牛顿的数学成就

2024年3月6日发(作者：济南市中三摸数学试卷)

数学史话宋丽飞∂f艾萨克·牛顿（IsaacNewton,1643-1727）是英国著∂x名的物理学家、数学家，曾担任英国皇家学会会长.牛∂f.顿在科学上的主要成就有三个：发明微积分、建立经∂y典力学体系、提出光的性质的理论.下面简要介绍一下牛顿是用“无穷小”概念和他发明的二项式定理牛顿的一些数学成就.来证明(1)式的.他认为，作非匀速运动的物体在无穷一、《流数简论》小时间间隔o中的运动情况，与作匀速运动的物体在1666年，牛顿在平面直角坐标系中通过速度分量有限时间间隔中的情况相同.牛顿说：“如果到某一时f(x,y)=0来研究切线.他把曲线看作动点的轨迹，动刻，它们已描绘的线段为x和y，那么到下一时刻所点的坐标x、y是与时间相关的函数，而曲线描绘的线段就是x＋x0和y＋y0．”牛顿用x＋x0和x···if(x，y)=0的切线斜率是·，y＋y0代替f(x,y)=0中的x和y，如图1.由于x和y是随于是有aij(x+xo)∑y·j(y+yo)=0.时间的变化而变化的“流动速度”，所以牛顿便称它们··dy为流数，实际上就是x和y对t的导数：x=dx,y=dtdt而它们的比就是y对x的导数.这里顺便指出，这种表dy示法是牛顿晚年时才使用的，而符号是莱布尼兹dx发明的，我们这里采用它们是为了方便叙述．项，得∑aij(ixi-1y⋅xo+jxi⋅yj·按二项式展开并略去o的二次以上(含二次)的j-1nn到(1)式.可把y=x写成f(x，y)=y-x的形式，由(1)⋅yo)=0.除以o后便得·式推出yx··牛顿提出一个反面问=nxn-1.在此基础上，y·图1牛顿首先考虑的问题是：给定x和y的关系f(x，y)=0，求y··程的一端，其和为零.首先，把每一项都乘以x，再乘xy以该项所含x的次数.然后，把每一项都乘以，再乘y以该项所含y的次数……令这些乘积的总和等于零.·xjf(x,y)=∑aijxiy，他给出下述解法：“把各项都置于方·，即y对x的导数.对于多项式x他在研究这一问题的过程中发现了微积分基本定理，dA即：=y（2）.其中A表示曲线y=f(x)以下的面积．dx从《流数简论》可以看出，他是用如下方法推导这一重要定理的：设y为曲线f(x)下的面积abc(图2)，并将其平行移动，面积x和y随时间而增加的速度是be和bc.”显然be=1，而bc=f(x).因此，牛顿认为面积y随·时间的变化率是f(x)，而x=1，于是题：己知流数比，求y（即把y表成x的代数式)．y··x然等价于(2)式，也就是说函数曲线下面积的变化率等于曲线的纵坐标.他把求积问题看作求变化率的逆过程，即把y看作f(x)的积分(不定积分)．.这显=f(x)（3）这个方程表示出了速度(流数)之间的关系．若用式子表示，则为数学篇58··æixiyöij+÷aijxy=0（1）∑ççxy÷èø它是牛顿用来计算流数之比(即求导)的基本法∂f·∂fy则.实际上，这个式子与x+y=0等价,即·=∂x∂yx··图2

数学史话牛顿的工作可以清楚地说明切线及面积的互逆关系.如果面积y=x，则由（1）得到·=xn.反之，取n+1xn+1··，则而y=x.这就是说，纵坐标为y=f(x)=xn，x=1n+1xn+1的曲线的切线斜率为n，x而纵坐标为xn的曲线n+1n+1x下的面积是.n+1在解决了基本的微积分问题后，牛顿又进一步提出n-1z变量代换法，设变量z=1+xn，其流数比为·=nx（4），x因为y=z，所以·=3z（5），由（4）（5）易得·=2zx32n+1y·图3并用o去除等式两边，得⋅xm-2⋅o2+…考虑到z=axm，m(m-1)m-2y=maxm-1+a()⋅x⋅o+….