2024年3月30日发(作者：福建高考数学试卷泄密事件)
高等数学试题
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．设
f(x)=lnx
，且函数
(x)
的反函数
1
(x)=
x+2x-2x+2
2(x+1)
，则f
(x)
（ ）
x-1
x-2x+22-xx+2
2-x
0
t
x
e
2．
lim
x0
e
t
2
dt
1cosx
（ ）
D．
A．0 B．1 C．-1
3．设
yf(x
0
x)f(x
0
)
且函数
f(x)
在
xx
0
处可导，则必有（ ）
y0 B.y0 0 D.ydy
x0
2x
2
,x1
4．设函数
f(x)=
，则
f(x)
在点
x=1
处（ ）
3x1,x1
A.不连续 B.连续但左、右导数不存在 C.连续但不可导 D. 可导
5．设
xf(x)dx=e
-x
C
，则
f(x)=
（ ）
-x
B.-xe
-x
C.2e
-x
D.-2e
-x
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+
2222
2
7．
lim
aaqaq
2
n
11
)+f(x-)的定义域是__________.
44
aq
n
q1
_________
8．
lim
arctanx
_________
x
x
g
2
9.已知某产品产量为g时，总成本是
C(g)=9+
，则生产100件产品时的边际成本
MC
g100
__
800
10.函数
f(x)x
3
2x
在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.
11.函数
y2x
3
9x
2
12x9
的单调减少区间是___________.
12.微分方程
xy\'y1x
的通解是___________.
13.设
3
e1
cos
2
x
14.设
z
则dz= _______.
y
2ln2
dt
t
a
6
,则a
___________.
15.设
D(x,y)0x1,0y1，则
xe
D
2y
dxdy
_____________.
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
1
16.设
y
，求dy.
x
x
17.求极限
lim
lncotx
x0
lnx
18.求不定积分
5x1
a
0
z
1
ln
5x1
dx.
19.计算定积分I=
2
a
2
x
2
dx.
20.设方程
xy2xze1
确定隐函数z=z(x,y)，求
z\'
x
,z\'
y
。
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．要做一个容积为v的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？
22.计算定积分
xsin
2
xdx
0
23.将二次积分
I
dx
0
2
sin
x
y
2
dy
化为先对x积分的二次积分并计算其值。
y
五、应用题（本题9分）
24.已知曲线
yx
，求
（1）曲线上当x=1时的切线方程；
（2）求曲线
yx
与此切线及x轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积
V
x
.
六、证明题（本题5分）
25．证明：当
x>0
时，
xln(x1x
2
)1x
2
1
2
参考答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．答案：B
2．答案：A
3．答案：A
4．答案：C
5．答案：D
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
13
a
7．答案：
1q
6．答案：
,
44
8．答案：0
1
4
1
10．答案：
3
9．答案：
11．答案：（1，2）
x
3
1Cx
12．答案：
2
13．答案：
aln2
1
cos
2
x
14．答案：
sin2xdxdy
y
y
1
2
15．答案：
1e
4
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
x
1
16. 答案：
lnx1
dx
x
17．答案：-1
18．答案：
19. 答案：
2
ln
5x1
C
5
4
a
2
2xy2zx
2
\'
，Z
y
20. 答案：
Z
2xe
z
2xe
z
\'
x
四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．答案：
r
0
22．答案：
3
VV4V
3
，h
0
2
2
r
0
2
4
23. 答案：1
五、应用题（本题9分）
24. 答案：（1）
y=2x-1
（2）
1
1
，
1230
1
1
y12
3
1
2
2
（2） 所求面积
S
(y)dy
y1
y
0
23
0
12
4
1
1
2
2
2
1
所求体积
V
x
x
dx
1
0
325630
六、证明题（本题5分）
25．证明：
f(x)xln(x1x
2
)1x
2
1
2x
1
2
x
21x
2
f\'(x)ln(x1x)x
x1x
2
1x
2
xx
ln(x1x
2
)
1x
2
1x
2
ln(x1x
2
)
x0
x1x
2
1
f\'(x)ln(x1x
2
)0
故当
x0
时
f(x)
单调递增，则
f(x)f(0),
即
xln(x1x
2
)1x
2
1
《高等数学》
专业年级学号姓名
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）
（ ）1. 收敛的数列必有界.
