考研数学二(微分方程)模拟试卷10(题后含答案及解析)

2024年3月19日发(作者：数学试卷答案手写高中高三)

考研数学二（微分方程）模拟试卷10

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 微分方程y”一6y’+8y=ex+e2x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)

( )

A．aex+be2x

B．aex+bxe2x

C．axex+be2x

D．axex+bxe2x

正确答案：B

解析：由原方程对应齐次方程的特征方程r2一6r+8=0得特征根r1=2，

r2=4．又f1(x)=ex，λ1=1非特征根，对应特解为y1*=aex；f2(x)=e2x，λ2=2

为特征单根，对应特解为y2*=bxe2x．故原方程特解的形式为aex+bxe2x，即选

(B)． 知识模块：微分方程

2． 微分方程y”+2y’+2y=e-xsinx的特解形式为(其中a，b为常数) ( )

A．e-x(acosx+bsinx)

B．e-x(acosx+bxsinx)

C．xe-x(acosx+bsinx)

D．e-x(axcosx+bsinx)

正确答案：C

解析：特征方程，r2+2r+2=0即(r+1)2=一1，特征根为r1,2=一1±i，而

f(x)=e-xsinx，λ±iω=一1±i是特征根，故特解为y*=xe-x(acosx+bsinx)． 知识

模块：微分方程

3． 微分方程的通解是(其中C为任意常数) ( )

A．2e3x+3ey2=C

B．2e3x+3e-y2=C

C．2e3x一3ey2=C

D．e3x一e-y2=C

正确答案：C

解析：原方程写成yy’+ey2+3x+=0，分离变量有ye-y2dy+e3xdx=0．积分得

2e3x一3e-y2=C，其中C为任意常数． 知识模块：微分方程

4． 微分方程y”一4y’+4y=x2+8e2x的一个特解应具有形式(其中a，b，c，

d为常数)( )

A．ax2+bx+ce2x

B．ax2+bx+c+dx2e2x

C．ax2+bx+cxe2x

D．ax2+(bx2+cx)e2x

正确答案：B

解析：对应特征方程为r2一4r+4=0，特征根是r1,2=2．而f1=x2，λ1=0非

特征根，故y1*=ax2+bx+c．又f2=8e2x，λ2=2是二重特征根，所以y2*=dx2e2x．y1*

与y2*合起来就是一个特解应具有的形式，选(B)． 知识模块：微分方程

5． 微分方程y”+2y’+y=shx的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)

( )

A．ashx

B．achx

C．ax2e-x+bex

D．axe-x+bex

正确答案：C

解析：对应特征方程为r2+2r+1=0，得r=一1为二重特征根，而f(x)=shx=

故特解形式为y*=ax2e-x+bex． 知识模块：微分方程

填空题

6． 微分方程的通解是____________．

正确答案：y=C1+C2x+C3x2+C4e-3x，其中C1，C2，C3，C4为任意常数

解析：特征方程r4+3r3=0，即r3(r+3)=0．故通解如上． 知识模块：微分方

程

7． 微分方程y”一2y’=x2+e2x+1的待定系数法确定的特解形式(不必求出系

数)是__________．

正确答案：y*=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x

解析：特征方程为r2一2r=0，特征根为r1=0，r2=2． 对f1=x2+1，λ

1=0是特征根，所以y1*=x(Ax2+Bx+C)． 对f2=e2x，λ2=2也是特征根，故

有y2*=Dxe2x．从而y*如上． 知识模块：微分方程

8． 以y=7e3x+2x为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_________．

正确答案：y’”一3y”=0

解析：由特解y=7e3x+2x知特征根为r1=3，r2=r3=0(二重根)，特征方程为

r3一3r2=0，对应齐次线性微分方程为y’”一3y”=0． 知识模块：微分方程

9． 微分方程满足初值条件y(0)=0，的特解是___________.