舍去仍然含o的1⋅2m-1项，得y=max．这就是相当于面积z的纵坐标ydz的表达式，或者说是面积z在点的变化率（即）.这dx个结果表明，若面积z=axm给出，那么构成这个面积m-1m-1的曲线为y=max；反之，若曲线是y=max，则它下面的面积是z=axm.牛顿不仅给出了求变化率的普遍方法，而且证明了微积分基本定理.从计算角度来说，他实际上给出了两个基本的求导和积分公式(用mm-1maxm+=现代符号表示)(ax)′=max；∫m+1牛顿还给出下面的法则：函数之和的积分等于各dx+∫f2(x)dx+…+∫fn(x)dx．y·12y·根据二项式定理的z+oy=a(xm+mxm-1⋅o+m(m-1))1⋅2yyz=3nxn-1z12，即·=3nxn-11+xn.⋅··zx2x2···牛顿利用变量代换法对y=(f(x))（其中f(x)是多项式）进行微分，设z=f(x)，得到y·mn=m(f(x))xn·m-1n⋅zx··.这便得到了我们熟知的幂函数微分公式，其现在的表-1示形式为y′=m(f(x))n⋅f′(x).n在《流数简论》中，牛顿还导出函数的积和商的微m分法则．设y=u(x)·v(x)，则由计算流数之比的基本法uv，则得到y=uv+uv，所以·=uv+即·=u⋅v+v··xxxx···y···y··n121函数的积分的和,即∫[f(x)+f(x)＋…+f(x)]dx=∫f(x)⋅uu⋅v-v⋅u·u(x)··y=，可用类似的方法得到yx.x·.若v(x)=x·v2x···由于牛顿首次引入“流数”和“变化率”的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是微积分基本定理，所以说他“发明”了微积分．不过，他当时只是观察到这一重要定理，至于定理的证明则是在他的第二本微积分著作中才给出．二、《运用无穷多项方程的分析学》(下简称《分析学》)在《分析学》中，牛顿假定曲线下的面积为其中m是有理数.他把x的无穷小增量叫x的z=axm，瞬，用o表示.由曲线、x轴、y轴及x＋o处纵坐标所围成的面积用z＋oy表示(图3)，其中oy是面积的瞬，于是有z+oy=a(x＋o)．m在此基础上，牛顿提出了利用无穷级数逐项积分2的方法．例如为了对y=a进行积分，他将a2除以b+xa2-a2x+a2x2-a2x3+…y=b+x，得到，然后对这个bb2b4b3a2x-a2x2+a2x3-a2x4+…无穷级数逐项积分，得.他b2b24b43b3说，只要b是x的倍数，取最初几项就可以了.同样地，1为了求y=的积分，他利用二项式定理得到1+x2y=1-x2＋x4-x6＋x8-…(1).他注意到，如果令y=1-6-8-2-4，则可得到y=x-x+x-x+…(2).他说，当2x+1x很小时，应该用(1)式，若x较大就必须用(2)式了.可见，他已意识到级数收敛和发散的区别，不过还没有提出收敛的概念．牛顿把曲线下的面积看作无穷多个无限小面积之和，这种观念与现代的观念是比较接近的.为了求某一个区间的面积，即定积分，牛顿提出如下方法：先求数学篇59

数学史话在实际问题中应∫f(x)dx=F(b)-F(a).有了这个公式，ba出原函数，再将上下限分别代入原函数，并取其差．这就是著名的牛顿—莱布尼茨公式，是他与莱布尼茨各自独立发明的．若采用现代数学符号，该公式可表述为：若F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则用极广的定积分计算问题便可转化为求函数问题，所以它是十分重要的．到此为止，牛顿已经建立起比较系统的微积分理论及算法.不过他在概念上仍有不清楚的地方.第一，他的无穷小增量o是不是0？牛顿认为不是.既然这样，运算中为什么可以略去含o的项呢？