（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量.
（ ）3. 闭区间上的间断函数必无界.
（ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.
（ ）5. 若在点可导，则也在点可导.
（ ）6. 若连续函数在点不可导，则曲线在点没有切线.
（ ）7. 若在[]上可积，则在[]上连续.
（ ）8. 若在（）处的两个一阶偏导数存在，则函数在（）处可微.
（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.
（ ）10. 设偶函数在区间内具有二阶导数，且 , 则为的一个极小值.
二、填空题.（每题2分，共20分）
1. 设，则.
2. 若，则.
3. 设单调可微函数的反函数为, 则.
4. 设, 则.
5. 曲线在点切线的斜率为.
6. 设为可导函数,,则.
7. 若则.
8. 在[0,4]上的最大值为.
9. 广义积分.
10. 设D为圆形区域.
三、计算题（每题5分，共40分）
1. 计算.
2. 求在（0，+）内的导数.
3. 求不定积分.
4. 计算定积分.
5. 求函数的极值.
6. 设平面区域D是由围成，计算.
7. 计算由曲线围成的平面图形在第一象限的面积.
8. 求微分方程的通解.
四、证明题（每题10分，共20分）
1. 证明： .
2. 设在闭区间[上连续，且证明：方程在区间内有且仅有一个实根.
《高等数学》参考答案
一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）
1.√ ；2.× ；3.×； 4.× ；5.×； 6.× ；7.× ；8.× ；9.√ ；10.√.
二、 填空题.（每题2分，共20分）
1.； 2. 1； 3. 1/2； 4.；
5. 2/3 ； 6. 1 ； 7. ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.
三、计算题（每题5分，共40分）
1.解：因为
且 ，=0
由迫敛性定理知： =0
2.解：先求对数
3.解：原式=
=
=2
4.解：原式=
=
=
=
=4/5
5.解：
故 或
当 时，， 且A=
（0，0）为极大值点 且
当 时， ，
无法判断
6.解：D=
=
= = =
=
7.解：令，；则，
8.解：令 ，知
由微分公式知：
四.证明题（每题10分，共20分）
1.解：设
=0
令 即：原式成立。
2.解：上连续
且 <0,>0
故方程在上至少有一个实根.
又
即 在区间上单调递增
在区间上有且仅有一个实根.
《高等数学》
专业学号姓名
一、判断题（对的打√，错的打×；每题分，共分）
1.在点处有定义是在点处连续的必要条件.
2. 若在点不可导，则曲线在处一定没有切线.
3. 若在上可积，在上不可积，则在上必不可积.
4. 方程和在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.
5. 设是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，是其所对应的齐次方程的通解，则
为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题（每题分，共分）
1. 设则.
2. 设，当时，在点连续.
3. 设，则.
4. 已知在处可导，且，则 .
5. 若，并且，则 .
6. 若在点左连续，且 ，
则与大小比较为
7. 若，则 ； .
8. 设，则 .
9. 设，则 .
10. 累次积分化为极坐标下的累次积分为 .
三、计算题（前题每题分，后两题每题分，共分）
1. ; 2. 设 ，求; 3. ;
4. ; 5. 设, 求 .
6. 求由方程所确定的函数的微分.
7. 设平面区域是由围成，计算.
8.求方程在初始条件下的特解
.
四、（
分）
已知在处有极值，试确定系数、，并求出所有的极大值与极小值
.
五、应用题（每题分，共
分）
1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为时，燃料费为每小时元，
而其它与速度无关的费用为每小时元.问轮船的速度为多少时,每航行
所消耗的费用最小？
2.过点向曲线作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）图形绕轴旋转所得旋转体
的体积.
六、证明题（
分）
设函数在上的二阶导数存在，且,.证明在上单调增加
.
高等数学参考答案
一、判断题
1.√；2.×；3.√；4.×；5.√.
二、填空题
1. 36；2.；3.；4.；5.；6.；
7.；8.；9.；10..
三、计算题
1.原式
2.
