2024年3月10日发(作者：高三数学试卷全错分析)
高中数学常用证明方法
（比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法、放缩法）
江西省永丰中学陈保进
高中数学证明题是学生学习的一个难点，学生对基本的数学证明方法不熟悉，证明题过程书写
不规范，条理不清晰，为此有必要归纳一些常见的数学证明方法。
1.比较法
a
比较法包括作差比较、作商比较，比如要证a>b，只需证a-b>0;若b>0,要证a>b
，
只需证
>1。
b
22
ab
例1：已知
a,b
是正数，用比较法证明：
a
b
ba
2222222
aba
bb
a
11(
a
b
)(
a
b
)
22
证明：
(
a
b
)
(
a
b
)(
)
0
bababaab
a
2
b
2
ab
所以
ba
2．综合法（由因导果法）
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出要证明的结
论成立。
1
1
1
例2：已知
a
,
b
R
,
a
b
1
求证：
1
1
.
a
b
9
证明：由
ab2ab
，
ab1
，
得
ab
1
，
4
111
a
b
12
1
1
1
1
而
1
1
1
1
1
1
8
9
1
1
9.
ababababab
a
b
a
b
3.分析法（执果索因法）
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到把要证明的结论归结为一个显然成立
的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。
书写格式：要证……
只需证……
即证……
例3：若a，b∈(1，＋∞)，证明：a＋b<1＋ab.
证明：要证
a＋b
<
1＋ab
，
只需证(a＋b)
2
<(1＋ab)
2
，
只需证a＋b－1－ab<0，
即证(a－1)(1－b)<0.
因为a>1，b>1，所以a－1>0，1－b<0，
即(a－1)(1－b)<0成立，所以原不等式成立.
4．反证法
当命题从正面出发不好证明时，可以从反面入手，用反证法，正所谓\"正难则反\"。
步骤：先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了
原命题成立。
11
例4：设a>0，b>0，且a
2
＋b
2
＝
2
＋
2
，证明：a
2
＋a<2与b
2
＋b<2不可能同时成立.
ab
证明：假设a
2
＋a<2与b
2
＋b<2同时成立，则有a
2
＋a＋b
2
＋b<4
1
11
由a
2
＋b
2
＝
2
＋
2
，得a
2
b
2
＝1，
ab
因为a>0，b>0，所以ab＝1.
因为a
2
＋b
2
≥2ab＝2(当且仅当a＝b＝1时等号成立)，
a＋b≥2
ab
＝2(当且仅当a＝b＝1时等号成立)，
所以a
2
＋a＋b
2
＋b≥2ab＋2
ab
＝4(当且仅当a＝b＝1时等号成立)，
这与假设矛盾，故假设错误．
所以a
2
＋a<2与b
2
＋b<2不可能同时成立.
5．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①证明当n取初始值n
0
(n
0
∈N
*
)时命题成立
②假设当n＝k(k≥n
0
)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立
只要成这两个步骤，就可以断定命题对从n
0
开始的所有正整数n都成立，
以上即为数学归纳法的证明步骤。
例5：设数列{a
n
}满足a
1
=3，
a
n
1
3
a
n
4
n
，计算a
2
，a
3
，猜想{a
n
}的通项公式并加以证明
解析：
a
2
3a
1
4945
，
a
3
3a
2
81587
，猜想
a
n
2
n
1
，证明如下：
当
n1
时，
a
1
3
成立；
假设
n
kk
N
时，
a
k
2
k
1
成立.
那么当
nk1
时，
a
k
1
3
a
k
4
k
3(2
k
1)
4
k
2
k
3
2(
k
1)
1
，即当
nk1
时，
a
n
2
n
1
也成立，所以对任意的
nN
*
，都有
a
n
2
n
1
成立
.
6．放缩法
放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩要有度，恰到好处，常用的放缩法有增项、
减项、利用分式的性质、利用不等式的基本性质、利用均值不等式、利用函数的性质、利用三
角函数的有界性进行放缩等,适当放缩是解决不等式问题的重点也是难点所在。
常见的放缩形式:
1111
n
2
①
2
n
n
1
nn
1
n
1111
②
2
nn
n
1
nn
1
③
④
11111
(
)(
n
2)
(2
n
1)
2
4
n
2
4
n
4
n
1
n
1
n
2
n
n
2
2
n
1
n
n
2
n
1
n
1111
例6：若n是正整数,证明:
2
2
2
2
2
123n
证明：
1111
(k2)
2
kk
(
k
1)
k
1
k
11111111
1
2
2
1
2
2
2
3
2
n
2
1
22
3(
n
1)
nn
2
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