牛顿没有给出合乎逻辑的论证.第二，牛顿虽然提出变化率的概念，但没有提出一个普遍适用的定义，只是把它想象成“流动的”速度.牛顿自己也认为，他的工作主要是建立有效的计算方法，而不是澄清概念.他对这些方法仅仅作了“简略的说明而不是准确的论证．”牛顿的态度是实事求是的．三、《流数法和无穷级数》(下简称《流数法》)《流数法》是一部内容广泛的微积分专著，是牛顿在数学方面的代表作.在前两部书的基础上，牛顿提出了更加完整的理论．从书中可以看出，牛顿的流数概念已发展到成熟的阶段.他把随时间变化的量，即以时间为自变量的函数称为流量，以字母表的后几个字母v、x、y、z来表示；把流量的变化速度，即变化率称为流数，以表示流量的字母上加点的方法来表示，如x,y.以前用的瞬的··至此，牛顿说：“我们已假定o是无限微小，它可以代表流动量的瞬，所以与它相乘的诸项相对于其他诸项来说等于没有，因此我把它们舍掉，得到从上式易得3xx2-2axx+axy+ayx-3yy2=0.”·····yx··=3x-2ax+ay.3y2-ax2从表面看，这种方法与《流数简论》中的方法一致.··所不同的是，在《流数简论》中y和x只被看作运动速度，而在这里却表示一般意义的流数《.简论》中求流数之比的基本法则也被牛顿赋予一般的意义.对于y=f(x)型的函数，牛顿用类似方法得出了y与x的关··系.例如，假定y=x，牛顿首先建立y+yo=(x+xo)n,然后用二项式定理展开右边，消去y=x，用o除两边的式子，略去仍含o的项，结果为y=nxn-1x，即yx····n··n在对具体函数微分时，不必采用无穷=nxn-1.当然，u=φ(x)，则∫f((x))φ′(x)dx=∫f(u)du（1）.这个公式表明，小法，可直接代入公式．第二类：已知一个含流数的方程，求流量，即积分.牛顿在书中引入了代换积分法（采用现代符号）：设只要所求的积分可表为（1）左边的形式，则令u=φ(x)，即可化为f(u)对u的积分，积分后再用φ(x)代u就行了《.流数简论》中，牛顿在具体积分中已经采用了这种方法，只是到这时才总结出具体的公式．从《流数简论》及《流数法》两书来看，他推导此式的思路大致如下：则y=∫f(φ(x))φ′(x).设y=∫f(φ(x))φ′(x)dx,概念仍然保留，并且仍用o表示．牛顿在提出的“连续”思想以及使一个量小到“比任何一个指定的量都小”的思想是极其深刻的，他正是在这种思想的主导下解决了以下两类基本问题．第一类：已知流量的关系求它们的流数之比，即已知y=f(x)或f(x,y)=0,求y··（2）（3）x例如书中的问题1：如果流量x和y之间的关系332是x-ax+axy-y=0，求它们的流数之比.牛顿设y的瞬分别是xo,yo，x，用x+xo和y+yo分别代替方程中的x和y，得····.由u=φ(x)得··u··x=φ′(x),u/xy/x····由(2)(3)得yu数学篇60(x+xo)3-a(x+xo)2+a(x+xo)(y+yo)-(y+y0)3=0.·········φ′(x)dx=∫f(u)du.由微积分基本定理，得y=∫f(u)du，所以∫f(φ(x))牛顿还推出不定积分公式，即∫uv′dx=uv-∫vu′dx.=f(φ(x))=f(u),ax2o+axy+axyo+axy-3y2y-3yy2o-y3o2=0把余下的项除以o，得3x2x+3xx2o+x3o2-2axx-········332展开后利用x-ax+axy-y=0这一运算性质再就可利用不定积分公式求积分．∫vu′dx比较容易时，其中u和v都是x的函数.若求∫uv′dx有困难而求至此，牛顿已建立起比较完整的微分和积分算

