存在，请直接写出所有符合条件的

B A

点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

x

O P

二、 圆

2．（2010青海） 如图10，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l.

（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；

（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；

（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与EAD△相似时，求出BF的长 ．

y

A

E

C

y

B

O

x

A

C

C

G

B

x

D

图1

D

图2

23．(2009年中考天水)如图1，在平面直角坐标系xOy，二次函数y＝ax＋bx＋c(a＞0)的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，OB＝OC，tan∠ACO＝ 1

．

3(1)求这个二次函数的解析式；

(2)若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；

(3)如图2，若点G(2，y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．

4．（09年湖南省张家界市）在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．

（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．

y

C

B

A D

1

－4

x

O

2

四、比例比值取值范围

5．（2010年怀化）图9是二次函数y(xm)2k的图象，其顶点坐标为M(1,-4).

（1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标；

（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使SPAB5SMAB,若存在，求出P点的坐标；若不4存在，请说明理由；

（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线yxb(b1)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.

6． (湖南省长沙市2010年)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA82 cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2

cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1

cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

1（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线yx2bxc经过B、P两点，过线段BP上4一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

y

B

C

Q

第26题图

O

P

A

x

3

7．（成都市2010年）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(3，若将经过A、C两点的直线ykxb0)，沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x2．

（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；

（2）如果P是线段AC上一点，设ABP、BPC的面积分别为SABP、SBPC，且SABP:SBPC2:3，求点P的坐标；

（3）设Q的半径为l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？

五、探究型

．

8. （2011湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分）

如图，直线y3x3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？

若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

y

B

A

O

C

x

4

9．（09年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段6OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO5是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

10．（09年湖南省长沙市）如图，抛物线y＝ax

＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，3)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax

＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC．

（1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

5

y

y

C

B

P N

A

E

D

A

O C x

M O B

x

22

六、最值类11．(2010年恩施) 如图11，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A、B两点，

A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四

边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC

为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在

请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形

ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

12. （2011贵州安顺，27，12分）如图，抛物线y=于C点，且A（一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

//12x+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交2第12题图

6