3．原式=
4．设则
原式=
5．
6．两边同时微分得：
即故
（本题求出导数后，用解出结果也可）
7．
8．原方程可化为
通解为
代入通解得
故所求特解为：
四、
解：
因为在处有极值，所以必为驻点
故
又解得：
于是
由得，从而
，在处有极小值
，在处有极大值
五、
1.解：设船速为，依题意每航行的耗费为
又时，故得，所以有
，
令，得驻点
由极值第一充分条件检验得是极小值点.由于在上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时
必为最小值点，所以求得船速为时，每航行的耗费最少，其值为（元）
2.解：（1）设切线与抛物线交点为，则切线的斜率为，
又因为上的切线斜率满足，在上即有所以，即
又因为满足，解方程组
得所以切线方程为
则所围成图形的面积为：
（2）图形绕轴旋转所得旋转体的体积为：
六、
证：
在上，对应用拉格朗日中值定理，则存在一点，使得
代入上式得
由假设知为增函数，又，则,
于是,从而，故在内单调增加.
《高等数学》试卷
专业学号姓名
一、填空题（每小题1分，共10
分）
1．函数的定义域为_______________。
2．函数上点（０，１）处的切线方程是______________。
3．设在可导且，则＝_______。
4．设曲线过，且其上任意点的切线斜率为，则该曲线的方程是_________。
5．＝_____________。
６．＝___________。
7．设，则＝____________。
8．累次积分化为极坐标下的累次积分为________。
9．微分方程的阶数为____________。
10．设级数发散，则级数_______________。
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）
内，（1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24
分）
1．设函数，则＝（）
①②③④ｘ
2．时，是（）
①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量
3．下列说法正确的是（）
①若在连续，则在可导
②若在不可导，则在不连续
③若在不可微，则在极限不存在
④若在不连续，则在不可导
4．若在内恒有，则在内曲线弧为（）.
①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧
5．设，则（）
①为常数②为常数
③④ｘ
6．＝（）
①０②１③２④３
7．方程在空间表示的图形是（）
①平行于面的平面②平行于轴的平面
③过轴的平面④直线
8．设，则（）
①②③④9．设，且＝ｐ，则级数（）
①在时收敛，时发散②在时收敛，时发散
③在时收敛，时发散④在时收敛，时发散
10．方程是（）
①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程
③可分离变量的微分方程④二阶微分方程
11．下列函数中为偶函数的是（）
①②③④12．设在可导，，则至少有一点使（）
①②
③④13．设在的左右导数存在且相等是在可导的（）
①充分必要的条件②必要非充分的条件
③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件
14．设，则，则（）
①②③④15．过点（１，２）且切线斜率为的曲线方程为ｙ＝（）
①ｘ②ｘ＋ｃ③ｘ＋１④16．设幂级数在（）收敛，则在（）
①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与有关
17．设Ｄ域由所围成，则（）
①；②；
③；④.
444
三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51
分）
１．设求.
２．求.
３．计算.
４．设，求.
５．求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程.
６．设，求ｄｕ.
７．计算.
８．求微分方程的通解.
９．将展成的幂级数.
四、应用和证明题（共15
分）
１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度
（比例常数为）求速度与时间的关系。
２．（７分）借助于函数的单调性证明：当时，。
高等数学
参考答案
一、填空题
（每小题1分，共10分）
１．（－１，１）２．２ｘ－ｙ＋１＝０３．５Ａ４．ｙ＝ｘ＋１
５．６．１７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）
８．９．三阶１０．发散
2
二、单项选择题
（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，1～10
每小题1分，11～17每小题2分，共24分）
1．③2．③3．④4．④5．②6．②7．②8．⑤9．④10．③
11．④12．④13．⑤14．③15．③16．①17．②
三、计算题
（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）
1．解：
２．解：原式＝
＝＝８
３．解：原式＝
＝-
＝
＝
４．解：因为
５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝
所求直线方程为
６．解：
７．解：原积分＝
＝
８．解：两边同除以得
两边积分得
亦即所求通解为
９．解：分解，得＝
＝（且）
＝（）
四、应用和证明题
（共１５分）
１．解：设速度为ｕ，则ｕ满足
解方程得
由ｕ│
t=0
＝０定出ｃ，得
２．证：令则在区间［１，＋∞］连续
而且当时，
因此在［１，＋∞］单调增加
从而当时，＝０
即当时，
《高等数学》
专业学号姓名
一、判断正误（每题2分，共20
分）
1.两个无穷大量之和必定是无穷大量.
