2023年12月14日发(作者：数学试卷在线写作业)
高考数学题及答案
把下列函数在给定区间内积分:
$f(x)=frac{1}{2}sin x+cos2x$
$left[frac{pi}{6},frac{pi}{3}right]$
$left[0,frac{pi}{4}right]$
$left[frac{pi}{3},frac{pi}{2}right]$
解题思路：
根据积分的定义，函数在给定区间内的积分就是曲线与坐标轴所围成的面积，因此我们要先将函数的图像在给定区间内画出来，然后再计算面积。具体步骤如下：
1.将函数在给定区间内画出来；
2.将函数分段，把给定区间分成若干个小区间；
3.分别计算每个小区间中曲线与坐标轴所围成的面积；
4.把每个小区间中的面积加起来，就得到了函数在给定区间内的积分。
下面我们具体来看：
1.将函数在给定区间内画出来
先来看一下函数$f(x)$在$[0,2pi]$内的图像：
图像显示，函数$f(x)$在$0$到$frac{pi}{6}$之间为负值，在$frac{pi}{6}$到$frac{pi}{3}$之间为正值，在$frac{pi}{3}$到$frac{pi}{2}$之间变为负值。因此，我们要分段计算这三个区间内的积分。
2.将函数分段，把给定区间分成若干个小区间
根据上面的分析，我们把$[frac{pi}{6},frac{pi}{3}]$、$[0,frac{pi}{4}]$和$[frac{pi}{3},frac{pi}{2}]$三个区间分别计算积分。
3.分别计算每个小区间中曲线与坐标轴所围成的面积
对于$[frac{pi}{6},frac{pi}{3}]$这个区间，函数图像如下：
因此，区间$[frac{pi}{6},frac{pi}{3}]$内的积分可以通过计算下列式子得到：
$$int_{frac{pi}{6}}^{frac{pi}{3}}f(x)dx=int_{frac{pi}{6}}^{frac{pi}{3}}frac{1}{2}sin
x+cos2xdx$$
这个积分可以通过原函数法求解，即求出$f(x)$的一个原函数$F(x)$，然后用$F(frac{pi}{3})-F(frac{pi}{6})$减去$F(x)$在区间$[frac{pi}{6},frac{pi}{3}]$中的值，即可得到该区间内的积分。
先来求$f(x)=frac{1}{2}sin x$的原函数。由于$frac{d}{dx}cos x=sin x$，因此$intfrac{1}{2}sin
xdx=-frac{1}{2}cos x+C$。取$C=0$，得到$f(x)$的一个原函数为$F_{1}(x)=-frac{1}{2}cos x$。
接下来求$f(x)=cos2x$的原函数。由于$frac{d}{dx}sin x=cos x$，因此$intcos2xdx=frac{1}{2}intcos xdx=frac{1}{2}sin
x+C$。取$C=0$，得到$f(x)$的一个原函数为$F_{2}(x)=frac{1}{2}sin2x$。
综上所述，函数$f(x)$的一个原函数为$F(x)=F_{1}(x)+F_{2}(x)=-frac{1}{2}cos
x+frac{1}{2}sin2x$。 因此，在区间$[frac{pi}{6},frac{pi}{3}]$内，函数$f(x)$的积分为：
$$begin{aligned}
int_{frac{pi}{6}}^{frac{pi}{3}}f(x)dx
&=F(frac{pi}{3})-F(frac{pi}{6}) &=left(-frac{1}{2}cosfrac{pi}{3}+frac{1}{2}sinfrac{2pi}{3}right)-left(-frac{1}{2}cosfrac{pi}{6}+frac{1}{2}sinfrac{pi}{3}right) &=frac{sqrt{3}}{4}+frac{1}{4}
&=frac{sqrt{3}+1}{4} end{aligned}$$
对于$[0,frac{pi}{4}]$这个区间，函数图像如下：
因此，区间$[0,frac{pi}{4}]$内的积分可以通过计算下列式子得到：
$$int_{0}^{frac{pi}{4}}f(x)dx=int_{0}^{frac{pi}{4}}frac{1}{2}sin x+cos2xdx$$
同样地，$f(x)$的一个原函数为$F(x)=-frac{1}{2}cos x+frac{1}{2}sin2x$。因此，在区间$[0,frac{pi}{4}]$内，函数$f(x)$的积分为：
$$begin{aligned} int_{0}^{frac{pi}{4}}f(x)dx
&=F(frac{pi}{4})-F(0) &=left(-frac{1}{2}cosfrac{pi}{4}+frac{1}{2}sinfrac{pi}{2}right)-left(-frac{1}{2}cos0+frac{1}{2}sin0right)
&=frac{1}{4}sqrt{2}+frac{1}{2}
&=frac{1}{4}sqrt{2}+frac{2}{4}
&=frac{1}{4}sqrt{2}+frac{1}{2} end{aligned}$$
对于$[frac{pi}{3},frac{pi}{2}]$这个区间，函数图像如下：
因此，区间$[frac{pi}{3},frac{pi}{2}]$内的积分可以通过计算下列式子得到：
$$int_{frac{pi}{3}}^{frac{pi}{2}}f(x)dx=int_{frac{pi}{3}}^{frac{pi}{2}}frac{1}{2}sin
x+cos2xdx$$
同样地，$f(x)$的一个原函数为$F(x)=-frac{1}{2}cos x+frac{1}{2}sin2x$。因此，在区间$[frac{pi}{3},frac{pi}{2}]$内，函数$f(x)$的积分为：
$$begin{aligned}
int_{frac{pi}{3}}^{frac{pi}{2}}f(x)dx
&=F(frac{pi}{2})-F(frac{pi}{3}) &=left(-frac{1}{2}cosfrac{pi}{2}+frac{1}{2}sinpiright)-left(-frac{1}{2}cosfrac{pi}{3}+frac{1}{2}sinfrac{2pi}{3}right) &=frac{1}{2}-frac{1}{4}sqrt{3}
&=frac{2}{4}-frac{1}{4}sqrt{3} &=frac{1}{2}-frac{1}{4}sqrt{3} end{aligned}$$
综上所述，函数$f(x)=frac{1}{2}sin x+cos2x$在$[frac{pi}{6},frac{pi}{3}]$内的积分为$frac{sqrt{3}+1}{4}$，在$[0,frac{pi}{4}]$内的积分为$frac{1}{4}sqrt{2}+frac{1}{2}$，在$[frac{pi}{3},frac{pi}{2}]$内的积分为$frac{1}{2}-frac{1}{4}sqrt{3}$。
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