正确答案：x=ey一e-y—siny

解析：由反函数的导数可知， 原方程可化为x关于y的二阶常系数线

性方程．将式①代入原方程，原方程化为 解得x关于y的通解为 由

x=0时，y=0，代入上式，得 0=C1+C2． 再将式②两边对y求导，有

当x=0时，代入上式，有 解得C1=1，C2=一1，于是得特解 知识模块：

微分方程

10． 微分方程3extanydx+(1一ex)Sec2ydy=0的通解是_________．

正确答案：tany=C(ex一1)3，其中C为任意常数

解析：方程分离变量得积分得 ln|tany|=3ln|ex一1|+lnC1． 所以方程的

通解为tany=C(ex一1)3，其中C为任意常数． 知识模块：微分方程

11． 微分方程的通解是_________．

正确答案：y=(C1+C2x)ex+1，其中C1，C2为任意常数

解析：原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程．其通解为y=y齐+y*，其

中y齐是对应齐次方程的通解，y*是非齐次方程的一个特解． 因原方程对应

齐次方程的特征方程为r2一2r+1=0，即(r一1)2=0，特征根为r1,2=一1．故y

齐=(C1+C2x)ex，其中C1，C2为任意常数．根据观察，显然y*=1为原方程的一

个特解．故其通解如上所填． 知识模块：微分方程

12． 微分方程的通解__________(一定／不一定)包含了所有的解．

正确答案：不一定

解析：例如方程(y2一1)dx=(x一1)ydy，经分离变量有 得通解y2

一1=C(x一1)2，C≠0，但显然方程的全部解还应包括y=±1和x=1(实际上在分

离变量时假定了y2一1≠0，x一1≠0)． 知识模块：微分方程

13． 微分方程(y2+1)dx=y(y一2x)dy的通解是__________．

正确答案：其中C为任意常数

解析：方法一 原方程化为由通解公式得 方法二 原方程写为

(y2+1)dx+(2x—y)ydy=0，是全微分方程，再改写为(y2+1)dx+xd(y2+1)一y2dy=0，

即d[x(y2+1)]=y2dy，积分得通解 知识模块：微分方程

14． 微分方程(1一x2)y—xy’=0满足初值条件y(1)=1的特解是__________．

正确答案：

解析：原方程化为积分得通解ln|y|=ln|C1x|一x2，即由初值y(1)=1解出便得

如上所填． 知识模块：微分方程

15． 微分方程的通解为________．

正确答案：其中C1，C2为任意常数

解析：由两边积分得再积分得 知识模块：微分方程

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16． 求微分方程的通解．

正确答案：变形和作适当代换后变为可分离变量的方程． 方程两边同除

以x，得 当x＞0时，作变换有即解之得arcsinu=lnCx．再以代回，

便得原方程的通解：即y=xsin(lnCx)，其中C为大于零的任意常数． 涉

及知识点：微分方程

17． 求微分方程y”一2y’一e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．

正确答案：齐次方程y”一2y’=0的特征方程为r2—2r=0，由此求得特征根

r1=0，r2=2．对应齐次方程的通解为Y=C1+C2e2x，设非齐次方程的特解为

y*=Axe2x，则 y*’=(A+2Ax)e2x，y*”=4A(1+x)e2x， 代入原方程，得从而

于是，原方程通解为 将y(0)=1和y’(0)=1代入通解求得从而，所求特解

为 涉及知识点：微分方程

18． 求微分方程y”+2y’+y=xex的通解．

正确答案：特征方程r2+2r+1=0的两个根为r1=r2=一1．对应齐次方程的通

解为 Y=(C1+C2x)e-x． 设所求方程的特解为y*=(ax+b)ex，则

y*’=(ax+a+b)ex，y”=(ax+2a+b)ex， 代入所给方程，有(4ax+4a+4b)ex=xex．解

得所以 最后得原微分方程的通解为其中C1，C2为任意常数． 涉

及知识点：微分方程

19． 求微分方程y”+4y’+4y=e-2x的通解．

正确答案：特征方程r2+4r+4=0的根为r1=r2=一2．对应齐次方程的通解为

Y=(C1+C2x)e-2x． 设原方程的特解y*=Ax2e-2x，代入原方程得因此，原方

程的通解为 涉及知识点：微分方程

20． 求微分方程y”+2y’一3y=e-3x的通解．

正确答案：对应的齐次方程的通解为Y=C1ex+C2e-3x． 设原方程的一

个特解为y*=Axe-3x，代入原方程，得 所求通解为其中C1，C2为任

意常数． 涉及知识点：微分方程

21． 求微分方程y”+5y’+6y=2e-x的通解．

正确答案：所给微分方程的特征方程为 r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为r1=

一2，r2=一3．于是，对应齐次微分方程的通解为