数学史话法，他当时将其统称为流数法.他充分认识到这种方法的意义，说流数法(即微积分)是一种“普遍方法”，它“不仅可以用来画出任何曲线的切线……而且还可以用来解决其他关于曲度、面积、曲线的长度、重心的各种深奥问题．”《流数法》一书中对微积分的用途作了详细介绍，下面略举几例．332例1.求方程x－ax＋axy－y=0中x的最大值．牛顿先求出x和y的流数之比，得3xx2-2axx+axy-3yy2+ayx=0.得-3yy2+ayx=0,·····法仍是舍去无穷小，因而同《分析学》一样出现了逻辑问题.他尝试建立没有无穷小的微积分，于是就有了《曲线求积术》．四、牛顿的极限理论牛顿的四部微积分专著中，《曲线求积术》(下简称《求积术》)是最后(1693)写成的，但却是最早(1704)出版的一部．在书中，牛顿给出了导数概念，而且把考查对象由两个变量构成的方程转向关于一个变量的函数.牛顿的流数演算已相当熟练了，他算出许多复杂图形的面积．值得注意的是，在《求积术》中，牛顿认为没有必要用无穷小量的思想求微积分.他在序言中明确指出：“数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的.直线不是一部分一部分地连接的，而是由点的连续运动画出的，因而是这样生成的：面是由线的运动，体是由面的运动，角是由边的旋转，时间段落是由连续的流动生成的.”在这种思想指导下，他放弃了无穷小的概念，以最初比和最后比的新nnn-1动”便成为x+o，于是xn变为(x+o)=x+nox+n(n-1)2n-2即o和noxn-1+⋅ox+…，x和xn的增量比，2n(n-1)2n-2n(n-1)等于1和nxn-1+ox+…的比，⋅oxn-222+…的比.牛顿说：“令增量等于0，于是它们的最后比n概念代替.为了求函数y=x的导数，牛顿将x“由流再令x=0,···2即3y=ax.把上式代入原方程后，就很容易求得相应的x值和y值了．牛顿给出了通过解方程f′(x)=0来求f(x)极值的方法.他写道：“当一个量取极大值或极小值时，它的流数既不增加也不减少，因为如果增加，就说明它的流数还是较小的，并且即将变大；反之，如果减少，则情况恰好相反．所以求出它的流数，并且令这个流数等于0．”他用这种方法解出了九个问题．其他问题，则需采用上述方法求解.332例2.已知曲线方程为x-ax＋axyy=0，AB和BD分别为曲线上D点的横、纵坐标，求作过D点的切线(图4)．等于1比nxn-1.所以x的流数与xn的流数之比等于1比nxn-1.”牛顿认为这个比即增量的最初比，可见最初比与最后比的实质是一样的，都表示y关于x的导数，或者说是y对于x的变化率.用现在的符号可写成y′=nxn-1．实际上，早在《自然哲学的数学原理》(下简称《原图43yy2+ayx=0.·牛顿先求得流数之间的关系3xx2-2axx+axy-····理》)一书中，牛顿就明确地定义了极限思想.他说：“严格地说，消失量的最后比并不是最后量的比，而是这些量无限减小时它们的比所趋近的极限.它们与这个极限之差虽然可以比任何给定的差更小，但这些量在无限缩小之前既不能超过也不能达到它.”在这部最早发表的包含微积分成果的书(当然不是最早写成的)中，牛顿已经把微积分的大厦建筑在极限的基础之上，他用极限观点解释了微积分中的许多概念.牛顿在《原理》中阐发的极限思想，成为他撰写《求积术》的理论基础.当然，他还没有提出如同我们现在使用的严格的极限定义．牛顿说：“给定D点后，便可得出DB和AB，即y和x，BT的长度也就确定了，由此可确定切线TD．”相比较《分析学》，《流数法》在数学思想上有了创新，而且提供了更加有效的计算方法.但牛顿的基本方3x2-2ax+ayBD由此得出·==.2BT3y-axx3y3-axy因为BD=y，所以BT=2.3x-2ax+ayy·数学篇61