2.初等函数在其定义域内必定为连续函数.
3.在点连续，则在点必定可导.
4.若点为的极值点，则必有.
5.初等函数在其定义域区间内必定存在原函数.
6.方程表示一个圆.
7.若在点可微，则在点连续.
8.是二阶微分方程.
9..
10.若为连续函数，则必定可导.
二、填空题（每题4分，共20
分）
..
..
.设，且，则.
.，则.
..
三、计算题与证明题（共计60
分）
.，（5分）；
，（5分）。
.求函数的导数。（10分）
.若在上.证明：在区间和上单调增加.（10分）
.对物体长度进行了次测量，得到个数。现在要确定一个量，使之与测得的数值之差的平方和最小.应该是多少？
（10分）
.计算.（5分）
6.由曲线与两直线所围成的平面图形的面积是多少.（5分）
.求微分方程满足条件的特解。（5分）
.计算二重积分是由圆及围成的区域.（5分）
高等数学参考答案
一、判断正误（每题2分，共20
分）
1-5．╳，╳，╳，╳，√. 6-10.╳，√，╳，╳，√
.
二、填空题（每题4分，共20
分）
；；；；.
三、计算题与证明题。（共计60
分）
.=
=
==
=
2.令则
同理
3.
=
令则
则当时
当时故命题成立。
4.令
则令
5.==
=
6.
7.方程变形为
而=
初始条件：
8、
《高等数学》
专业学号姓名
一、判断（每小题2分，共20
分）
1.f(x)在点x处有定义是f(x)在点x处连续的必要条件.()
2.无穷小量与有界变量之积为无穷小量.( )
3.y=f(x)在x处可导,则y=|f(x)|在x处也可导.( )
4.初等函数在其定义域内必连续.( )
5.可导函数f(x)的极值点一定是f(x)的驻点.( )
6.对任意常数k,有=k.( )
7.若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.( )
8.若f(x,y)在区域D上连续且区域D关于y轴对称,则当f(x,y)为关于x的奇函数时,=0.( )
9.=-2x-e的通解中含有两个独立任意常数.( )
10.若z=f(x,y)在P的两个偏导数都存在,则z=f(x,y)在P连续.( )
二、填空（每空2分，共20
分）
1.[xsin+sinx+()]=.
2.函数f(x)=x在[0,3]上满足罗尔定理的条件,定理中的数值=.
3.设f(x)=当a=时,f(x)在x=0处连续.
4.设z=e,则dz|(0,0)=.
5.函数f(x)=e-x-1在内单调增加;在内单调减少.
6.函数满足条件时,这函数没有极值.
=其中a,b为常数.
8.(x)=1且,则=.
9.若I=dxdy交换积分次序后得.
三、计算（每小题5分,共40
分）
1.求(-)；2.+=2,求dy；
3.求；4.求；5.求；
6.设z=ln(x+y)求,；
7.计算I=.其中D是由圆x+y=4围成的区域；
8.求微分方程-ydx+(x+y)dy=0的通解.
四、应用题(每题7分,共14分
)
1.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能
使这间小屋面积最大.
2.求由y=,x=1,x=2与x轴所围成的图形的面积及该图绕x轴旋转一周的旋转体的体积.
五、证明(本题6分
)
证明:当x0时,不等式1+成立.
高等数学参考答案
一、判断正误（每题2分，共20
分）
1√；2√；3╳；4╳；5√；6╳；7√；8√；9╳；10╳.
二、填空题（每题4分，共20
分）
1.；2. 2；3. 1；4.；5.，；6.；
7.0；8.；9..
三、计算题与证明题（共计60
分）
.
2.方程两边同时对求导得：
则
3.
4、令当时；当时
原式
5.
6.
7.令，
8.解：
原方程的通解为：
四、（每题7分，共14
分）
1.解：设长方形的长和宽分别为和，面积为，则即
，得
当长M；宽M时，面积最大。
五、（本题6
分）
令
即
《高等数学》试卷2
一.选择题（3分10）
1.点到点的距离（ ）.
A.3 B.4 C.5 D.6
2.向量，则有（ ）.
A.∥ B.⊥ C. D.3.函数的定义域是（ ）.