Y=C1e-2x+C2e-3x． 设所给非齐次方程的特解为y*=Ae-x．将y*代入原方程，

可得A=1．由此得所给非齐次方程的特解y*=e-x．从而，所给微分方程的通解

为y=C1e-2x+C2e-3x+e-x，其中C1，C2为任意常数． 涉及知识点：微分

方程

22． 求微分方程(3x2+2xy—y2)dx+(x2一2xy)dy=0的通解．

正确答案：方法一 原方程化为3x2dx+(2xy一y2)dx+(x2一2xy)dy=0，即

d(x3)+d(x2y一xy2)=0，故通解为x3+x2y一xy2=C，其中C为任意常数． 方

法二 令y=xu，则 即解得u2一u一1=Cx-3x，即y2一xy一x2=Cx-1或

xy2一x2y—x3=C，其中C为任意常数． 涉及知识点：微分方程

23． 设y(x)是方程y(4)一y”=0的解，且当x→0时，y(x)是x的三阶无穷小，

求y(x)．

正确答案：由泰勒公式 当x→0时，y(x)与x3同阶，即有y(0)=0，y’(0)=0，

y”(0)=0，y’”(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y(4)一y”=0

两边积分得 即y’”(x)一C—y’(x)=0，两边再积分得y”(x)一y(x)=Cx． 易

知，它有特解y*=一Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e-x一Cx． 由初值y(0)=0，

y’(0)=0得 C1+C2=0，C1+C2，即 因此最后得其中C为任意非零常

数． 涉及知识点：微分方程

24． 求一个以y1=tet，y2=sin2t为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方

程，并求其通解．

正确答案：由y1=tet可知y3=et为其解，由y2=sin2t可知y4=cos2t也是其解，

故所求方程对应的特征方程的根λ1=λ3=1，λ2=2i，λ4=一2i．其特征方程为

(λ～1)2(λ2+4)=0，即λ4一2λ3+5λ2一8λ+4=0． 故所求的微分方程为

y(4)一2y’”+5y”一8y’+4y=0，其通解为 y=(C1+C2t)et+C3COS 2t+C4sin2t，

其中C1，C2，C3，C4为任意常数． 涉及知识点：微分方程

25． 从一艘破裂的油轮中渗漏出来的油，在海面上逐渐扩散形成油层．设

在扩散的过程中，其形状一直是一个厚度均匀的圆柱体，其体积也始终保持不

变．已知其厚度h的减少率与h3成正比，试证明：其半径r的增加率与r3成反

比．

正确答案：把V=πr2h看作隐式方程，其中r，h均为关于时间t的函数，

两边同时对t求导． 由于π和V都是常数，所以有由题意条件(k1为比例系

数)，代入上式，可得再将代入上式，可得 即半径r的增加率与r3成反

比． 涉及知识点：微分方程

26． 求解y”=e2y+ey，且y(0)=0，y’(0)=2．

正确答案：令y’=p(y)，则代入方程，有 p2=e2y+2ey+C，即y’2=e2y+2ey+

C． 又y(0)=0，y’(0)=2，有C=1，所以

y’2=e2y+2ey+1=(ey+1)2． y’=ey+1(y’(0)=2＞0)． y(0)=0代入上式，

得C1=一ln2，所以，该初值问题的解为 y=ln(1+ey)=x—ln2． 涉及知

识点：微分方程

27． 求方程的通解以及满足y(0)=2的特解．

正确答案：这是可分离变量方程．当y2≠1时，分离变量得 两边积分，

得 去掉绝对值记号，并将±e2C1记成C，并解出y，得 这就是在条件y2

≠1下的通解．此外，易见y=1及y=一1也是原方程的解，但它们并不包含在

式①之中． 将y(0)=2代入式①中得故C=一3．于是得到满足y(0)=2的特解

涉及知识点：微分方程

28． 求微分方程的通解，并求满足y(1)=0的特解．

正确答案：此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之． 令y=ux，

原方程化为 得 当x＞0时，上式成为 两边积分得 将任意常数记

成ln

C．由上式解得 即有 当x＜0，类似地可得 式①与式

②其实是一样的，故得通解 将初值条件y(1)=0代入式③得C=±1，但由于

C＞0，故得相应的特解为 涉及知识点：微分方程

29． 求方程的通解．

正确答案：这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之．套公式之前，应

先化成标准形式： 由通解公式，得 当x＞0时， 当x＜0时，

合并式①，②，得通解 涉及知识点：微分方程

30． 求(y3一3xy2一3x2y)dx+(3xy2一3x2y—x3+y2)dy=0的通解．

正确答案：将原方程通过观察分项组合．(y3一3xy2一3x2y)dx+(3xy2一3x2y

—x3+y2)dy =(y3dx+3xy2dy)一3xy(ydx+xdy)一(3x2ydx+x2dy)+y2dy=0，即 所

以通解为其中C为任意常数． 涉及知识点：微分方程