向量相乘的公式

2024年3月10日发(作者：高考数学试卷全部题型分布)

向量相乘的公式

向量相乘通常指的是向量的数量积和向量的叉积两种不同的运算。在数学

中，向量代表有方向和大小的量，向量的相乘则是将两个向量运算的结果得到

一个新的向量。

一、 向量的数量积

向量的数量积也称为点积，是两个向量的数量乘积并相加的结果。数量积

用符号“·”表示，向量A和向量B的数量积用A·B表示。下面是向量的数量积

公式：

A·B = |A| |B| cosθ

其中，|A|、|B|分别表示向量A、B所代表的长度，θ表示两个向量的夹角。

这个公式也可以写为：

A·B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

其中Ax、Ay、Az和Bx、By、Bz是两个向量的各个分量。如果两个向量的

点积为0，则称它们为正交向量或者垂直向量。

应用：数量积可以用来计算两个向量之间的夹角、判断两个向量是否正交、

计算向量在另一向量方向上的投影等。例如，如果两个向量的数量积为零，则

它们之间的夹角肯定是90度或者是直角，这在几何学中有着很多应用。

二、 向量的叉积

向量的叉积在向量的大小和方向上都很不同于数量积。向量的叉积是两个

向量的代数积所得到的向量，大小等于两个向量围成平行四边形的面积，方向

垂直于这个平行四边形。向量的叉积用符号“×”表示，向量A和向量B的叉

积用A×B表示。

下面是向量的叉积公式：

A×B = |A| |B| sinθ n

其中，|A|、|B|分别表示向量A、B的长度，θ表示两个向量的夹角，n表

示垂直于向量A和向量B的单位向量。

应用：向量的叉积在物理学和工程学中有广泛的应用，例如在力学中，可

以根据叉积求出两个力之间的合力和力矩。在电磁学中，可以根据叉积求出磁

场的方向。在计算机图形学中，可以利用叉积的方向计算物体的法向量等。

三、 向量的混合积

向量的混合积是三个向量相乘所得到的标量。混合积也称为三重积，是向

量的数量积和向量的叉积运算的组合形式，用符号“[ABC]”表示。

下面是向量的混合积公式：

[ABC] = A·(B×C)

或者：

[ABC] = B·(C×A) = C·(A×B)

注：向量的混合积只存在于三维空间中，因为它要求有三个向量相乘，且

只有三维空间中可以依据右手定则确定向量的叉积方向。

应用：向量的混合积在物理学中有大量的应用，例如可以根据混合积来计

算力矩等，也可以用于计算容器内不同物质的混合比例等。

总结：

向量相乘是数学中的一个重要概念，其中向量的数量积、向量的叉积和向

量的混合积是三个重要的运算。向量的数量积用来计算夹角和投影，向量的叉

积用于计算平面上的面积和求出在固定轴线周围的角动量，向量的混合积则用

于计算出三个向量的三元组体积。