A. B.C. D4.两个向量与垂直的充要条件是（ ）.
A. B. C. D.5.函数的极小值是（ ）.
A.2 B. C.1 D.6.设，则＝（ ）.
A. B. C. D.7.若级数收敛，则（ ）.
A. B. C. D.8.幂级数的收敛域为（ ）.
A. B C. D.9.幂级数在收敛域内的和函数是（ ）.
A. B. C. D.10.微分方程的通解为（ ）.
A. B. C. D.二.填空题（4分5）
1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为______________________.
2.函数的全微分是______________________________.
3.设，则_____________________________.
4.的麦克劳林级数是___________________________.
三.计算题（5分6）
1.设，而，求2.已知隐函数由方程确定，求3.计算，其中.
4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（为半径）.
四.应用题（10分2）
1.要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料
最省？
.
试卷1参考答案
一.选择题 CBCAD ACCBD
二.填空题
1..
2. .
3. .
4. .
5. .
三.计算题
1. ，.
2..
3..
4. .
5..
四.应用题
1.长、宽、高均为时，用料最省.
2.
《高数》试卷2（下）
一.选择题（3分10）
1.点，的距离（ ）.
A. B. C. D.2.设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（ ）.
A. B. C. D.3.函数的定义域为（ ）.
A. B.C. D.4.点到平面的距离为（ ）.
A.3 B.4 C.5 D.6
5.函数的极大值为（ ）.
A.0 B.1 C. D.6.设，则（ ）.
A.6 B.7 C.8 D.9
7.若几何级数是收敛的，则（ ）.
A. B. C. D.8.幂级数的收敛域为（ ）.
A. B. C. D.9.级数是（ ）.
A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定
二.填空题（4分5）
1.直线过点且与直线平行，则直线的方程为__________________________.
2.函数的全微分为___________________________.
3.曲面在点处的切平面方程为_____________________________________.
三.计算题（5分6）
1.设，求2.设，而，求3.已知隐函数由确定，求4.如图，求球面与圆柱面（）所围的几何体的
体积.
四.应用题（10分2）
1.试用二重积分计算由和所围图形的面积.
一.选择题 CBABA CCDBA.
二.填空题
1..
2..
3..
4..
5..
三.计算题
1..
2. .
3..
4. .
5..
四.应用题
1..
2. .
试卷2参考答案
《高等数学》试卷3（下）
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）
2、设a=i+2j-k,b=2j+3k，则a与b的向量积为（ ）
A、i-j+2kB、8i-j+2kC、8i-3j+2kD、8i-3i+k
3、点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
4、函数z=xsiny在点（1，）处的两个偏导数分别为（ ）
A、 B、 C、 D、 5、设x
2
+y
2
+z
2
=2Rx，则分别为（ ）
A、 B、 C、 D、6、设圆心在原点，半径为R，面密度为的薄板的质量为（ ）
（面积A=）
A、R
2
A B、2R
2
A C、3R
2
A D、7、级数的收敛半径为（ ）
A、2 B、 C、1 D、3
8、cosx的麦克劳林级数为（ ）
A、 B、 C、 D、二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）
1、直线L
1
：x=y=z与直线L
2
：___________。
直线L
3
：____________。
2、（0.98）
2.03
的近似值为________,sin10
0
的近似值为___________。
3、二重积分___________。
4、幂级数__________，__________。
三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）
2、求曲线x=t,y=t
2
,z=t
3
在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.
3、计算.
4、问级数5、将函数f(x)=e
3x
展成麦克劳林级数
四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）
1、求表面积为a
2
而体积最大的长方体体积。
参考答案
一、选择题
1、D 2、C 3、C 4、A 5、B 6、D 7、C 8、A 9、B
10,
A
二、填空题
1、2、0.96，
0.17365
3、л 4、0，+5、
三、计算题
2、解：因为x=t,y=t
2
,z=t
3
,
所以x
t
=1,y
t
=2t,z
t
=3t
2
，
所以x
t
|
t=1
=1, y
t
|
t=1
=2, z
t
|
t=1
=3
故切线方程为：
法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0
即x+2y+3z=6
3、解：因为D由直线y=1,x=2,y=x围成，
所以
更多推荐
函数,方程,围成,小题,平面,切线
发布评论